kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

du ⎛ ∂u
→ ∂u
→ ∂u
→⎞
⎛ dx →
= ⎜ i + j+
k ⎟ ⋅ ⎜ i +
dl ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ⎝ dS
Pirmasis iš šių vektorių yra vadinamas lauko u gradientu ir žymimas
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 96
dy
dS
Jo fizikinę prasmę išsiaiškinsime vėliau. Antrasis vektorius
yra krypties →
l vienetinis vektorius. Todėl
Taigi skaliarinio lauko u u(
x,
y,
z)
→
j+
dz
dS
→⎞
k ⎟
⎠
∂u
→ ∂u
→ ∂u
→
grad u = i + j+
k . (2)
∂x
∂y
∂z
→ → →
d
⎛
⎞ →
→ → → ⎜ x i + y j+
z k ⎟
dx dy dz
→
+ + =
⎝
⎠ d r
i j k
= = τ
ds ds ds ds ds
du
ds
→
= grad u ⋅τ
(4)
= išvestinė →
l kryptimi yra lygi dviejų vektorių grad u ir
→
τ skaliarinei sandaugai. Pasinaudokime žinoma vektorinės algebros formule, tada
du
→
= grad u ⋅τ
= prτ
( grad u)
= gradlu
(5)
ds
yra gradiento projekcija(skaliaras) į vektorių →
l .
∂u
∂u
∂u
Pažymėkime, kad išvestinės , , yra gradiento projekcijos.
∂x
∂y
∂z
u = u x,
y,
z pilnąjį diferencialą
Apskaičiuokime funkcijos ( )
∂u
∂u
∂u
⎛ ∂u
→ ∂u
→ ∂u
→⎞
→ → →
du = dx + dy + dz =
⎛
⎞
⎜ i + j+
k ⎟⎜dx
i + dy j+
dz k ⎟ =
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠⎝
⎠
→ → →
→
= grad u ⋅ d
⎛
⎞
⎜ x i + y j+
z k ⎟ = grad u ⋅ d r
⎝
⎠
Dabar išsiaiškinkime grad u fizikinę prasmę. Iš
du
(5) formulės matome, kad yra maksimalus,
ds
kai grad u ir →
τ kryptys sutampa, nes tada
projekcija yra didžiausia. Taigi grad u reikšmė
taške M nusako absoliutinį lauko u = u(
x,
y,
z)
kitimo greitį, o jo kryptis šio lauko kitimo
(augimo) kryptį.
Jei tam tikroje aplinkoje yra „krosnis“, tai visur
temperatūros lauko gradientas nukreiptas į
„krosnį“. Kuo arčiau „krosnies“, tuo
temperatūros lauko modulis didesnis, nes ten
temperatūros lauko kitimas yra didesnis.
(3)