Diferenci¯algeometrijas uzdevumi

4 I nodal¸a. LĪKNES EIKLĪDA TELPĀ
• parametriskie vienādojumi
• skalāra argumenta vektoriāla funkcija
x = x(t), y = y(t); (1.6)
r = r(t), kur r = x(t); y(t) . (1.7)
Ja līkne dota veidā (1.2), (1.3), (1.6) un (1.7), tad par pozitīvo virzienu
uz tās uzskata virzienu, kurā pārvietojas tās punkts, augot parametram t.
Aplūkosim pāreju no viena līknes noteikˇsanas veida uz citiem.
1.1. piemērs. Uzrakstīt līknes
vienādojumus formā (1.1).
x = cos t, y = sin t, z = cos 2t
Lai iegūtu divu virsmu vienādojumus, kuru ˇsk¸ēlumam pieder līkne,
jāizslēdz parametrs t divos veidos.
Ņemot vērā trigonometrisko funkciju īpaˇsības, no pirmā un otrā vienādojuma
iegūstam
x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1.
No visiem trim vienādojumiem var secināt:
z = cos 2t = cos 2 t − sin 2 t = x 2 − y 2 .
Aplūkojamā līkne pieder rotācijas cilindra un hiperboliskā paraboloīda
ˇsk¸ēlumam:
x 2 + y 2 = 1, x 2 − y 2 = 1.
Izslēdzot parametru t vēl vienā veidā:
z = cos 2t = cos 2 t − sin 2 t = 1 − 2 sin 2 t = 1 − 2y 2 ,
iegūst citus virsmu pārus: rotācijas cilindru un parabolisko cilindru:
x 2 + y 2 = 1, z = −2y 2 + 1,
vai parabolisko cilindru un hiperbolisko paraboloīdu:
z = −2y 2 + 1, x 2 − y 2 = z.
Katrai līknei eksistē bezgala daudzi virsmu pāri, kuru ˇsk¸ēlumam tā
pieder.
Lai noskaidrotu, vai līkne sakrīt ar virsmu visu ˇsk¸ēlumu, nepiecieˇsami
papildus pētījumi (skat. 1.2. piemēru).