kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
normalė →<br />
n su teigiama z ašies kryptimi (vektoriumi →<br />
k ) sudaro smailą kampą, tuo neigiamos<br />
orientacijos atveju – buką.<br />
∧<br />
⎛ → →⎞<br />
Jei <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus lygtis yra z = f ( x,<br />
y)<br />
, tai kampo γ =<br />
⎜<br />
n, k<br />
⎟<br />
kryptį nusakysime krypties kosinusu<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
cosγ<br />
= ±<br />
, čia ženklas „+“ taikomas v<strong>ir</strong>šutinei <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus pusei, o „–“<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂z<br />
⎞ ⎛ ∂z<br />
⎞<br />
1+<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝ ∂x<br />
⎠ ⎝ ∂y<br />
⎠<br />
apatinei pusei.<br />
§ 15. PAVIRŠINIAI INTEGRALAI<br />
Stačiakampėje koordinačių sistemoje duota tam tikra sritis V . Tegul šioje srityje yra <strong>ir</strong> tam<br />
tikras <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus σ , apribotas erdvine linija λ . Pav<strong>ir</strong>šiaus σ orientacija žinoma, nes<br />
→<br />
kiekviename jo taške P ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
yra žinoma jo normalės – vienetinio vektoriaus n(<br />
P)<br />
teigiama<br />
kryptis, o šio vektoriaus krypties kosinusai cos α, cos β,<br />
cosγ<br />
yra tolydžios funkcijos visame<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiuje σ .<br />
Tegul bet kuriame <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus σ taške yra žinoma funkcija<br />
→<br />
( ) ( ) ( ) →<br />
→<br />
→<br />
x y,<br />
z i + Y x,<br />
y,<br />
z j+<br />
Z x,<br />
y z<br />
F = X , , k , (1)<br />
čia X ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
, Y ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
, Z(<br />
x,<br />
y,<br />
z)<br />
yra šios funkcijos →<br />
F koordinatės.<br />
Pav<strong>ir</strong>šių σ išskaidykime į n bet kokių <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus dalių, kurių kiekvienos plotas yra ∆ σ i<br />
( i = 1,<br />
n)<br />
<strong>ir</strong> kiekvienoje iš jų laisvai paimkime taškus P i , kuriuose apskaičiuokime funkcijos (1)<br />
reikšmę. Sudarykime integralinę sumą<br />
čia ( P )<br />
→<br />
→<br />
F →<br />
i<br />
– vektoriaus →<br />
F reikšmė taške i<br />
F ⋅ n – skaliarinė sandauga.<br />
→ →<br />
∧<br />
⎛ r r ⎞<br />
Fi<br />
⋅ni<br />
= Fi<br />
cos⎜<br />
ni,<br />
Fi<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
ni r<br />
Pi<br />
∆σi<br />
∧<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ni<br />
Fi<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
r r<br />
,<br />
→<br />
Fi<br />
n →<br />
∑ F<br />
i=<br />
1<br />
P , ( P )<br />
( P ) n(<br />
P )<br />
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 104<br />
→<br />
n<br />
i<br />
i<br />
→<br />
i<br />
∆σ<br />
, (2)<br />
i<br />
– <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus normalės →<br />
n reikšmė taške P i ,<br />
∆ i<br />
Integralinės sumos (2) riba, kai max σ → 0<br />
vadinamas antrojo tipo <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiniu integralu<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiumi σ <strong>ir</strong> žymimas ∫∫ → →<br />
F n dσ<br />
, jei tik ši riba<br />
egzistuoja. Taigi<br />
σ<br />
n<br />
∑<br />
max ∆σi<br />
→0<br />
i=<br />
1<br />
→ →<br />
∫∫<br />
→ →<br />
lim F n ∆σ<br />
= F n dσ<br />
.<br />
i<br />
i<br />
i<br />
σ<br />
(3)<br />
Kiekvienas sumos (2) narys yra<br />
∧<br />
→ →<br />
⎛ → → ⎞<br />
F ∆ = ∆<br />
⎜ ⎟<br />
i ni<br />
σ i Fi<br />
σ i cos F<br />
⎜ i,<br />
ni<br />
, (4)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠
Change language