Nederlandse vertaling - Jan P. Hogendijk.

Wiskunde en geometrische ornamentiek in
de middeleeuws Islamitische wereld.
Jan P. Hogendijk
1 Inleiding
Veel middeleeuwse Islamitische moskeeën en paleizen zijn versierd met prachtige
geometrische ornamenten. Deze versieringen hebben moderne kunstenaars
en kunsthistorici geïnspireerd en zij zijn vaak in verband gebracht met moderne
wiskundige begrippen zoals kristallografische groepen en aperiodieke
betegelingen. Islamitische ornamenten kunnen inderdaad goed gebruikt worden
om zulke moderne begrippen te illustreren.
De middeleeuws Islamitische beschaving heeft ons ook een belangrijke
geschreven wiskundige erfenis nagelaten. Honderden Arabische en Perzische
handschriften zijn bewaard geweest in bibliotheken in diverse gebieden in
de wereld. Sommige teksten in deze manuscripten zijn Arabische vertalingen
van de belangrijkste Griekse meetkundige werken uit de oudheid, zoals
de Elementen van Euclides (ca. 300 v.C.) en de Kegelsneden van Apollonius
(ca. 200 BC). Het leeuwendeel van de manuscripten bestaan it teksten
van middeleeuwse auteurs die leefden tussen de achtste en zeventiende eeuw,
met verschillende religieuze achtergronden en afkomstig uit verschillende gebieden.
In het vervolg ik deze auteurs ‘Islamitisch’ noemen maar dit woord
‘Islamitisch’ heeft een culturele betekenis. Veel ’Islamitische’ wiskundige teksten
hadden niet te maken met de Islam als religie. En hoewel de meerderheid
van de auteurs Moslim was, werden belangrijke bijdragen geleverd door
Christenen, Joden, en auteurs met andere achtergrond die in de Islamitische
wereld leefden.
De meeste Islamitische geleerden die de Elementen van Euclides bestudeerden
deden dit om sterrenkundige of astroloog te worden. Daarom zijn er veel
Islamitische wiskundige teksten over boldriehoeksmeting. Maar er zijn ook
Islamitische teksten over onderwerpen uit de meetkunde die niets te maken
hebben met sterrenkunde. In bijna alle middeleeuwse Islamitische werken
over meetkunde die tot nu toe bekend geworden zijn, is helemaal niets te
vinden over Islamitische geometrische ornamenten. Dit is verrassend omdat
de auteurs van deze teksten vaak in de grote Islamitische cultuurcentra
leefden en deze versieringen vermoedelijk elke dag om zich heen zagen.
1

In dit artikel zullen we zien dat de Islamitische geometrische ornamenten
in het algemeen niet door wiskundigen ontworpen en geconstrueerd werden
maar door handwerkers (Arabisch: s.unnā c .) Deze handwerkslieden waren
niet getraind in de geleerde wiskunde in de stijl van de Elementen van Euclides.
Onze belangrijkste vraag zal zijn wat voor soort wiskundige methoden
deze handwerkers gebruikten (als ze wiskunde gebruikten), en in hoeverre ze
contact hadden met de wiskundigen en sterrenkundigen die getraind waren
in de methoden van de klassiek Griekse wiskunde. Wij zullen deze vragen
bespreken aan de hand van het zeer fragmentarische bronnenmateriaal dat
in handschriften overgeleverd is. Om het geheel niet te lang te maken zullen
we ons beperken tot vlakke ornamenten; we zullen geen aandacht besteden
aan patronen op koepels en muqarnas (stalactietgewelven).
2 Abu’l-Wafā’
Onze eerste bron is het boekje “over wat de handwerksman nodig heeft van
de wetenschap van de meetkunde” 1 van de tiende-eeuwse toonaangevende
wiskundige Abu’l-Wafā’ al-Būzjānī. Dit boekje bevat informatie over de
werkmethoden van de handwerkers die verderop voor ons nuttig zal zijn.
Abu’l-Wafā’ werkte in Baghdad, een van de intellectuele centra in de Islamitische
wereld, en hij droeg zijn boek op aan Bahā’ al-Dawla, die van 988 tot
1012 over Irak regeerde, en die blijkbaar zowel wiskundigen als handwerkers
in dienst had aan zijn hof. Bijna het hele boekje bestaat uit constructies
met passer en lineaal uit de vlakke Euclidische meetkunde. Deze constructies
worden op de gewone manier uitgelegd, dat wil zeggen met behulp van
meetkundige figuren met punten die door letters worden aangegeven, maar
zonder bewijzen. Abu’l-Wafā’ zegt dat hij geen argumenten en bewijzen geeft
om het onderwerp meer geschikt en begrijpelijk te maken voor handwerkers
[?, 23].
Het boekje bestaat uit elf hoofdstukken over (1) de lineaal, de passer en de
gonia (een instrument in de vorm van een rechthoekige driehoek); (2) basisconstructies
uit de Euclidische meetkunde, en verder een constructie van twee
middenproportionalen, een trisectie van de hoek en een puntsgewijze constructie
van een (parabolische) brandspiegel; (3) constructies van regelmatige
veelhoeken, waaronder ook enkele constructies met maar één passeropening;
1 Voor Franse en Duitse vertalingen van onvolledige handschriften zie [?] en [?]. De
complete Arabische tekst is in [?] en in facsimile in [?].
2

(4) constructies van ingeschreven veelhoeken in een cirkel; (5) constructies
van de omgeschreven cirkel van diverse figuren; (6) constructie van de ingeschreven
cirkel in een figuur; (7) constructies van ingeschreven figuren (van
een bepaalde vorm) in andere figuren; (8) verdelen van driehoeken; (9) verdelen
van vierhoeken; (10) het combineren van vierkanten tot één vierkant, en
het verdelen van een vierkant in kleinere vierkanten, alles met knip-en plakconstructies;
en (11) de vijf regelmatige veelvlakken en enkele halfregelmatige
veelvlakken. Abu’l-Wafā’ maakt geen gewag van geometrische ornamenten.
De meeste informatie over de methoden van de handwerkers staat in
hoofdstuk 10. In dat hoofdstuk bericht Abu’l-Wafā’ over een samenkomst van
wiskundigen en handwerkers waarin het volgende probleem besproken werd:
construeer een vierkant gelijk (in oppervlakte) aan drie keer een gegeven
vierkant (zie [?, 173-183] voor een Engelse vertaling). De handwerkers hadden
drie gelijke vierkanten voor zich en wilden deze in stukken knippen en deze
stukken weer aan elkaar leggen tot een groot vierkant. De wiskundigen konden
de zijde van het grote vierkant gemakkelijk construeren met de methoden
van Euclides, maar zij konden niet aangeven hoe het grote vierkant gelegd kon
worden met stukken van de kleine vierkanten. Abu’l-Wafā’ beschrijft dan de
oplossingen van de handwerkers, maar wel met enige minachting omdat het
benaderingsmethoden zijn. Hij was getraind in de Elementen van Euclides
en was van mening dat meetkunde ging over oneindig dunne lijnen en punten
zonder afmeting, die alleen in de verbeelding bestaan. Hij klaagt dat de
handwerkslieden altijd een gemakkelijke constructie wilden vinden die ogenschijnlijk
correct is, en dat ze geen belangstelling hadden voor een bewijs met
wat hij “de verbeelding” noemt. Abu’l-Wafā’ verklaart dan dat constructies
die exact bewezen kunnen worden moeten worden onderscheiden van constructies
die slechts een benadering zijn, en dat de handwerkslieden correcte
constructies moeten ontvangen zodat zij de benaderingen niet meer hoeven te
gebruiken. 2 Het is niet bekend hoe zijn boekje door zijn tijdgenoten ontvangen
werd, maar aan de benaderingsconstructies is geen einde gekomen want
het zestiende-eeuwse Perzische handschrift dat we verderop zullen bestuderen
bevat een rijke collectie van zulke constructies.
2 Abu’l-Wafā’ geeft wel een benaderende constructie van een regelmatige zevenhoek
met passer en liniaal. Hij geloofde vermoedelijk, net als veel van zijn tijdgenoten, dat een
regelmatige zevenhoek niet exact met passer en liniaal geconstrueerd kan worden.
3

3 De Topkapırol
De handwerkers zelf schijnen maar heel weinig documenten over hun activiteiten
op het gebied van geometrische ornamentiek hebben nagelaten (of
misschien moeten we zeggen dat er nog maar weinig van zulke documenten
zijn gevonden). Het belangrijkste van deze documenten is de zogenaamde
Topkapırol, die tegenwoordig bewaard wordt in het Topkapı Paleis in Istanbul,
en die gepubliceerd is in het prachtige boek [?]. Deze rol is 29.5 m lang
en 33 cm breed, en zou in Noordwest Iran in de zestiende eeuw geschreven
kunnen zijn, maar de datering is onzeker. De rol bestaat uit tekeningen
zonder begeleidende tekst. Veel van deze tekeningen gaan over kalligrafie
en muqarnas, maar er zijn ook tekeningen van vlakke ornamenten. Ik heb
een niet-triviaal voorbeeld uitgezocht om de karakteristieke (en frustrerende)
problemen van interpretatie te illustreren.
De tekening [?, p. 300] bestaat uit rode, zwarte en oranje lijnen, die in
Figuur 1 met dikke, dunne en gebroken lijnen worden weergegeven (zie voor
een foto van de tekening op de rol ook [?]). De gebroken lijnen in Figuur
1 definiëren een verzameling van vijf verschillende tegels, die in de moderne
literatuur gireh-tegels worden genoemd, van het Perzische woord gīreh, dat
knoop betekent. De dunne doorlopende lijnen vormen een decoratief patroon
dat verkregen kan worden door de zijden van de gireh-tegels doormidden te
delen en daarna op de juiste manier lijnen door deze middens te trekken.
Waarschijnlijk is het patroon op deze manier ontworpen, maar zeker is dit
niet, omdat de rol geen begeleidende tekst bevat. De gireh-tegels van Figuur
1 zijn recent in de publiciteit gekomen doordat zij gebruikt kunnen worden
om aperiodieke betegelingen te leggen. Het is niet mogelijk te zeggen of de
handwerkslieden een intuïtief begrip van aperiodiciteit hadden (zie voor een
goede discussie van deze kwestie [?]).
4

Figuur 1. Tekening: Dr Steven Wepster.
4 Een anonieme Perzische tekst
We zouden graag een middeleeuws Islamitische tekst willen hebben die geschreven
is door een handwerksman en waarin het ontwerp en de constructie van
geometrische ornamenten duidelijk beschreven wordt. Zo’n tekst is nooit
gevonden en tot nu toe is er slechts één tekst ontdekt waarin tekeningen met
geometrische ornamenten vergezeld worden door verklaringen in woorden.
We zullen nu nagaan wat deze tekst ons kan vertellen over de methoden van
de handwerkers. De tekst is een tamelijk chaotische collectie van 40 bladzijden
tekeningen met zeer beknopte uitleg in het Perzisch (zie [?, 146-150] voor
fotos van enkele paginas). Hoewel de tekeningen met uitleg in een vreemde
volgorde staan en niet eens het werk van één auteur hoeven te zijn, zullen we
de hele verzameling toch als één tekst beschouwen. 3 De tekst zoals hij nu is
is misschien in de zestiende eeuw ontstaan, maar zoals we zullen zien is een
deel van het materiaal veel ouder.
De tekst is bewaard in een handschrift waar ook nog veel andere teksten
in staan, van in totaal ongeveer 400 bladzijden [?, 55-56]. Sommige van de
andere teksten in het handschrift zijn standaard wiskundige werken zoals een
3De tekst is in het Russisch vertaald in [?, 315-340] en in modern Perzisch in [?, 73-93].
Een editie met Engelse vertaling was gepland door Alpay Özdural (cf. [?]), die echter in
2003 overleed voordat hij het project kon afmaken. De Perzische tekst zal met vertaling en
commentaar gepubliceerd worden door een interdisciplinaire groep onderzoekers in 2013.
5

Arabische vertaling van een klein deel van de Elementen van Euclides. Maar
de Perzische tekst lijkt niet op een traditioneel werk van een wiskundige of
sterrekundige in de Islamitische traditie. Het lijkt er op dat de tekst het
werk van een of meer handwerkslieden is, omdat er veel overeenkomsten zijn
met wat Abu’l-Wafā’ zegt over hun methoden (zie hierboven). De Perzische
tekst licht weer een klein tipje op van de sluier over het ontwerp en de constructie
van Islamitische geometrische ornamenten. Om deze aspecten nader
te illustreren zullen we nu vier voorbeelden uit de tekst kort de revue laten
passeren in de paragrafen 4.1 tot en met 4.4.
4.1. De tekst bevat veel benaderingsconstructies, waaronder een reeks
constructies van de regelmatige vijfhoek met één vaste passeropening. In deze
constructies wordt aangenomen dat de opening van de passer gelijk is aan
ofwel de zijde van het gevraagde vijfhoek, of de diagonaal, of de hoogtelijn,
of de straal van de omgeschreven cirkel. Nu volgt een van deze constructies,
met een vertaling van een deel van de begeleidende tekst in het handschrift
[?, 184b]. Figuur 2 is een transcriptie van de figuur in het handschrift,
waarin de Arabische letters van de punten in de figuur (alif, bā’, . . . ) worden
weergegeven als A, B, . . . , en de middeleeuwse Hindu-Arabische getalsymbolen
worden weergegeven door hun moderne equivalenten. De Perzische
tekst bij Figuur 2 luidt in vertaling:
G
figuur 2
6 4
D
15
Z
21
9
21
B
9
“Over de constructie van gonia 5 met de passeropening van de straal,
uitgaande van gonia 6. Op lijn AG beschrijf de halve cirkel ADG met middelpunt
B. Maak dan punt A het middelpunt en beschrijf boog BE. Maak
dan punt G het middelpunt en op de omtrek van de boog vind punt D en
trek lijn AD die boog EB ontmoet in punt Z. Trek lijn GZ die de omtrek
6
E
15
5
H
6
A

ontmoet in punt H. Verbind de lijnen AH, GH. 4 Elk van de driehoeken
AZH, GZD is gonia 5, en de oorspronkelijke driehoek ADG was gonia 6,
. . . ” (Einde citaat.)
G
figuur 2
6 4
D
15
Z
21
9
21
B
9
De punten A, E, D en G zijn vier hoekpunten van een regelmatige zeshoek,
en DH is de zijde van de regelmatige vijfhoek die in dezelfde cirkel is ingeschreven
als de zeshoek. De constructie is een goede benadering, 5 maar
zij is niet exact, en zou daarom niet zijn goedgekeurd door Abu’l-Wafā’. In
hoofstukken 3 en 4 van zijn boekje geeft Abu’l-Wafā’ exacte constructies van
de regelmatige vijfhoek met behulp van een vaste passeropening. De gonia
wordt door Abu’l-Wafā’ genoemd als een instrument dat door handwerkslieden
wordt gebruikt. Uit de geciteerde Perzsiche tekst maken we op dat
o 180 en 90 −
gonia n een rechthoekige driehoek is met hoeken 90 o , 180
E
15
5
H
6
A
n
n
o . In
Figuur 2 zijn de hoeken uitgedrukt in eenheden waarvan 15 gelijk zijn aan
een reachte hoek. In de Islamitische traditie werd de verdeling van een rechte
hoek in 90 graden bijna alleen gebruikt in verband met boldriehoeksmeting,
sterrenkunde en geografie.
4.2. Abu’l-Wafā’ zegt dat de handwerkers met knip- en plakconstructies
werkten en de Perzische tekst bevat veel van zulke constructies. Sommige
komen met een of meer paragrafen uitleg uitgelegd maar bij het volgende
voorbeeld wordt geen uitleg gegeven.
4Inplaats van GH staat in het handschrift de schrijffout DH.
5Dit kan als volgt worden aangetoond. Stel de straal van de cirkel is 1, en teken
, GP =
een loodlijn ZP op AG. Dan geldt ZA = 1, ZAP = 30o , ZP = 1
2 , AP = √ 3
2
2 − √ 3
2 , ZGP = arctan ZP
GP ≈ 23.8o . Omdat DGP = 60o is ZAH = ZGD ≈ 36.2o .
7

5
Figuur 3
3
1
4
2
2
4
3
1
5
3
4
Figuur 3 laat een regelmatige zeshoek en een gelijkbenige driehoek zien,
die zodanig in stukken zijn verdeeld dat de figuren allebei met deze stukken
gelegd kunnen worden. Figuur 3 is ontleend aan het handschrift [?, 197a] met
dien verstande dat is aangenomen dat de gelijkbenige driehoek gelijkzijdig
is, en dat de figuur wiskundig correct is getekend. De stukken worden in
het handschrift met getallen aangeduid zoals in Figuur 3, om de positie van
hetzelfde stuk in de driehoek en zeshoek aan te geven. Omdat er geen uitleg in
het handschrift staat, is niet direct duidelijk hoe de stukken precies gesneden
moeten worden. Het is een leuke oefening om de details zelf uit te werken,
en na afloop hiervan is de lezer van dit artikel waarschijnlijk overtuigd van
de these dat het handschrift bedoeld was om gelezen te worden onder leiding
van een deskundig leraar die verdere informatie kon verschaffen. De stukken
no. 1 en no. 2 zijn in het handschrift zijn zo getekend dat no. 1 breder is
dan no. 2. Dit is niet het geval in Figuur 3 maar wel als de tophoek van de
gelijkbenige driehoek minder dan ca. 54o is, zoals in Figuur 4, die is getekend
voor een tophoek 360 o
. Vermoedelijk wilde de handwerksman aangeven hoe
7
een algemeen gelijkbenige (en niet gelijkzijdige) driehoek tot een zeshoek
kon worden omgevormd en vice versa, maar omdat er geen uitleg in het
handschrift staat kunnen we daar niet zeker van zijn. Deze constructie is
wiskundig correct maar en staan ook benaderende knip- en plak-constructies
in het Perzische handschrift.
Het is niet nodig aan te nemen dat deze en dergelijke ingewikkelde knip
en plak-constructies echt in de praktijk gebruikt werden. Net als de latere
Europese rekenmeesters hebben de Islamitische handwerkers elkaar wellicht
uitgedaagd met problemen die moeilijker waren dan hun dagelijkse routine
vereiste.
8
5
2
1 1
2
5
4
3

5
Figuur 4
3
1
4
2 2
4
3
1
5
3
4
2
2
1 1
5 5
4.3. De vele tekeningen van geometrische ornamenten in de Perzische
manuscript laten zien dat de auteurs veel bezig waren met het ontwerpen
en construeren van decoratieve patronen. Een voorbeeld is ook in een echt
gebouw te vinden, namelijk in de Noordkoepel van de Vrijdagmoskee in Isfahan,
die in de late elfde eeuw gebouwd is. In de Perzische tekst wordt
het decoratieve patroon met maar weinig woorden beschreven, als volgt ([?,
192a], [?, 148]), waarbij verwezen wordt naar Figuur 5. 6
C O G E
F
Figuur 5
H
D
T
S
N
L
“Maak hoek BAG drie zevende van een rechte hoek. Deel lijn AG
doormidden in punt D. Pas BE af gelijk aan AD. Markeer lijn EZ evenwijdig
aan AG. Trek lijn T I 7 evenwijdig aan BE, deel T E doormidden in
punt H, en maak T I gelijk aan T H. Verleng EI tot hij lijn AB doorsnijdt
6 De gebroken lijnen in Figuur 5 zijn ook gebroken lijnen in het handschrift.
7 De tekst maakt niet duidelijk dat T een willekeurig punt is op het segment EL.
I
M
9
B
K
Z
A
4
3

in punt K. Markeer KL evenwijdig aan BE. Met middelpunt Z cirkel boog
KMN zodat het stuk KM gelijk is aan MN. Op lijn AF neem punt S (hoe
wordt niet gezegd) en dat is het middelpunt van een zevenhoek. Voltooi de
constructie als God de Verhevene het wil.
En anders construeer hoek ELN gelijk aan hoek ELK en met de lijn LN
vind het middelpunt S.
En anders snijd EO af gelijk aan EL, zodat punt O het middelpunt van
een zevenhoek is. En maak lijn OS evenwijdig aan GA en gelijk aan AG (in
het handschrift staat de schrijffout AD). En dan is punt S het middelpunt
van een tweede zevenhoek. En anders laat GO gelijk zijn aan AS. God weet
het het beste.”
De tekst vertelt niet wat nu met deze figuur gedaan moet worden. Blijkbaar
moest deze rechthoekige figuur en het spiegelbeeld herhaald worden
zoals door Figuur 6 wordt weergegeven. Dan ontstaat het patroon in de
noordelijke koepel van de Vrijdagmoskee. 8
P
Figuur 6
P
P
H
P
Q
P
H
P
P
P
Het patroon kan in verband gebracht worden met gireh-tegels als in Figuur
1 hierboven. Zulke gireh-tiles worden in het Perzische handschrift niet genoemd;
de geciteerde passages bevatten alle uitleg over de figuur. Wij kunnen
daar het volgende aan toevoegen. We stellen α = 1
7 × 180o en neem als girehtegels
twee soorten zeshoeken met gelijke zijden, (de dunne lijnen in Figuur
6), van type P met hoeken 4α, 5α, 5α, 4α, 5α, 5α, en van type Q met hoeken
4α, 4α, 6α, 4α, 4α, 6α. We trekken geschikte lijnen door de middens van de
zijden met als resultaat de “sterren” die in in P en Q ingeschreven zijn, met
8 Zie voor een foto [?].
10

hoeken 2α in de middens van de zijden van de gireh-tegels. De zevenhoeken H
in Figuur 6 zijn regelmatig. Patronen met regelmatige zevenhoeken worden
niet vaak gevonden op Islamitische gebouwen, en daarom gaat het patroon in
het handschrift en op de Noordelijke koepel waarschijnlijk terug op dezelfde
ontwerper of ontwerpers. Het patroon in de Noordkoepel bestaat uit de dikke
lijnen in Figuur 6 met decoratieve toevoegingen, maar zonder de gireh-tegels
in Figuur 6.
4.4. Het vierde en laaste voorbeeld uit het Perzische verhandeling zal
enkele details onthullen over de relatie tussen handwerkers en de geleerde
Islamitische wiskundigen en sterrenkundigen die getraind waren in Griekse
wiskunde. Als inleiding bekijken we een patroon in de Hakim moskee in
Isfahan (Figuur 7). Het patroon is geïnspireerd door een verdeling van een
groot vierkant in een kleiner vierkant en vier vliegers. 9 Twee van de hoeken
van elke vlieger zijn recht.
Figuur 7
9 See [?]. Het patroon is voorzien van kalligrafie: Allāh in het kleine vierkant in het
midden en Moh. ammad en c Alī in de vliegers.
11

E
Z
Figuur 8
H
C
B
Q
R
T
S
Figuur 8 is een gedeeltelijke transcriptie van een figuur in de Perzische
verhandeling [?, 189b], maar de letters en de gebroken lijnen zijn door mij
toegevoegd. 10 In de figuur is een groot vierkant met zijde ZP verdeeld in een
klein vierkant met zijde RQ en vier grote vliegers zoals EQT Z en RT P U, elk
met twee rechte hoeken en paren gelijke zijden (QE = EZ, QT = T Z, RT =
T P, RU = UP ). Merk op dat de vier grotere diagonalen van de grote vliegers
ook een vierkant vormen met zijde ET , dat ik het tussenvierkant zal noemen.
In figuur 8 wordt verder aangenomen dat de zijde QR van het kleine vierkant
gelijk is aan de afstand RB tussen elk hoekpunt van het kleine vierkant en
de dichtstbijzijnde zijde van het tussenvierkant. Dan kan elke grote vlieger,
zoals EQT Z, worden verdeeld in twee rechthoekige driehoeken BRT, BCT ,
en twee kleine vliegers EQRB, EBCZ met twee rechte hoeken en paarsgewijs
gelijke zijden (EQ = EB, RQ = RB, EB = EZ, CB = CZ). Dan hebben
we vier grote vliegers en acht kleine vliegers, en voor het gemak zal deze
verdeling van het grote vierkant in het vervolg aangeduid worden als het
patroon met de twaalf vliegers.
10 De letters in Figuur 8 zijn zo gekozen om het verband met Figuur 10 hieronder aan
te geven.
12
U
P

E
Z
Figuur 8
H
C
B
Q
R
T
S
Bijna een kwart van het hele Perzische verhandeling heeft te maken met
het patroon met de twaalf vliegers. Als we loodlijnen ZH en RS naar ET
en T U trekken, dan geldt ZH = RS = BT . De twee zijden EZ en EB van
de kleine vlieger EBCZ zijn ook gelijk, en daarom geldt in de rechthoekige
driehoek EZT het volgende: ZH +EZ = ET. Het twaalf-vliegerpatroon kan
geconstrueerd worden als we een rechthoekige driehoek (zoals EZT ) kunnen
vinden met de eigenschap dat de hoogtelijn (ZH) plus de kortste rechthoekszijde
(EZ) gelijk is aan de schuine zijde (ET ). De Perzische tekst zegt dat
“Ibn-e Heitham” een werkje schreef over deze driehoek en hem construeerde
met twee kegelsneden namelijk “een parabool en een hyperbool”. Verdere
informatie wordt niet gegeven, en overigens wordt nergens in het handschrift
een kegelsnede getekend. De tekst bevat wel een aantal benaderingsconstructies
van het twaalf-vlieger patroon, zoals de volgende [?, 189b] (Figuur 9).
13
U
P

V
Y
F
Figuur 9
X
W
L
G
5
B
D
De tekst zegt: “Lijn AD is de diagonaal van een vierkant. De groottes van
AB, BG zijn gelijk en AD is gelijk aan AB. Vind punt E op de rechtlijnige
verlenging van lijn GD. Dan is elk van EZ, ZH gelijk aan AG. Trek lijn
GH en door punt K trek lijn KL evenwijdig aan GH. Vind punt L, het
gevraagde punt is nu verkregen.”
De benadering is goed genoeg voor alle praktische doeleinden. Als de
zijde van het vierkant 1 meter is, is het verschil tussen de wiskundig correcte
positie van L en de positie volgens bovenstaande benaderingsconstructie
slechts enkele millimeters. 11 We kunnen als volgt inzien dat de benaderingsconstructie
geen diepe wiskundige voorkennis vereist. In de figuur in het
handschrift worden de acht kleine vliegers nog een keer verdeeld in drie nog
kleinere vliegers met paarsgewijs gelijke zijden en minstens een rechte hoek.
In Figuur 9 is deze onderverdeling aangegeven met gebroken lijnen in één
vlieger V W XY in de linker bovenhoek. Nu ligt het voor de hand te gissen
dat F V = 1V
W , en we kunnen daarbij opmerken dat F ligt op de deellijn
2
van hoek W V Y . We kunnen dit als uitgangspunt nemen; de eerste stap in
de benaderingsconstructie komt neer op de constructie van driehoek ADG
gelijkvormig aan V F W .
11 Als de zijde van het ”vierkant” in het begin 1 gesteld wordt, geldt AD = √ 2, AG =
2 √ 2, AE
AG =
1
2 √ 2−1
K
H
Z
E
A
dus AE = 1
7 · (8 + 2√ 2), AZ = 1
7 · (8 + 16√ 2), ZGA ≈ 57.12 . . . ≈
57 o 7 ′ , vergelijk met voetnoot 13 hieronder. Merk op ZGA in Figuur 9 overeenkomt met
α = ZET in Figuur 8 en 10.
14

Voor verdere details over het Perzische handschrift verwijzen we naar de
geplande editie met vertaling en commentaar die hopelijk in 2013 of kort
daarna zal verschijnen.
5 Wat Islamitische wiskundigen zeggen over
het patroon met de twaalf vliegers.
De verwijzing naar “Ibn e-Heitham” in de Perzische tekst laat zien dat het
patroon met de twaalf vliegers ook bestudeerd werd door wiskundigen en
sterrenkundigen. We zullen nu laten zien wat hierover bekend is omdat
we zo meer informatie krijgen over de contacten tussen de wiskundigen en
de handwerkers. “Ibn e-Heitham” is een Perzische vorm van de naam van
Ibn al-Haytham (ca. 965-1041), een bekende Islamitische wiskundige en astronoom
die veel belangstelling had voor kegelsneden. Zijn verhandeling
over de rechthoekige driehoek EZT is echter (nog?) niet teruggevonden. We
hebben wel toegang tot een relevant werk van een andere bekende wiskundige,
tevens dichter, namelijk c Umar Khayyām (1048-1131). Dit werk is geschreven
in het Arabisch en het draagt de titel “verhandeling over het verdelen van
een kwadrant”. Het begint op de volgende saaie manier (Figuur 10, [?, 73]):
T
B
M
Figuur 10
Z
A
H E
G
D
“We willen het kwadrant AB van de cirkel ABGD in twee delen verdelen
door een punt Z, en we willen een loodlijn ZH op de middellijn BD neerlaten
zodat de verhouding van AE tot ZH gelijk is aan de verhouding van EH tot
HB, waarbij E het middelpunt van de cirkel is AE de straal.” Khayyām geeft
geen enkele aanwijzing over de oorsprong of het belang van dit probleem. Hij
trekt de raaklijn aan de cirkel in Z, en laat deze raaklijn het verlengde van
BE in T doorsnijden. Daarna laat hij zien dat in de rechthoekige driehoek
15

EZT , de som van de hoogtelijn ZH plus de kortste rechthoekzijde ZE gelijk
is aan de schuine zijde ET . 12
Nu wordt duidelijk dat het probleem vermoedelijk is geïnspireerd door het
patroon met de twaalf vliegers, maar Khayyām noemt nergens de relatie met
het patroon of met geometrische ornamenten in het algemeen. In een nieuwe
figuur (hier niet weergegeven) stelt Khayyām, in de notatie van Figuur 10,
EH = 10 en ZH = x, dus ZE = √ 100 + x2 en met gelijkvormige driehoeken
HT = x2 . Hij laat dan zien dat de eigenschap ZH + EZ = ET neerkomt op
10
de kubische vergelijking x3 + 200x = 20x2 + 2000, of in letterlijke vertaling
van zijn woorden: “een kubus en twee honderd dingen zijn gelijk aan twintig
kapitalen en twee duizend in getal” [?, 78]. Vervolgens construeert hij een
lijnsegment met lengte gelijk aan de (positieve) wortel x van deze vergelijking
door middel van de doorsnede van een cirkel en een hyperbool. Een anonieme
appendix [?, 91] bij deze tekst van Khayyām bevat een directe constructie
van punt Z in Figuur 10. In deze constructie is Z de doorsnede van de
cirkel en de hyperbool door punt B met asymptoten de middellijn AEG en
de raaklijn GM (gebroken lijnen in Figuur 10). Dit was totaal irrelevant
voor een handwerker die het patroon met de twaalf vliegers wilde tekenen.
Khayyām deelt mede dat numerieke oplossingen van de kubische vergelijking
niet kunnen worden gevonden. Om toch een numerieke benadering van boog
ZB te vinden, herformuleert hij nu het probleem van het cirkelkwadrant
in (middeleeuws) goniometrische vorm als volgt: vind een boog zodat “de
verhouding van de straal van de cirkel tot de sinus van de boog gelijk is aan
de verhouding van de cosinus tot de sinusversus.” In moderne termen geldt
dat als α = ZET en de straal is 1, AE : ZH = EH : BH equivalent is
aan 1 : sin α = cos α : (1 − cos α). Khayyām moet dus een boog α vinden
met deze eigenschap. Hij zegt dat dit probleem door proberen kan worden
opgelost met behulp van goniometrische tabellen (van sinus en cosinus), en
dat hij op deze manier gevonden heeft dat α ≈ 57o , en als AE = 60 dan
ZH ≈ 50, EH ≈ 32 2
1
en BH ≈ 27 . Hij zegt ook dat het probleem nog
3 3
nauwkeuriger kan worden opgelost. Met behulp van de rekenmethodes en
de tabellen van goniometrische functies die in die tijd beschikbaar waren,
had hij de boog in graden en minuten kunnen berekenen met behulp van
12 Bewijs: In Figuur 10, geldt wegens gelijkvormige driehoeken EH : EZ = EZ : ET , en
omdat EZ = EB geldt ook EH : EB = EB : ET , en daarom EH : (EB − EH) = EB :
(ET − EB), dat wil zeggen EH : HB = EB : BT . Aangenomen was EH : HB = AE :
ZH, en omdat AE = BE geldt ook EH : HB = EB : ZH. We concluderen ZH = BT ,
dus EZ + ZH = EB + BT = ET .
16

lineaire interpolatie. 13 Deze informatie over sexagesimale graden en minuten
zou ook van weinig nut geweest zijn voor de handwerkers, zoals we in 4.2
hierboven gezien hebben. In dit verband is het interessant wat de Iraanse
wiskundige en sterrenkundige Al-Bīrūnī (976-1043) zegt in een boek over de
bepaling van de qibla (de richting van Mekka). Al-Bīrūnī berekent de qibla
te Ghazni (Afghanistan) met behulp van boldriehoeksmeting als 70 graden
en 47 minuten ten Westen van het meest zuidelijke punt op de horizon.
Hij voegt daarna een benaderingsconstructie met passer en lineaal toe, voor
“architecten en handwerkers,” die “niet bekend zijn met graden en minuten”
([?, 286], vergelijk [?, 255-256]).
6 Conclusie
We keren nu terug naar onze beginvraag naar de methoden van de handwerkers
die de Islamitische geometrische decoraties ontwierpen. Omdat er
zo weinig bronnenmateriaal is, is niet duidelijk in hoeverre we algemene conclusies
kunnen trekken uit de informatie die we gevonden hebben. Maar
gesteld dat dit wel zou kunnen, dan kunnen we het volgende zeggen over
verschillen tussen Islamitische handwerkers die de ornamenten ontwierpen,
en de Islamitische wis- en sterrenkundigen die geschoold waren in de Griekse
meetkunde:
• De wis- en sterrenkundigen werkten met bewijzen, in de stijl van de
Elementen van Euclides. De handwerkers waren wel bekend met de
manier waarop Euclides figuren tekende met letters om de punten aan
te duiden (en ze gebruikten soms ook getallen zoals het getal 5 in Figuur
9 hierboven). Echter, de handwerkers gebruikten geen meetkundige
bewijzen en ze waren niet geschoold in de redeneermethoden van de
Elementen.
• Traditionele teksten van Islamitische wiskundigen en astronomen bevatten
meestal voldoende informatie om de wiskundige inhoud te begrijpen.
Mondelinge toelichting is niet absoluut noodzakelijk. Echter,
13 Als we moderne wiskunde gebruiken en x = tan α stellen, gelft HZ = 10x als HE =
10. dus 10x is een worten van de kubische vergelijking van Khayyām, en daarom geldt
x 3 + 2x = 2x 2 + 2. De vergelijking is irreducibel over de rationale getallen, en dus kan het
patroon met de twaalf vliegers niet exact met passer en lineaal geconstrueerd worden. De
vergelijking heeft een reële wortel x = 1.54369 . . . dus α ≈ 57.06 o ≈ 57 o 4 ′ .
17

teksten en tekeningen van handwerkers zijn vaak dubbelzinnig of onduidelijk
en vereisen verdere mondelinge toelichting.
• Wiskundigen en sterrenkundigen maakten onderscheid tussen exacte
en benaderende meetkundige constructies. Handwerkers maakten geen
onderscheid tussen exact en benaderend; voor hen was alleen belangrijk
dat een constructie een resultaat had dat acceptabel was voor de
praktijk, d.w.z. er goed uitzag.
• De handwerkers gebruikten enkele instrumenten die zelden of niet voorkomen
in de theoretische werken van de Griekse meetkunde, bijvoorbeeld
een rechthoekige driehoek, en een passer met vaste opening.
Het volgende zou gezegd kunnen worden over de relatie tussen handwerkers
en wiskundigen. Geleerde wiskundigen zoals Ibn al-Haytham en c Umar
Khayyām beschouwden de ontwerpen van handwerkers als jachtterrein voor
het zoeken van interessante wiskundige problemen. Zo zou het patroon
met de twaalf vliegers een inspiratie geweest kunnen zijn voor constructies
met kegelsneden als in Figuur 10 hierboven. Zulke constructies waren
een favoriet researchonderwerp in de tiende en elfde eeuw voor Islamitische
wiskundigen die de Kegelsneden van Apollonius (ca. 200 v.C) bestudeerd
hadden. Echter, Khayyām vertelde zijn lezers niet dat zijn meetkundige
constructieprobleem geïnspireerd was door een decoratief patroon. 14 Andere
Islamitische meetkundige problemen kunnen ook een tot nu toe onbekende
historische context hebben die met ornamentiek te maken heeft.
De handwerkers wisten dat sommige wiskundigen gewerkt hadden aan
problemen die met ornamenten te maken hadden en zij bejegenden de oplossingen
met respect, alhoewel ze de details en de technische terminologie meestal
niet begrepen. In de Perzische tekst staat [?, 185a] dat de constructie van een
rechthoekige driehoek zoals EZT in Figuur 8 “buiten de Elementen van Euclides
valt” en gebruik maakt van de “wetenschap van kegelsneden”. Nergens
in de tekst is echter een kegelsnede getekend.
Natuurlijk kunnen we niet uitsluiten dat er enkele wiskundigen waren die
zich ook met het ontwerp en de constructie van geometrische ornamenten
14Toen de tekst van Khayyām over de verdeling van het cirkelkwadrant gepubliceerd
werd in 1960 [?] en in 1981 [?], konden de moderne uitgevers niet weten dat het probleem
door geometrische ornamentiek was geïnspireerd. Omstreeks 1995 ontdekte de architectuurhistoricus
Özdural het verband door zijn studie van de Perzische tekst die wij hierboven
ook bekeken hebben [?].
18

ezig hielden. Het zevenhoekige patroon in Figuur 6 wordt in de Perzische
tekst uitgelegd in de taal van de handwerkers, maar omdat c Umar Khayyām
in Isfahan woonde toen de Noordkoepel gebouwd werd, en zelfs bevriend was
met de opdrachtgever van de bouw, is het mogelijk dat hij iets te maken
had met het ontwerp. Dat een combinatie van wiskundige geleerdheid en
handvaardigheid meer voorkomt in de Islamitische traditie wordt aangetoond
in het voorbeeld van Abū H. āmid al-Khujandī (ca. 980). Deze auteur was
geschoold in Griekse wiskunde en sterrenkunde, schreef een aantal werken op
dit gebied, en was ook een fenomenaal metaalbewerker en kunstenaar. 15
De bronnen die we in dit artikel hebben beschreven lichten slechts een
klein tipje op van de sluier die ligt over de ontwerptraditie van de Islamitische
handwerkers. Onze kennis van deze traditie is nu voor het grootste deel
gebaseerd op één Perzisch handschrift dat nu in Parijs bewaard wordt. Een
systematisch onderzoek van bibliotheken met manuscripten in de Islamitische
wereld zal hopelijk veel meer relevante documenten aan het licht brengen,
en ons inzicht in de fascinerende traditie van de Islamitische handwerkers
kunnen vergroten.
Met dank aan Dr Steven Wepster (Utrecht) voor het tekenen van Figuur
1 en aan Viktor Bl˚asjö (Utrecht) voor het lezen en becommentariëren van een
eerdere versie van dit artikel.
References
[1] (Abu’l-Wafā’) S. . A. c Alī, ed., Mā yuh. tāj ilayhi al-s.āni c min c ilm alhandasa,
li-Abu’l-Wafā’ al-Būzjānī. Baghdad: Universiteit van Baghdad,
1979 [Arabisch].
[2] (Abu’l-Wafā’) Applied geometry, Abolvefa Mohammad ibn Mohammad
Albuzjani, rewritten into modern Persian with appendices by Seyyed
Alireza Jazbi. Tehran: Soroush Press, 1991 [Perzisch].
[3] (al-Bīrūnī) Jamil Ali, vert. The Determination of the Coordinates of
Positions for the Correction of Distances between Cities, a translation
15 Hij bouwde een van de mooiste bewaarde astrolabia uit de hele Islamitische traditie,
nu in het Museum van Islamitische Kunst in Doha, Qatar, zie [?, 503-517] en ook de
illustratie op de voorpagina van [?].
19

from the Arabic of al-Bīrūnī’s Kitāb Tah. dīd nihāyāt al-amākin li-tas.h. īh.
masāfāt al-masākin. Beirut: American University of Beirut, 1967.
[4] (al-Bīrūnī) P. Bulgakov, ed., Kitāb Tah. dīd nihāyāt al-amākin li-tas.h. īh.
masāfāt al-masākin li Abī’l-Rayh. ān . . . al-Bīrūnī, Cairo 1962, herdruk,
ed. F. Sezgin. Frankfurt, Institut für Geschichte der arabisch-islamischen
Wissenschaften, 1992, reeks Islamic Geography vol. 25.
[5] Sonja Brentjes, Textzeugen und Hypothesen zum arabischen Euklid in
der Uberlieferung von al-H. aˇgˇgāˇg b. Yūsuf b. Mat.ar (zwischen 786 und
833), Archive for History of Exact Sciences 7 (1994), 53-92.
[6] M.S. Bulatov, Geometricheskaya Garmonizatsiya v arkhitekture Srednei
Azii IX - XV vv. Moskou: Nauka 1988 [Russisch].
[7] Peter R. Cromwell, Elisabeth Beltrami, The Whirling Kites of Isfahan:
Geometric Variations on a Theme. Mathematical Intelligencer 33
(2011), 84-93.
[8] Peter R. Cromwell, The Search for Quasi-Periodicity in Islamic 5-fold
Ornament. Mathematical Intelligencer 31 (2009), 36-56.
[9] J.P. Hogendijk, Ancient and modern secrets of Isfahan. Nieuw Archief
voor Wiskunde fifth series, 9 (2008), 121.
[10] (Khayyām) L’Oeuvre Algébrique d’al-Khayyām, ed. R. Rashed, A. Djebbar.
Aleppo, Institute for History of Arabic Science, 1981.
[11] David A. King, In Synchrony with the Heavens: Studies in Astronomical
Timekeeping and Instrumentation in Medieval Islamic Civilization,
Volume 2: Instruments of Mass Calculation, Leiden: Brill, 2005.
[12] Manuscript Paris, Bibliothèque Nationale, Persan 169, fol. 180a-199a.
[13] Gh. H. Mossaheb, Hakim Omare Khayyam as an Algebraist, Tehran:
Bahman Printing 1960. Anjomane Asare Melli Publications No. 38.
[14] Gülru Necipoˇglu, The Topkapı Scroll: Geometry and Ornament in Islamic
Architecture. Santa Monica, Ca., Getty Center for the History of
Art and the Humanities, 1995.
20

[15] Alpay Özdural, On Interlocking Similar or Corresponding Figuurs and
Ornamental Patterns of Cubic Equations. Muqarnas 13 (1996), 191-211.
[16] Alpay Özdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory
and Practice in the Medieval Islamic World. Historia Mathematica 27
(2000), 171-201.
[17] Sebastian R. Prange, The tiles of infinity. Saudi Aramco World 60,
September/October 2009, 24-31, internet:
http://www.saudiaramcoworld.com/issue/200905/the.tiles.of.infinity.htm
[18] A.Q. Qorbani, Būzjānī-Nāmeh. Tehran 1371 A.H. (solar)
[19] F. Sezgin, ed., Abu’l-Wafâ al-Būzjānī. Texts and Studies, Collected
and Reprinted. Vol. 2. Frankfurt, Institut für Geschichte der arabischislamischen
Wissenschaften, 1998. Reeks: Islamic Mathematics and Astronomy,
vol. 61.
[20] H. Suter, Das Buch der geometrischen Konstruktionen des Abu’l-
Wefā’, Beiträge zur Geschichte der Mathematik bei den Griechen und
Arabern, Hsg, J. Frank, Abhandlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften
und der Medizin IV. Erlangen 1922. Herdrukt in Heinrich
Suter, Beiträge zur Geschichte der Mathematik und Astronomie
im Islam, ed. F. Sezgin. Frankfurt, Institut für Geschichte der arabischislamischen
Wissenschaften, 1986, vol. 2, 635-630. Ook herdrukt in [?,
280-295]
[21] F. Woepcke, Recherches sur l’Histoire des Mathématiques chez
les Orientaux. Deuxième Article: Analyse et Extrait d’un recueuil
de constructions géométriques par Aboûl Wafâ. Journal Asiatique
5 (1855), 218-255, 309-359. Herdrukt in: Franz Woepcke,
Études sur les mathématiques arabo-islamiques, ed. F. Sezgin. Frankfurt,
Institut für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften,
1986, vol. 1, 483-572. Ook herdrukt in [?, 84-174]. Internet:
http://books.google.com/books?id=Z4gvAAAAYAAJ
21