Article - J.P. Hogendijk

De aangeboden bundel. Foto Bonhams
Verwarring om oud rekenboek
Veilinghuis Bonhams biedt
woensdag een wiskundig werk van
Fibonacci aan. Volgens experts is
het niet het zeldzame boek waar
Bonhams het voor houdt.
Oude wiskundige manuscripten gaan
niet vaak onder de hamer. Maar aanstaande
woensdag gebeurt dat wel, bij
veilinghuis Bonhams in New York: vijf in één
klap, meldt de catalogus. ‘Bijeen gebonden
door prins Baldassare Boncampagni in het
midden van de negentiende eeuw, uit Italië of
Noord-Italië, stammend uit de laat veertiende
tot laat vijftiende eeuw en allemaal op papier.’
En het lekkerst komt het laatst, want ‘de laatste
tekst van deze bundel bevat een zeldzaam werk
van Fibonacci, geschreven in het kanselarijschrift
van de laat vijftiende eeuw.’
Dat ‘zeldzame werk’ is het Liber Abaci uit
1202. In dat befaamde boek over de kunst van
het rekenen bracht koopman en geleerde Leonardo
van Pisa, beter bekend als Leonardo Fibonacci,
het decimale Hindoe-Arabische getallenstelsel
onder de aandacht van Europeanen
[zie ook Een islamitische geleerde uit Italië].
„Dat was ontzettend belangrijk”, zegt Jan
van de Craats, hoogleraar wiskunde in Amsterdam.
„Fibonacci is later vooral beroemd geworden
door de puzzeltjes in het boek, maar de
hoofdzaak was dat hij de boekhouders en kooplieden
leerde om te rekenen met decimale getallen.
Dat was zoveel handiger dan met Romeinse
cijfers.”
Tot nu toe waren maar twaalf dertiende- tot
vijftiende-eeuwse kopieën van het boek teruggevonden,
de meeste in het Vaticaan. En dat bij
Bonhams nu nóg een kopie ligt, met fijne rode
lijntekeningetjes én de cijfers 0 tot en met 9 tussen
de tekst, dat laat veel wiskundigen watertanden.
Maar wat Bonhams erover schrijft is „flauwekul”,
zegt Jan Hogendijk, hoogleraar geschiedenis
van de wiskunde in Utrecht. Hogendijk is
een vermaard specialist op het gebied van de
oude islamitische wiskunde. Hij heeft zich
geërgerd aan de „misleidende tekst” in de cata-
Dat bij Bonhams nu nog een
kopie zou liggen, laat veel
wiskundigen watertanden
Pa g i n a ’s uit het Liber Abaci in het 15 e -eeuwse kanselarijhandschrift. Foto Bonhams
‘Het gaat niet om het
boek Flos. Die bewering is
onzinnig. Flauwekul. ’
logus. Vooral aan de zinnen waarin Bonhams
preciseert welk stuk van het Liber Abaci in de
verzamelband zit.
Het veilinghuis schrijft dat het gaat om ‘Liber
Flos, [de hoofdstukken 14 en 15 van het Liber
Abaci].Beginnend: Incipit: liceat mihi in hoc de
radicum.’ Nog preciezer: om twee later toegevoegde
hoofdstukken die Fibonacci ook apart
zou hebben uitgegeven, onder de naam Flos.
Maar, nee, nee, zegt Hogendijk aan de telefoon.
„Dat klopt niet. Ik heb het nagekeken in
mijn eigen negentiende-eeuwse uitgave, die op
oude kopieën is gebaseerd. Deze zin is wél de
beginzin van hoofdstuk 14 van het oorspronkelijke
Liber Abaci, maar níet die van het boek
F l o s. ” Fibonacci schreef Flos in 1225, dus 23
jaar nadat het Liber Abaci uitkwam.
Flos is een boek op zich, zegt Hogendijk. Een
andersoortig boek ook. „De hoofdstukken 14
en 15 van het Liber Abaci zijn best interessant.
Hoofdstuk 14 laat vooral zien hoe je met wortels
kunt rekenen, hoe je die kunt optellen en
vermenigvuldigen. En hoofdstuk 15 bevat ‘leu-
ke’ rekenkundige problemen. Maar Flos is van
een veel hoger niveau, met echt lastige vraagstukken.
Die problemen hebben wel te maken
met methodes uit de hoofdstukken 14 en 15,
maar ze zijn veel wiskundiger van aard.” [zie
Rekenen met Liber Abaci en Flos]
Heeft Bonhams de waarde van het manuscript
– 120.000 tot 180.000 dollar– dan te hoog
ingeschat? Hogendijk: „Het zou echt spectaculair
zijn als het zeldzame boek Flos of het hele
Liber Abaci geveild zouden worden. Twee
hoofdstukken zijn uiteraard minder waard dan
een heel boek. Maar het lijkt me sowieso een
kwestie van wat de gek ervoor geeft.”
Hij zou het er zelf niet voor over hebben?
„Oh ja, zeker wel. Als ik het geld had..., natuurlijk!
Ik denk ook dat het voor Italiaanse kopers
erg interessant is, want het is Italiaans erfgoed.
Naar de Nederlandse situatie vertaald: alsof een
manuscript van Christiaan Huygens zou worden
geveild. Maar: het gaat niet om de Flos. Die
bewering is onzinnig.”
De expert van Bonhams New York kan niet
meer zo gauw terugvinden waar de informatie
vandaan kwam dat deze hoofdstukken het Liber
Flos zouden vormen, zegt ze aan de telefoon.
„Het zijn in elk geval de hoofdstukken 14
en 15 van het Liber Abaci.”
Margriet van der Heijden

Een islamitische
geleerde uit Italië
Leonardo Fibonacci (1170-1250)
Fibonacci was een schakel
tussen Europese en Arabische
culturen. Hij bracht het
decimale getallenstelsel naar
Europa, waar nog Romeinse
cijfers werden gebruikt.
Leonardo Fibonacci (1170-1250)
wordt wel een islamitische wiskundige
genoemd. Hij was de zoon van
een ambtenaar van de republiek van
Pisa, en reisde als jongen al met zijn
vader naar Bugia in het huidige Algerije.
Daar kreeg hij wiskundeonderwijs,
en op latere reizen naar vele
landen langs de Middellandse Zee
zocht hij steeds weer lokale geleerden
op.
„Hij was scherpzinnig, sprak zijn
talen en had een open geest. Zo
vormde hij een levende schakel tussen
de Arabische cultuur en die van
Europa”, zegt Jan Hogendijk, hoogleraar
geschiedenis van de wiskunde
in Utrecht.
De Europese wis- en rekenkunde
liepen rond 1200 flink achter. Europeanen
hannesten met de Romeinse
cijfers. „Een ramp als je moet rekenen
of breuken wilt opschrijven”,
zegt Jan van de Craats, hoogleraar
wiskunde in Amsterdam.
Het decimale getallenstelsel uit
India, overgenomen door de Arabische
wereld, was veel praktischer.
Dat stelsel, ons huidige stelsel dus, is
een positiestelsel met de cijfers 1 tot
en met 9 en met het cijfer 0. De
plaats van een cijfer bepaalt mede de
waarde ervan – een tiental staat op
de eerste plek van rechts (10), een
honderdtal op de tweede plek (100),
een duizendtal op de derde plek
(1000) enzovoorts. Een nul geeft in
dit systeem aan dat er géén tientallen,
honderdtallen of duizendtallen
kleiner dan tien in een getal meedoen
(zoals in 10000, en niet 9999).
Fibonacci toonde in zijn Liber
Abaci uit 1202 met talloze voorbeelden
aan hoeveel voordelen dit systeem
had voor kooplieden en rekenmeesters.
Hij liet bijvoorbeeld zien
hoe gemakkelijk je breuken kunt
schrijven, of met wortels kunt reke-
Portret van Fibonacci door een onbekende
Middeleeuwse schilder
nen. Maar toch duurde het nog tot
de zestiende eeuw voordat het decimale
positiestelsel in Europa definitief
in zwang raakte.
Intussen werd Fibonacci zelf vooral
beroemd om zijn konijnenreeks.
Die laat zien waarom je beter geen
mannetjes- en vrouwtjeskonijn kunt
kopen. Want: als die na een maand
vruchtbaar zijn, en twee kinderen
krijgen, die zelf na een maand ook
weer een vruchtbaar paartje vormen
en zo verder, dan zit je in de loop van
twaalf maanden met 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89 konijnenparen. Na
een jaar met 89 konijnenparen dus –
ofwel 178 konijnen.
Wie in de natuur om zich heen
kijkt ziet telkens getallen uit deze
‘Fibonacci-reeks’ opduiken: de vijf
punten in het klokhuis van een appel,
de 89 blaadjes van de zonnebloem,
zelfs de gulden snede hangt
ermee samen...
„Maar bij veel van die observaties
gaat het ook om folklore en mythologie”,
zegt Jan van de Craats. „De
natuur is nu ook weer niet zo exact.”
Nog iets, zegt Jan Hogendijk: „Ook
die reeks van Fibonacci was waarschijnlijk
in de islamitische wereld
al bekend.” In India in elk geval wel,
daar heette hij de reeks van Hemach
a n d r a .
Margriet van der Heijden

Rekenen met Liber Abaci en Flos
Het Liber Abaci (1202) van Leonardo
Fibonacci, over het rekenen
met decimale getallen, was vooral
invloedrijk doordat Fibonacci aansprekende
en vaak praktische
voorbeelden gaf. Twee voorbeelden
van rekenopgaves uit hoofdstuk
14 van het boek:
· Op twee torens, 30 en 40 voet
hoog, zitten twee vogels. Op een
gegeven moment vliegen zij met
dezelfde snelheid naar een fontein
die op een rechte lijn tussen
de beide torens ligt (of op het verlengde
daarvan) en komen daar
tegelijk aan. Vind de positie van
de fontein als de afstand tussen
de torens gegeven is: bijvoorbeeld
50 voet of 10 voet.
· Aan het begin van een handelsreis
heeft een handelaar een kapitaal
van 100 pond. Hij maakt tijdens
zijn reis een bepaald percentage
winst. Na de reis voegt hij
100 pond aan zijn kapitaal toe,
gaat opnieuw op reis en maakt
weer hetzelfde percentage winst
op het totaal. Aan het eind van de
tweede reis heeft hij 299 pond.
Bepaal het winstpercentage.
Het boek Flos (1225) was veel specialistischer.
Fibonacci droeg het
op aan de Frederik II, de keizer van
het Heilige Roomse Rijk. In het
boek gaf Fibonacci oplossingen
voor problemen die Johannes
van Palermo hem had voorgelegd
op een bijeenkomst in Pisa waarbij
Frederik II ook aanwezig was.
Ook een voorbeeld:
· Vind een getal zodat tien maal
dat getal, plus twee maal het kwadraat
van dat getal, plus de derdemacht
van dat getal, gelijk is aan
twintig.
Johannes van Palermo had dat
probleem waarschijnlijk ontleend
aan de Algebra van de Perzische
d i ch t e r- a s t r o n o o m - w i s k u n d i g e
Omar al-Khayyam (1041-1131).
Al-Khayyam en Fibonacci konden
het geen van beiden exact oplossen,
maar Fibonacci gaf wel de
benaderende oplossing:
1 + 22/60+ 7/3600 + 42/(60 3 ) +
33/(60 4 ) + 4/(60 5 ) + 40/(60 6 ).
In het Liber Abaci vind je zulke
problemen niet, zegt Jan Hogendijk,
hoogleraar geschiedenis van
de wiskunde.
Oplossingen voor de opgaven uit
het Liber Abaci:
Bij een afstand van 50 voet tussen
de torens, staat de fontein op 32
voet van de kleine toren, en op 18
voet van de grote. De handelsreiziger
maakt 30 procent winst op
beide handelsreizen.