kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

taško i
P iki i+
1
→ →
i = Fi
⋅∆
si
§ 10. PIRMOJO IR ANTROJO TIPŲ KREIVINIAI INTEGRALAI
P , t.y.
→ →
∆ i = Pi
Pi
+ 1
A (skaliarinė sandauga).
o
y
y i
O
i+
1
y
∆
yi
P 2
P 1
M
→
Fi
xi
P i
∆ xi
Tegul turime tam tikrą liniją L , kurioje
tarp taškų M ir N , jėgos →
F veikiamas, juda
P x,
y . Jėga →
F gali keisti tiek savo
taškas ( )
→
kryptį, tiek ir dydį, t.y. F
→
F(
P)
= .
Apskaičiuokime jėgos →
F atliekamą
darbą A , kai taškas P nueina kelią nuo taško
M iki taško N .
Kreivės L dalį nuo taško M iki taško
N taškaisP i išdaliname į n dalių,
pažymėdami →
∆s i vektorių
→
P iPi
+1 . Lankus,
esančius tarp taškų P i irP i+
1 , pakeičiame
styga ∆ si
, tiksliau vektoriumi, einančiu nuo
s . Tada elementarioje atkarpoje atliekamas darbas yra
Jei ( ) ( ) →
→
→
F = X x,
y i + Y x,
y j , čia X ( x,
y)
ir ( x y)
→ → →
si = ∆xi
i + ∆yi
P
∆ j , tai
x
i+
1
i+
1
A ≈
∆ si
i ∆ si
→ →
Y , jėgos →
F projekcijos,
( xi
yi
) ∆xi
+ Y ( xi
, yi
) yi
F = X , ∆ ir
n
∑
i=
1
→
→
F ∆ s
i
i
=
n
∑
i=
1
[ X ( x y ) ∆x
+ Y ( x , y ) ∆y
]
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 97
i
, (1)
Apskaičiuojame reiškinio (1) ribą, kai max s → 0 ( x → 0 , y → 0)
ir gauname
∫
n
∑ ∆xi→0
∆y
→ i=
1
i 0
∆ i
i
i
∆ i
[ X ( x , y ) ∆x
+ Y ( x , y ) ∆y
]
A = lim .
i
i
i
( N )
i
i
i
i
i
i
∆ i
( x y)
dx + Y ( x,
y)
dy = X ( x,
y)
dx + Y ( x y)
∫
A = X , , dy . (2)
L
Ši integralinės sumos riba vadinama funkcijų X ( x,
y)
ir ( x y)
Y , antrojo tipo kreiviniu
integralu kreive L .
Pastaba. Integrale (2) M ir N yra skliaustuose, nes tai ne skaičiai, o linijos, kuria vyksta
integravimas, pradžios ir galo taškai.
Tuo atveju, kai kreivė L yra erdvinė kreivė, tada trijų funkcijų X ( x,
y,
z)
, Y ( x,
y,
z)
, Z(
x,
y,
z)
kreivinis integralas apskaičiuojamas analogiškai
∫
( M )
( x y,
z)
dx + Y ( x,
y,
z)
dy + Z(
x,
y z)
A = X , , dz , (3)
L
N
L
x