kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

∫∫∫
V
=
∫∫
D
( x,
y,
z)
∂Z
∂z
Z
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 110
( x,
y )
( x,
y )
( x,
y,
f ( x,
y)
) dxdy − Z(
x,
y,
f ( x,
y)
) dxdy.
2
dxdydz =
⎛
⎜
⎝
f 2
⎜ ∫∫ ∫
D
f1
∫∫
D
∂Z
⎞
dz⎟dxdy
=
∂z
⎟
⎠
Jau žinome, kad Z(
x y,
f ( x,
y)
) dxdy = Z(
x,
y,
z)
∫∫
D
Z
∫∫
D
, 2
∫∫
σ
2
1
cosγdσ
( x y,
f ( x,
y)
) dxdy = Z(
x,
y,
z)(
− cos ) dσ
= − Z(
x,
y,
z)
, 1
Reiškinius (2) ir (3) įrašome į formulę (1), tada
∫∫∫
V
( x,
y,
z)
∂Z
∂z
∫∫
Dar pridedame ( x,
y,
z)
∫∫
σ
1
σ
3
dxdydz =
∫∫
σ
1
Z
∫∫
σ
1
∫∫
( x,
y,
z)
cos dσ
+ Z(
x,
y,
z)
γ cosγdσ
∫∫
γ cosγdσ
.
Z cosγdσ
= 0 , nes šiame paviršiujeσ 3 – cos γ = 0,
tada
( x,
y,
z)
cos dσ
+ Z(
x,
y,
z)
cosγdσ
+ Z(
x,
y,
z)
cosγdσ
= Z(
x,
y,
z)
∫∫
σ
∫∫
Z γ cosγdσ
ir
2
∫∫∫
V
∂Z
dxdydz =
∂z
Analogiškai galime gauti šias išraiškas:
∂Y
∫∫∫ dxdydz =
∂y
V
σ
∫∫
σ
∫∫
σ
3
Z
Y
( x y,
z)
σ
2
σ
∫∫
σ
1
(1)
(2)
(3)
, cosγdσ
. (4)
( x y,
z)
, cos βdσ
, (4a)
∂X
∫∫∫ dxdydz = ∫∫ X ( x,
y,
z)
coαβdσ
. (4b)
∂x
V
σ
Sudedame jas visas (4, 4a, 4b) ir gauname Gauso – Ostrogradskio formulę
∫∫∫
V
⎛ ∂X
∂Y
∂Z
⎞
⎜ + + ⎟dxdydz
=
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
∫∫
σ
( X ( x y,
z)
cos + Y ( x,
y,
z)
cos β + Z(
x,
y,
z)
cosγ
)
, α dσ
,
kuri nustato ryšį tarp trilypio integralo srityje V ir paviršinio integralo paviršiumi σ , ribojančiu
šią sritį.
Pavyzdys. Apskaičiuoti paviršinį integralą
3
3
3
I = x dydz + y dxdz + z dxdy išoriniu sferos
∫∫
S
2 2 2 2
+ y + z R paviršiumi.
φ
x =
> Gauso – Ostrogradskio formulę perrašome į
r
pavidalą
θ
⎛ ∂X
∂Y
∂Z
⎞
x
∫∫∫ ⎜ + + ⎟dxdydz
= ∫∫ X ( x,
y,
z)
dydz + Y ( x,
y,
z)
dxdz + Z(
x,
y,
z)
dxdy
⎝ ∂x
∂y
∂z
V
⎠
σ
, nes
z
P(x,y,z)
y