kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

⎧
⎪
⎪cosα
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨cos
β =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪cosγ
=
⎪
⎪
⎪
⎩
∂f
−
∂x
,
2
2
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
1+
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠
∂f
−
∂y
,
2
2
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
1+
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠
1
.
2
2
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
1+
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠
(1)
Tegul visas paviršius σ yra srityje V , kurioje duota funkcija X ( x y,
z)
, , tolydi kartu su jos
pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis. Išnagrinėkime kreivinį integralą kreive λ
Ir linijoje λ galioja lygybė z f ( x,
y)
∫ λ
( x y z)
X , , dx .
= , čia x ir y linijos L koordinatės. Galime užrašyti
∫
λ
( x,
y,
z)
dx = X ( x,
y,
f ( x y)
)
X ,
Paskutinysis integralas (2) yra kreivinis integralas kreive L . Pertvarkykime jį taip, kad
galėtume pritaikyti Grino formulę
∫
L
Xdx
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 107
∫
⎛ ∂Y
∂X
⎞
+ Ydy
= ∫∫⎜
− ⎟dxdy .
⎝ ∂X
∂Y
⎠
Mūsų atveju, X ( x,
y)
= X ( x,
y,
f ( x,
y)
) , ( x,
y)
= 0
rodyklę. Gauname tokį rezultatą
−
∫∫
D
∂X
( x,
y,
f ( x,
y)
)
∂y
D
L
dx
(2)
Y , L apėjimo kryptis yra prieš laikrodžio
dxdy =
∫
L
X
( x,
y,
f ( x,
y)
)
Apskaičiuojame sudėtinės funkcijos X ( x,
y,
z)
, čia z f ( x,
y)
kintamąjį y
( x,
y,
f ( x,
y)
) ∂X
( x,
y,
z)
∂f
( x,
y)
∂X
( x,
y z)
∂ X
,
=
+
∂y
∂z
∂y
∂y
Reiškinį (4) įrašome į (3) ir gauname
dx . (3)
= dalinę išvestinę pagal
⎛ ∂X
∂X
∂z
⎞ ∂X
∂X
∂z
∫ X ( x,
y,
f ( x,
y)
) dx = −∫∫⎜
+ ⎟dxdy
= −∫∫
dxdy −
∂ ∫∫ dxdy . (5)
⎝ ∂y
∂z
∂y
⎠
y ∂z
∂y
L
Paskutiniajam reiškiniui pritaikome (2), ir tada
D
D
D
(4)