kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

More documents

Recommendations

Info

Imkime srities V taškus, kuriuose funkcija u f ( x, y, z) = turi pastovią reikšmę c . ( x, y z) c u = f , = Tokių taškų aibė sudaro paviršių f ( x, y, z) = c . Kai paimsime kitą c reikšmę, gausime kitą paviršių. Šie paviršiai vadinami lygio paviršiais. 2 2 2 x y z Pavyzdys. Apskaičiuokime skaliarinį lauko f ( x, y, z) = + + lygio paviršius. 4 9 16 2 2 2 x y z > Lygio paviršiai yra + + = c , t.y. elipsoidai.< 4 9 16 x u = z O x ( x y) u = z = f , ( x, y) c f = § 9. GRADIENTAS IR JO SAVYBĖS Tegul erdvėje yra duotas stacionarus laukas bus u u( x, y, z) = yra plokščias laukas, o lauko u reikšmes (lauko intensyvumas) atidėsime z ašyje, tai laukas u = z = f ( x, y) yra dviejų kintamųjų funkcija ir galime kalbėti apie tokio lauko lygio linijas f ( x, y) = c . Šiuo atveju lygio linijos bus z = c , t.y. paviršiaus z = f ( x, y) susikirtimo linijos su plokštumomis z = c . Žinant lygio linijas, patogu nagrinėti lauko charakterį. Tuo atveju, kai u f ( x, y, z) = . Šioje erdvėje yra ir tam tikra linija L , einanti per tašką M , kuriame linijos L liestinės kryptis yra → l . Lauko u išvestinė pagal kryptį → l reiškia šio lauko kitimo greitį duotąja kryptimi ∂u u( N ) − u( M ) = lim . (1) ∂l ∆s→0 ∆s Kai linija L duota parametriniu pavidalu r r () s → → l = , tai laukas u išilgai linijos L yra sudėtinė kelio s funkcija τ N L u ( s) = u( x( s) , y( s) , z( s) ) . ∆ s → du Lauko u išvestinę pagal kryptį l galime ds M apskaičiuoti, kaip sudėtinės funkcijos išvestinę du ∂u dx ∂u dy ∂u dz = + + , ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds čia dešinėje pusėje galime rasti dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, t.y. © A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 95 y y
du ⎛ ∂u → ∂u → ∂u →⎞ ⎛ dx → = ⎜ i + j+ k ⎟ ⋅ ⎜ i + dl ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ dS Pirmasis iš šių vektorių yra vadinamas lauko u gradientu ir žymimas © A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 96 dy dS Jo fizikinę prasmę išsiaiškinsime vėliau. Antrasis vektorius yra krypties → l vienetinis vektorius. Todėl Taigi skaliarinio lauko u u( x, y, z) → j+ dz dS →⎞ k ⎟ ⎠ ∂u → ∂u → ∂u → grad u = i + j+ k . (2) ∂x ∂y ∂z → → → d ⎛ ⎞ → → → → ⎜ x i + y j+ z k ⎟ dx dy dz → + + = ⎝ ⎠ d r i j k = = τ ds ds ds ds ds du ds → = grad u ⋅τ (4) = išvestinė → l kryptimi yra lygi dviejų vektorių grad u ir → τ skaliarinei sandaugai. Pasinaudokime žinoma vektorinės algebros formule, tada du → = grad u ⋅τ = prτ ( grad u) = gradlu (5) ds yra gradiento projekcija(skaliaras) į vektorių → l . ∂u ∂u ∂u Pažymėkime, kad išvestinės , , yra gradiento projekcijos. ∂x ∂y ∂z u = u x, y, z pilnąjį diferencialą Apskaičiuokime funkcijos ( ) ∂u ∂u ∂u ⎛ ∂u → ∂u → ∂u →⎞ → → → du = dx + dy + dz = ⎛ ⎞ ⎜ i + j+ k ⎟⎜dx i + dy j+ dz k ⎟ = ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎝ ⎠ → → → → = grad u ⋅ d ⎛ ⎞ ⎜ x i + y j+ z k ⎟ = grad u ⋅ d r ⎝ ⎠ Dabar išsiaiškinkime grad u fizikinę prasmę. Iš du (5) formulės matome, kad yra maksimalus, ds kai grad u ir → τ kryptys sutampa, nes tada projekcija yra didžiausia. Taigi grad u reikšmė taške M nusako absoliutinį lauko u = u( x, y, z) kitimo greitį, o jo kryptis šio lauko kitimo (augimo) kryptį. Jei tam tikroje aplinkoje yra „krosnis“, tai visur temperatūros lauko gradientas nukreiptas į „krosnį“. Kuo arčiau „krosnies“, tuo temperatūros lauko modulis didesnis, nes ten temperatūros lauko kitimas yra didesnis. (3)
Page 1 and 2: V skyrius KARTOTINIAI, KREIVINIAI I
Page 3 and 4: Jei f ( x, y) ≥ 0 , tai dvilypis
Page 5 and 6: I = ⎛ ⎜ ⎝ ϕ ( x) 2 ( x, y) d
Page 7 and 8: koordinačių sistemoje. Žinome ry
Page 9 and 10: § 5. TRILYPIO INTEGRALO APSKAIČIA
Page 11 and 12: Plokštelę, kurios forma atitinka
Page 13: I I I xx yy zz = = = 2 2 ∫∫∫(
Page 17 and 18: čia L - erdvinė integravimo kreiv
Page 19 and 20: 3 ⎧ 1− 2t ⎪dx = 3a dt, 3 2
Page 21 and 22: Pakeiskime integravimo kryptį, tad
Page 23 and 24: normalė → n su teigiama z ašies
Page 25 and 26: Apskaičiavimą pademonstruokime in
Page 27 and 28: ∂X ∂X ∂z ∫ X ( x, y, z) dx
Page 29 and 30: ∫∫∫ V = ∫∫ D ( x, y, z)

kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?