kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

⎧x
= a cost,
⎨ jos viršutinė dalis, kai 0 ≤ t ≤ π . Apskaičiuojame ⎨
⎩y
= bcost,
⎩ ⎧dx
= −a
sin tdt,
tada
dy = bcostdt,
π
∫
0
2 2
( asin
t)
dt − a costbcostdt
= −ab
( sin t + cos t)
dt = − ab
bsin t − ∫
π . <
π
0
§ 12. PLOTŲ APSKAIČIAVIMAS KREIVINIU INTEGRALU
Tegul plokštumoje turime sritį D , apribotą
uždara linija L . Sritį D aprašome taip:
⎧x
∈(
a,
b)
,
⎨
Tokios srities plotas yra
⎩y
∈(
y1(
x)
, y2
( x)
) .
∫∫
b
∫
y2
( x)
∫
( x)
∫
( x)
dx − y ( x)
Q = dxdy = dx dy = y2
1
D
a
y1
Paskutiniuosius du apibrėžtinius integralus
galime pakeisti kreiviniais integralais. Pirmajame
iš šių kreivinių integralų integruojame kreive,
priešinga kreivei l 2 , nes y = y2(
x)
, a ≤ x ≤ b yra
šios kreivės − l2
lygtis, todėl
b
∫
a
2
( x)
dx = ∫ ydx = −∫
y ydx . Tuo tarpu, antrajame
−l2 l2
b
a
integrale integruojame kreive l 1 ir jis yra ∫ y 1(
x)
dx = ∫ ydx , todėl
Q = −
b
∫
a
b
a
∫
l2
ydx −
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 99
dx
∫
l1
l1
ydx = −
∫
L
ydx . (1)
Analogiškai galime įrodyti, kad Q = ∫ xdy . (2)
Sudedame (1) ir (2), o po to padaliname iš 2 ir gauname
y
Q
φ
M
x
L
O
y
1
Q = ∫ xdy − ydx . (3)
2
L
Pavyzdys. Apskaičiuoti Dekarto lapo kilpos
plotą, jei šios kreivės parametrinės lygtys yra
⎧ 3at
⎪
x =
1+
t
⎨
⎪ 3at
⎪
y =
⎩ 1+
t
> Apskaičiuojame
3
2
3
a b
,
.
l 1
D
L
y1 ( x)
L
y2 ( x)
l 2
x