kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

I
I
I
xx
yy
zz
=
=
=
2 2
∫∫∫(
y + z ) γ ( x,
y,
z)
V
2 2
∫∫∫(
x + z ) γ ( x,
y,
z)
V
2 2
∫∫∫(
x + y ) γ ( x,
y,
z)
V
čia ( x , y,
z)
dxdydz
dxdydz , (11)
dxdydz
γ medžiagos tankio funkcija.
b) erdvinio kūno masės centro
koordinatės
Analogiškai plokštelės masės centro
koordinačių formulėms, galime užrašyti
kūno masės centro koordinačių formules
x
c
∫∫∫
=
∫∫∫
V
∫∫∫
V
xγ
γ
( x,
y,
z)
( x,
y,
z)
dxdydz
dxdydz
∫∫∫
,
y
c
=
∫∫∫
V
∫∫∫
V
yγ
γ
( x,
y,
z)
( x,
y,
z)
dxdydz
dxdydz
čia x γ ( x,
y,
z)
dxdydz,
yγ
( x,
y,
z)
dxdydz,
z ( x,
y,
z)
V
momentai apie ašis Ox Oy,
Oz
V
∫∫∫
V
, , o ( x , y,
z)
2
y +
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 94
∫∫∫
V
,
z
c
=
∫∫∫
V
∫∫∫
V
zγ
γ
( x,
y,
z)
( x,
y,
z)
dxdydz
dxdydz
, (12)
γ dxdydz yra statiniai (sukimo)
γ dxdydz – kūno masė, atitinkamai.
§ 7. SKALIARINIAI IR VEKTORINIAI LAUKAI
Sakoma, kad erdvėje yra žinomas laukas, jei kiekviename erdvės taške žinoma šio lauko
reikšmė. Tokio lauko pavyzdžiu gali būti temperatūros laukas (kiekviename taške temperatūra
apibrėžta) arba krūvio sudaromas elektrinis laukas. Laukai gali būti skaliariniai ir vektoriniai,
priklausomai nuo nagrinėjamo dydžio charakterio (temperatūros laukas yra skaliarinis laukas, o
elektrinis – vektorinis). Be to, laukas gali būti stacionarus (nusistovėjęs), jei kiekviename erdvės
taške lauko reikšmė nekinta laike ir nestacionarus (nenusistovėjęs), jei lauko reikšmė priklauso
nuo laiko momento.
Imkime skaliarinį lauką, kurio dydis kiekviename erdvės taške M yra u . Galime užrašyti
funkcinį ryšį u = f ( M ) . Tai, suprantama, kitokio pobūdžio funkcija, lyginant ją su anksčiau
nagrinėtomis, kadangi taškas nėra dydis. Bet juk funkcinį ryšį galime nagrinėti platesne prasme.
Tai vienos rūšies „objektų“ priklausomybė nuo kitos rūšies objektų. Tuo atveju, kai laukas
nestacionarus u = f ( M , t)
.
Jei taškas M = M ( x,
y,
z)
yra trimatės erdvės taškas, o u = f ( x,
y,
z)
priklauso nuo visų šios
erdvės koordinačių tai šis laukas yra erdvinis ir jį tenka nagrinėti stačiakampėje arba kurioje nors
kitoje koordinačių sistemoje. Jeigu nagrinėjamas laukas nepriklauso nuo vienos iš koordinačių, jį
galime įsivaizduoti plokščiu lauku, t.y. lauku plokštumoje.
§ 8. LYGIO LINIJOS IR PAVIRŠIAI
= , tai sakoma, kad
šioje srityje yra žinomas skaliarinis laukas (temperatūrų skaliarinis laukas, slėgių skaliarinis
laukas ir pan.).
Jeigu trimatėje erdvėje yra sritis V , kurioje žinoma funkcija u f ( x,
y,
z)
x
z
2
z
y
z
O
x
2
x +
( x,
y z)
M ,
y
2
x +
2
y
z
2