Diferenci¯algeometrijas uzdevumi

1.5. Līknes vērpums 19
Liekumu ˇsajā gadījumā var aprēk¸ināt arī pēc formulām, kas attiecas
uz līkņu vienādojumu īpaˇsiem gadījumiem.
1.16. piemērs. Aprēk¸ināt līknes x 2 − 2xy + 2y 2 − x + y − 1 = 0 liekumu
punktā M0(0; −1) (skat. 1.6. piemēru).
1.5. Līknes vērpums
F ′ x = 2x − 2y − 1 = 1,
F ′ y = −2x + 4y + 1 = −3,
F ′′
xx = 2,
F ′′
yy = −2,
F ′′
yy = 4,
k = 4√ 3
9a .
Līknes vērpuma aprēk¸ināˇsanas formula
κ = (r ′ r ′′ r ′′′ )
|r ′ × r ′′ | 2.
Ja līknes vienādojumi ir formā (1.1), tad jāuzraksta tās parametriskie
vienādojumi (skat. 1.2. un 1.3. piemērus).
Plakanas līknes pazīme: visos tās punktos κ = 0.
1.17. piemērs. Aprēk¸ināt līknes r = (cos2
t; sin t cos t; sin t) vērpumu
punktā M0 t0 = π
4 (skat. 1.2. piemēru).
Ērtāk aprēk¸inus veikt ˇsādā secībā:
r ′ = (−2 cos t sin t; cos 2 t − sin 2 √
2
t; cos t) = −1; 0; ,
2
r ′′ √
2
= (−2 cos 2t; −2 sin 2t; − sin t) = 0; −2; − ,
2
r ′ × r ′′ √
√2; 2
= ; 2 ,
2
r ′′′ √
2
= (4 sin 2t; 4 cos 2t; − cos t) = 4; 0; − ,
2