kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Kaip žinome, visada<br />
tik patenkinta sąlyga (2).<br />
2 ( x,<br />
y)<br />
∂ u(<br />
x y)<br />
2<br />
∂ u<br />
,<br />
=<br />
∂x∂y<br />
∂y∂x<br />
( N )<br />
, o todėl<br />
Išvada. Kreivino integralo X ( x y)<br />
dx + Y ( x,<br />
y)<br />
∫<br />
( M )<br />
( x,<br />
y)<br />
∂Y<br />
( x y)<br />
∂ X<br />
,<br />
=<br />
∂y<br />
∂x<br />
visada patenkinta, jei<br />
, dy reikšmė nepriklauso nuo integravimo<br />
kelio (<strong>kreiv</strong>iniai <strong>integralai</strong> <strong>kreiv</strong>ėmis MPN <strong>ir</strong> MQN sutampa), o tik nuo taškų M <strong>ir</strong> N padėties,<br />
kai<br />
∂ X ( x,<br />
y)<br />
∂Y<br />
( x,<br />
y)<br />
= , o tai yra tas pats, kad <strong>kreiv</strong>inio integralo pointegralinis reiškinys<br />
∂y<br />
∂x<br />
X ( x,<br />
y)<br />
dx + Y ( x,<br />
y)dy<br />
yra tam tikros funkcijos u ( x,<br />
y)<br />
pilnasis diferencialas<br />
du x,<br />
y = X x,<br />
y dx + Y x,<br />
y .<br />
( ) ( ) ( )dy<br />
§ 14. VIENPUSIAI IR DVIPUSIAI PAVIRŠIAI. PAVIRŠIAUS ORIENTACIJA<br />
Bet kuriame <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiuje parinkime tašką <strong>ir</strong> fiksuokime normalės kryptį šiame taške. Slinkime<br />
pas<strong>ir</strong>inktą <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiumi bet kuria<br />
A<br />
C kryptimi, neperžengdami<br />
B<br />
D<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus krašto. Jei pas<strong>ir</strong>odys,<br />
kad taškui slenkant šiuo <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiumi<br />
tolydžiai, galime vėl grįžti į pradinį<br />
tašką su ta pačia normalės kryptimi, tai tokį<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šių vadiname dvipusiu. Vienpusio <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus<br />
atveju į pradinį tašką grįžtame su priešinga<br />
normalės kryptimi. Paprasčiausiu vienpusio<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus <strong>pav</strong>yzdžiu gali būti Mebijuso lapas. Jis<br />
gaunamas iš popieriaus juostelės, kai ją<br />
suklijuosime persukę, kaip parodyta <strong>pav</strong>yzdyje.<br />
Pradėję šį <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šių dažyti, nudažysime jį iš<br />
abiejų šonų, neperžengdami <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus kraštų.<br />
Dvipusio <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus taške parinkta normalės<br />
A B<br />
D C<br />
kryptis nustato šio <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus pusę arba, kaip sakoma, šį <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šių orientuoja. Pav<strong>ir</strong>šiaus orientacija<br />
parodo, kuria jo puse yra atliekamas vienas<br />
teigiamos<br />
orientacijos<br />
x<br />
z<br />
N<br />
S<br />
n r<br />
neigiamos orientacijos<br />
y<br />
ar kitas procesas (pvz.: <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šinio integralo<br />
apskaičiavimas).<br />
Pav<strong>ir</strong>šiuje S paimkime tašką N <strong>ir</strong> apie jį<br />
apibrėžkime pakankamai mažo spindulio<br />
apskritimu. Šio taško teigiama apėjimo<br />
kryptimi laikysime tą, kai, einant apskritimo<br />
linija, jo aprėžiamas plotas lieka ka<strong>ir</strong>ėje<br />
pusėje. Išveskime šiame taške normalę.<br />
Pav<strong>ir</strong>šiaus orientaciją laikysime<br />
teigiama, jei, žiūrint iš normalės galo į<br />
<strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus tašką, pastarojo apėjimo krytis bus<br />
prieš laikrodžio rodyklę.<br />
Pav<strong>ir</strong>šiaus S v<strong>ir</strong>šutinis šonas yra teigiamos<br />
orientacijos, o apatinis šonas – neigiamos.<br />
Teigiamos orientacijos atveju <strong>pav</strong><strong>ir</strong>šiaus<br />
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 103
Change language