Projectieve meetkunde en dualiteit - J.P. Hogendijk

Projectieve meetkunde en dualiteit
Irina Kachurovskaya Tobias Huisman Bram Wage
27 maart 2009

Inhoudsopgave
1 De hand-out 5
1.1 Inleiding in dualiteit en projectiviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Beginvragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 De theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Oneindige opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 De stelling van Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 De dubbelverhouding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 De definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 De stelling van Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 De stelling van Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Bijlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 De presentatie 25
2.1 Bram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Irina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Tobias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Antwoorden bij de opgaven 29
3

4 INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1
De hand-out
1.1 Inleiding in dualiteit en projectiviteit
1.1.1 Beginvragen
Opgave 1
In het vlak heeft elk paar lijnen een gemeenschappelijk punt. Elk paar lijnen? Nee, een
kleine categorie van lijnen blijft moedig weerstand bieden aan de wiskundige overweldigers
en maakt het leven van de wiskundigen die aan meetkunde doen bepaald niet
gemakkelijk... 1 Kunnen we het begrip ‘snijden’ of het begrip ‘punt’ zó veralgemeniseren,
dat de stelling ook voor evenwijdige lijnen opgaat?
Opgave 2
In het college over isometrieën zijn we tussen neus en lippen door al het antwoord op
Opgave 1 tegengekomen. Waar? (Hint: het had te maken met rotaties en translaties.)
1 Naar: R. Goscinny, A. Uderzo: Asterix en het geschenk van Caesar (1974).
5

6 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
Opgave 3 Een hexaëder gevormd vanuit een vlak
Bekijk de volgende constructie van een hexaëder (dit is een zesvlak, denk aan een kubus).
“In een willekeurig vlak van de ruimte liggen drie punten. Deze drie punten
bepalen drie snijlijnen. Vanuit deze lijnen gaan willekeurig twee vlakken de
ruimte in. Deze zes vlakken sluiten het hexaëder in.”
Deze constructie voeren we stap voor stap uit.
1. Teken op een vel papier (het vlak) drie punten: rood, geel en blauw. Kies het blauwe
punt aan de rechterkant van je papier, het gele aan de linkerkant, en het rode
bovenaan.
2. Teken de verbindingslijnen van deze drie punten in oranje, groen en paars. (Het rode
en het blauwe punt geven de paarse verbindingslijn, enzovoort.)
3. Gebruik deze drie punten als verdwijnpunten voor het tekenen van de hexaëder.
Begin met het trekken van twee lijnen door het blauwe punt, schuin naar beneden.
Doe hetzelfde voor het gele punt. De vier lijnen sluiten nu ergens op de onderste
helft van je papier het grondvlak van de hexaëder in.
4. Voltooi de constructie. Teken de hexaëder zó, dat ook de bovenkant (of de onderkant)
te zien is.
5. Kleur de zichtbare zijvlakken van de hexaëder nu zó in met oranje, groen en paars,
dat je kunt zien bij welke gekleurde lijn dit zijvlak hoort. Het zijvlak ligt dan in een
vlak door deze lijn. (Hint: het vlak dat wordt ingesloten door lijnen uit het rode en
het blauwe punt, wordt dus paars.)

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT 7
Opgave 4 Een octaëder gevormd vanuit een punt
Bekijk de volgende constructie van een octaëder (achtvlak).
“Door een willekeurig punt in de ruimte gaan drie vlakken. Deze drie vlakken
bepalen drie snijlijnen. Op deze lijnen liggen willekeurig twee punten. Deze
zes punten sluiten het octaëder in.”
Ook deze constructie voeren we stap voor stap uit.
1. Teken in het midden van een vel papier een punt (P).
2. Schets (in je beste 3D) drie vlakken die door dit punt heengaan. De randen kun je
rood, geel en blauw kleuren. Neem voor een mooi resultaat drie vlakken die ongeveer
loodrecht op elkaar staan. N.B. Het is niet nodig om dit heel precies te doen, het
belangrijkste is dat de lijnen van de volgende stap op het papier komen te staan.
3. Teken de snijlijnen van de drie vlakken: oranje, groen en paars. (Deze lijnen snijden
elkaar dus in P.) Als de vorige stap niet goed gelukt is, kun je ook met het tekenen
van deze drie lijnen beginnen: kies ze dan alsof je een driedimensionaal assenstelsel
tekent.
4. Kies op elke lijn willekeurig twee punten. Het is het mooist om de twee punten
symmetrisch om P te kiezen, maar dit hoeft niet per se. Teken deze punten in de
kleur van de lijn waarop ze liggen.
5. Verbind elk punt met alle andere punten. Nu zie je een ruimtelijke octaëder ontstaan.
6. Kleur de snijlijnen van de octaëder met de oorspronkelijke drie vlakken in de overeenkomstige
kleuren: rood, geel en blauw. (Hint: het vlak waarin de groene en de paarse
lijn liggen is het blauwe vlak; deze primaire kleur hebben ze namelijk gemeen.)
Opgave 5
Vergelijk de teksten van Opgave 3 en Opgave 4. Hoe kun je de een uit de ander maken?

8 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.1.2 De theorie
In het vlak
De projectieve meetkunde geeft als volgt antwoord op Opgave 1: in het vlak voegen we
aan elke rechte één ‘oneindig’ of oneigenlijk punt toe. Alle oude, fatsoenlijke, eindige
punten kunnen we dan eigenlijke punten noemen. Als twee rechten elkaar niet in een
eigenlijk punt snijden - als ze parallel zijn aan elkaar - dan zeggen we dat ze elkaar
in het oneigenlijke punt snijden. Of beter geformuleerd: ze hebben het oneigenlijke punt
gemeen. Hierdoor kun je het oneigenlijke punt ook opvatten als de richting van de rechte.
Deze projectieve toevoeging aan de oude meetkunde kan nog iets formeler worden
gemaakt. Daarvoor moeten we naar twee belangrijke begrippen uit de vlakke projectieve
meetkunde kijken: de puntenrij en de lijnenwaaier. Elke lijn in het vlak vatten we op als
een verzameling van punten: de puntenrij (dit is wellicht al een bekende manier om tegen
een lijn aan te kijken). Elk punt in het vlak kunnen we op zijn beurt opvatten als de
verzameling van lijnen door dat punt: zo krijgen we een lijnenwaaier. (Zie figuur 1.1.)
Figuur 1.1: Links een puntenrij, rechts een lijnenwaaier.
We kunnen nu een puntenrij bijectief afbeelden op een lijnenwaaier. Als er een lijn
en een punt gegeven zijn, dan identificeren we elke lijn van de lijnenwaaier met het
punt waarin hij de puntenrij snijdt (zie figuur 1.2). Op deze manier identificeren we de
lijn parallel aan de puntenrij met het oneigenlijke punt van de puntenrij. Zo komt het
oneigenlijke punt op een vrij natuurlijke manier uit de definitie rollen!
Het toevoegen van het oneigenlijke punt maakt dus een bijectie tussen lijn en punt
mogelijk. Daarom kan een stelling in de projectieve meetkunde in een even geldige stelling
getransformeerd worden door consequent het woord ‘lijn’ door ‘punt’ te vervangen. Dit heet
het dualiseren van de stelling; de getransformeerde stelling heet ook wel de duale van de
oorspronkelijke stelling.
Twee andere begrippen die bij het dualiseren in elkaar veranderen zijn collineair en
concurrent. Twee punten heten collineair als ze op één lijn liggen. Twee lijnen heten
concurrent als ze door hetzelfde punt gaan. (Deze begrippen vervangen dus de oude termen
‘liggen op één lijn’ en ‘snijden elkaar’.)
Een woord dat bij het dualiseren onveranderd blijft, is incideren. Een lijn en een punt
incideren als het punt op de lijn ligt en de lijn door het punt gaat (wat twee verschillende
manieren zijn om hetzelfde te zeggen). De uitspraak “lijn a en punt b incideren” verandert
onder dualisatie dus in “punt a en lijn b incideren”.

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT 9
In de ruimte
Figuur 1.2: De bijectie tussen lijnen en punten.
In Opgaven 3 en 4 hebben we al gezien dat we dit principe ook heel gemakkelijk naar
de ruimte kunnen uitbreiden. We zullen de manier waarop dit formeel gaat echter niet
uitgebreid bespreken. Een van de redenen hiervoor is dat er heel wat nieuwe begrippen
nodig zijn om projectief in drie dimensies te werken: vlakkenwaaiers, vlakkenbundels,
lijnenbundels, puntenschijven, et cetera.
In de ruimtelijke projectieve meetkunde worden punten en vlakken op elkaar afgebeeld,
zodat de stellingen gedualiseerd kunnen worden door de woorden ‘punt’ en ‘vlak’
te verwisselen. Het woord ‘lijn’ blijft dan staan. En natuurlijk krijgen we te maken met de
oneigenlijke lijn: aan elk vlak in de ruimte voegen we een oneigenlijke lijn toe; elk paar
vlakken heeft één lijn gemeen; evenwijdige vlakken hebben de oneigenlijke lijn gemeen.

10 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.1.3 Oneindige opgaven
Opgave 6
In deze opgave spelen we met het begrip oneindig.
1. Teken een lijnenwaaier om een eigenlijk punt in het vlak en teken een lijnenwaaier
om een oneigenlijk punt. Zijn ze beide vlakvullend?
2. Roteer een figuur over een kleine hoek om een eigenlijk punt in het vlak en roteer
dezelfde figuur over een kleine hoek om een oneigenlijk punt. Wat gebeurt er?
(Vergelijk Opgave 2.)
3. Kijk nog eens naar Opgave 3. Wat gebeurt er als je één van de punten in het
oneindige kiest? En met twee punten? Drie?
4. Teken het Minnaertgebouw vier keer als hexaëder: één keer met drie eindige punten,
één keer met één oneigenlijk punt, één keer met twee oneigenlijke punten en één
keer met drie oneigenlijke punten.

1.1. INLEIDING IN DUALITEIT EN PROJECTIVITEIT 11
Opgave 7 Oneindig verkleurt
Teken een driehoek ABC als in figuur 1.3, met doorgetrokken zijden. Kleur de vlakken
als aangegeven (R staat voor rood, B voor blauw, Gr voor groen en Ge voor Geel). In de
volgende opgaven is het de bedoeling dat je steeds de vlakken op deze manier inkleurt.
Esoterische pasteltinten leveren bonuspunten op!
1. Verhoog punt C en teken de figuur die ontstaat als C in het oneindige ligt.
2. Wat gebeurt er als je C ‘nóg hoger’ probeert te schuiven? Teken de situatie die dan
ontstaat. (Hints: je krijgt weer ergens een driehoek; bekijk de beweging van AC en
BC tijdens het omhoogschuiven van C.)
3. Schuif C verder omhoog en teken de situatie als C op AB ligt.
4. Schuif nu C naar zijn oorspronkelijke plaats en teken weer de situatie.
5. C is nu één keer ‘door oneindig’ geweest. Wat moeten we doen om de oorspronkelijke
kleuren te herstellen?
Figuur 1.3: Beginkleuren van de opgave Oneindig verkleurt.

12 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.2 De stelling van Desargues
Opgave 8 Desargues ruimtelijk
In deze opgave zetten we een driedimensionale figuur in elkaar die een belangrijke stelling
uit de projectieve meetkunde illustreert.
1. Knip de figuur uit de bijlage uit en zet hem in elkaar. (Hiervoor moet je over de
dikke lijnen knippen). Op het grondvlak is een driehoek ABC gegeven: plaats de
constructie op deze driehoek.
2. We construeren nu een driehoek A ′ B ′ C ′ zo, dat AA ′ , BB ′ en CC ′ elkaar in een punt
O snijden. Dit punt is de top van de piramide. Plaats daartoe punten A ′ op AO, B ′
op BO en C ′ op CO zo, dat de snijpunten van A ′ B ′ met AB, B ′ C ′ met BC en A ′ C ′ met
AC op het papier vallen. (Je kan de punten A ′ , B ′ en C ′ ieder twee keer aangeven
(namelijk op elk van de vlakken waarop ze liggen), of één keer en de andere later
plaatsen nadat de figuur weer uit elkaar gehaald wordt.)
3. Haal de figuur uit elkaar. Trek vervolgens verlengden van de zijden A ′ B ′ , A ′ C ′ en
B ′ C ′ op de drie verschillende blaadjes. Teken de snijpunten van deze lijnen met de
overeenkomstige zijden van driehoek ABC op het grondvlak. (Dit kun je doen door
de drie blaadjes plat op het grondvlak te leggen en het snijpunt over te nemen.)
Wat kun je zeggen over de ligging van de snijpunten? Bewijs je vermoeden. (Hint: hoe
ziet een doorsnede van twee vlakken eruit?)
De stelling die je zojuist hebt bewezen heet de stelling van Desargues en luidt als volgt:
Zijn twee driehoeken puntperspectief, dan zijn die driehoeken ook lijnperspectief.
Hierbij betekent puntperspectief dat de verbindingslijnen van overeenkomstige hoekpunten
door hetzelfde punt gaan (het perspectiviteitscentrum). Lijnperspectief betekent dat
overeenkomstige zijden elkaar snijden op dezelfde lijn (de perspectiviteitsas).
Elke lijn gaat hierbij door 3 punten en elk punt is een snijpunt van 3 lijnen. Omdat
elke lijn de rol van een punt kan overnemen, kan deze stelling gedualiseerd worden. Dat
betekent dat je “punt” door “lijn” kan vervangen. De bewering die dan ontstaat is eveneens
een correcte stelling.

1.2. DE STELLING VAN DESARGUES 13
Opgave 9 Desargues duaal
Dualiseer de stelling van Desargues en maak de bijbehorende constructie. Gebruik de
volgende formulering van de stelling (ga na dat deze klopt):
“Van twee driehoeken zijn de snijpunten van corresponderende zijden collineair,
dan en slechts dan als de verbindingslijnen van de corresponderende
hoekpunten concurrent zijn.”
Opgave 10 Desargues-oefening
Gegeven twee lijnen l en m en een punt P niet op l en niet op m, terwijl het snijpunt van
l en m niet op het papier valt. Construeer de lijn die P verbindt met het snijpunt van l en
m.

14 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.3 De dubbelverhouding
De dubbelverhouding is een van de meest fundamentele concepten van de projectieve
meetkunde. Daarom besteden we er in dit hoofdstuk aandacht aan en gebruiken we de
dubbelverhouding om een stelling te bewijzen.
1.3.1 De definitie
We nemen 4 punten A, B, C en D, die allen op 1 lijn liggen (zie figuur 1.4).
Figuur 1.4: Definitie van de dubbelverhouding.
We definiëren de dubbelverhouding dan als de verhouding AC AD : . De notatie voor
BC BD
de dubbelverhouding van punten is dan (ABCD). Waarom we hem zo definiëren zal later
duidelijk worden.
Opgave 11
Wat gebeurt er met de dubbelverhouding als D een punt in het oneindige is?
De duale
Zoals elk goed projectief meetkundig concept betaamt kunnen we ook van de dubbelverhouding
een duale opstellen. We nemen dan 4 lijnen a, b, c en d, die allen door het punt
M gaan (zie figuur 1.5).
Figuur 1.5: De duale dubbelverhouding.
We definiëren de dubbelverhouding dan als de verhouding sin(aMc)
sin(bMc)
voor deze dubbelverhouding is (abcd).
sin(aMd)
: . De notatie
sin(bMd)

1.3. DE DUBBELVERHOUDING 15
Equivalentie van definities
Nu willen we bewijzen dat de beide dubbelverhoudingen eigenlijk hetzelfde zeggen. We
krijgen dan de figuur 1.6. We willen dus bewijzen dat geldt (ABCD) = (abcd). Dit doen
Figuur 1.6: De dubbelverhouding van de lijnen is gelijk aan de dubbelverhouding van de
punten.
we door gebruik te maken van twee verschillende formules voor de oppervlakte van een
driehoek. We noemen de hoogte van △AMD met AD als basis h. Dit is dan tevens de
hoogtes voor de andere driehoeken.
De oppervlakte van:
• △AMC = h · AC
2
• △BMC = h · BC
2
• △AMD = h · AD
2
• △BMD = h · BD
2
= AM · MC · sin(aMc)
2
= BM · MC · sin(bMc)
2
= AM · MD · sin(aMd)
2
= BM · MD · sin(bMd)
2
Hieruit volgt bijna direct dat geldt AC AD sin(aMc) sin(aMd)
: = : BC BD sin(bMc) sin(bMd) .
Als de lijnen a, b, c en d zo beschreven worden door de punten A, B, C, D en M dan wordt
(abcd) ook wel geschreven als M(ABCD).
Opgave 12
Wat gebeurt er als D een punt in het oneindige is?
De dubbelverhouding onder projectie
Nu gaan we kijken naar de dubbelverhouding van een viertal punten A, B, C en D die op
een lijn liggen als we ze vanuit een punt M op een andere lijn projecteren (figuur 1.7).

16 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
Figuur 1.7: Onder projectie verandert de dubbelverhouding niet.
Omdat geldt dat M(ABCD) = M(A ′ B ′ C ′ D ′ ), moet gelden dat (ABCD) = (A ′ B ′ C ′ D ′ ).
Dus kunnen we concluderen dat de dubbelverhouding behouden blijft onder een projectie
vanuit een punt (een zogenaamde puntprojectie). Nu snap je waarschijnlijk waarom we de
dubbelverhouding zo gedefiniëerd hebben. Het is namelijk een zeer handig als je weet dat
een verhouding onder projectie gelijk blijft.
1.3.2 De stelling van Chasles
De stelling van Chasles zegt dat de dubbelverhouding X(ABCD), met punten A, B, C, D
en X op een niet ontaarde kegelsnede, niet afhangt van de keuze van X (figuur 1.8).
Figuur 1.8: De stelling van Chasles voor een cirkel.

1.3. DE DUBBELVERHOUDING 17
Opgave 13
1. Bewijs dat de stelling van Chasles klopt voor een cirkel. (Bewijs dus voor figuur 1.8
dat O(ABCD) = P(ABCD).)
2. Leg uit waarom het dan ook voor andere kegelsneden klopt. (Hint: zie figuur 1.9.)
Figuur 1.9: Dit plaatje kan je helpen met Opgave 13.

18 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.3.3 De stelling van Pascal
De stelling van Pascal zegt dat als een zeshoek (die niet convex hoeft te zijn) beschreven
is in een niet-ontaarde kegelsnede, de snijpunten van de van overstaande zijden op 1 lijn
liggen (zie figuur 1.10). De stelling van Pascal is een generalisering van de stelling van
Pappus, die hetzelfde zegt, maar dan over 6 punten op 2 rechte lijnen.
Opgave 14
Figuur 1.10: De stelling van Pascal in actie.
Bewijs de stelling van Pascal. (Zie de bijlage. Benoem de snijpunten van de ellips met
h en het snijpunt van AD met h, gebruik dan de dubbelverhouding en de stelling van
Chasles.)

1.4. BRONNEN 19
1.4 Bronnen
1. Steenbruggen, Jan: Projectieve meetkunde in de elfde klas, Zeist, 2009
2. Heyting, Arend: Projectieve meetkunde, Groningen, 1973
3. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Chasles.shtml
4. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Chasles/SimpleChasles.shtml
De universiteitsbibliotheek heeft allerlei boeken over projectieve meetkunde. Een overzicht
staat op http://aleph.library.uu.nl/F/BUFBAJPM192LNJRH3118CAQHCCNNV4G56M7B7MG28XPCJBUR76
func=find-b&find_code=WTI&request=projectieve+meetkunde&x=42&y=9.

20 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT
1.5 Bijlage
Oneindig verkleurt

1.5. BIJLAGE 21
Desargues

22 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

1.5. BIJLAGE 23
De stelling van Pascal

24 HOOFDSTUK 1. DE HAND-OUT

Hoofdstuk 2
De presentatie
2.1 Bram
In aanmerking genomen dat we de eersten waren, ging de presentatie redelijk goed. De
deelnemers begrepen de theorie uit mijn gedeelte (de inleiding) wel aardig, geloof ik,
maar ze hadden wat moeite met de inleidende opgaven. Ik had me niet gerealiseerd dat
het woord ‘verdwijnpunt’ en het begrip perspectieftekenen voor sommigen volstrekt nieuw
waren!
In het algemeen vond men de opgaven ook moeilijker dan wij gedacht hadden: het blijkt
erg moeilijk te zijn om geschreven instructies op te volgen zonder duidelijk voorbeeld. Mocht
deze presentatie dus volgend jaar nog een keer gegeven worden, dan is het aan te bevelen
om een beginnetje van elke opdracht voor te doen, of zelf de opdracht helemaal te doen
met een paar minuten vertraging.
Wat betreft de opbouw van het college en het dictaat is me nog wel iets interessants
opgevallen. Wij hebben ons college naar het model van de colleges van Jan Hogendijk en
Aad Goddijn proberen te maken. Dat hield eigenlijk in dat het college vooral uit opgaven
maken (o.a. knippen en plakken) bestond en dat er in het dictaat vooral opgaven stonden.
Er was dus weinig theorie tussendoor en in het dictaat is deze theorie redelijk informeel
opgeschreven.
Het grappige is dat de groepen na ons het vaak totaal anders aanpakten: zij besteedden
dan in het college de meeste tijd aan het uitleggen van theorie, met af en toe een
opgave tussendoor. Hun dictaat was dan ook meer vormgegeven als een formele wiskundige
verhandeling, met Definities, Stellingen, Lemma’s en Bewijzen. Je kunt je afvragen wat
beter bij Concrete Meetkunde past!
Helaas waren er maar een paar mensen die mijn bonus-inleveropgave (Oneindig verkleurt)
hadden gedaan, maar die hadden het over het algemeen wel goed.
25

26 HOOFDSTUK 2. DE PRESENTATIE
2.2 Irina
Eerst hebben wij een bespreking met de begeleider (Jan Hogendijk) gehad over wat de
mogelijkheden van de door ons gekozen onderwerp waren en welke kanten wij met onze
presentatie op konden. Dat vond ik heel handig omdat het meer inzicht gaf over wat van
je verwacht werd.
Vervolgens hebben wij de onderwerpen verdeeld en een hand-out bedacht met de theorie,
opdrachten en knipbladeren. Wat ik vooral moeilijk vond aan het schrijven van een
handout is het duidelijk maken van hoe de knipplaat in elkaar gezet moest worden, waar
de punten gezet en lijntjes getrokken moesten worden, wat de bedoeling van de constructie
was en wat men erin kon zien. Ik heb geprobeerd om het zo duidelijk mogelijk neer te zetten
en bedacht dat uitleg bij de presentatie de ingewikkelde aanwijzingen zou vergemakkelijken.
Ook bleek het maken van de knipplaat zelf tijdrovend, vooral vanwege gebrekkige
kennis van mogelijkheden van het gebruikte programma (Geogebra). De resultaat vond ik
wel goed. Achteraf gezien was het misschien handiger om een bijlage bij opgave 10 te
maken met een positie van lijnen en een punt zo, dat een constructie van oplossing in de
meeste gevallen op papier paste. In de nieuwe versie van de handout is dat verbeterd.
Na het maken van de handout hebben we met het groepje elkaars stukjes doorgenomen,
zodat we tijdens de presentatie mensen ook bij andermans opdrachten konden helpen.
Achteraf gezien was dat wel nuttig, vooral omdat onze stukjes over verschillende onderwerpen
gingen. We hadden daar eigenlijk meer tijd aan kunnen besteden. Ook hebben wij
een planning gemaakt met knip-en-plakwerk in de pauze, wat tijdens de presentatie goed
van pas kwam.
Tijdens de presentatie bleek de uitleg van de knipplaat toch niet duidelijk te zijn, dus
hebben wij mensen in de pauze nog meer uitleg gegeven en geholpen bij het in elkaar
zetten van de constructie. Vrijwel iedereen heeft uiteindelijk het nogide aan de constructie
opgemerkt en over de verklaringen ervoor nagedacht. Daarna kwam de uitleg van de
theorie, die ook niet helemaal overkomen bleek te zijn, mogelijk doordat de schets niet
duidelijk was doordat er veel lijnen en punten in zaten die onduidelijk werden aangegeven
en waarvan de constructie niet duidelijk genoeg werd uitgelegd. De tweede opdracht ging
veel beter, vooral doordat de vraagstelling duidelijk en zonder ingewikkelde constructies
was. De ingewikkelde constructies kwamen echter van pas bij het oplossen van de opdracht,
dus werd het als te moeilijk ervaren en door weinigen opgelost (met een paar hints).
De huiswerkopdracht na de presentatie was bedoeld om zeker van te zijn dat iedereen
tenminste wist waas de besproken stelling over ging en de regels van dualisering toe kon
passen. Hier viel weinig over op te merken (iedereen kwam eruit).

2.3. TOBIAS 27
2.3 Tobias
Naar mijn mening verliep onze presentatie redelijk goed. Wij moesten als eerste en hadden
daarom geen vergelijkingsmateriaal, wat aan de ene kant wel fijn was (geen dingen die
we “moesten” doen omdat anderen dat ook hadden gedaan), maar de andere kant niet zo
fijn (we wisten namelijk niet wat wel en niet werkte en wat er precies van ons verwacht
werd).
Wat ik bij onze presentatie goed vond gaan was de opbouw. We begonnen duidelijk
met een inleiding en de basis van projectieve meetkunde en werkten toe naar de stellingen
die we konden bewijzen met behulp van de projectieve meetkunde. Verder vond
ik de begeleiding door de heer Hogendijk goed en hielp hij ons goed op weg met onze
presentatie.
Wat bij ons wat minder ging is dat we niet allemaal even goed konden helpen bij
elkaars opgaven. We hadden van te voren beter elkaars opdrachten door moeten nemen en
de problemen er uit halen. Verder hadden we waarschijnlijk wat eerder moeten beginnen.
Onze inleveropgaven werden goed gemaakt (we hadden er twee die het onvoldoende
hadden gemaakt, waarvan eentje een verkeerde conclusie had getrokken en de ander gewoon
lui was geweest). Wel kreeg ik het idee dat de meeste mensen bij mijn inleveropgave
het antwoord letterlijk van het internet hadden geplukt. Dit kwam voornamelijk omdat ze
dezelfde notatie hadden gebruikt als de site waar ik mijn informatie vandaan had gehaald.
Maar waarschijnlijk komt dat omdat de opgave niet heel erg makkelijk was. Persoonlijk
vind ik het niet heel erg dat ze het van internet hebben gehaald, zolang ze het bewijs maar
door hebben gekeken en het begrijpen.

28 HOOFDSTUK 2. DE PRESENTATIE

Hoofdstuk 3
Antwoorden bij de opgaven
Opgave 2
Een translatie is ook op te vatten als een (kleine) rotatie om een oneindig ver punt.
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Door vlakken in punten te veranderen en vice versa.
Opgave 6
1. Zie voor de lijnenwaaier om een eigenlijk punt figuur 1.1. De lijnenwaaier om een
oneigenlijk punt is een reeks evenwijdige lijnen in de richting van het punt.
2. De rotatie om een oneigenlijk punt wordt een translatie.
3. De vlakken die voortkomen uit het punt in het oneindige worden evenwijdig.
29

30 HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN
4. Hieronder staan schetsjes van hoe deze opdracht uitgewerkt zou kunnen worden. Ze
vormen ook direct een toelichting op de vorige subvraag.

Opgave 7
31

32 HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN
Opgave 8
Beschouw OABC als een piramide. Dan is A ′ B ′ C ′ een doorsnede van die piramide met
een vlak a. De lijnen AB en A ′ B ′ liggen beide in het zijvlak OAB en zijn niet evenwijdig,
dus ze snijden. Omdat AB in het grondvlak ligt en A ′ B ′ in a, ligt hun snijpunt dus op de
snijlijn van a en de grond, dus op de grondlijn g. Idem voor Q en R. Dus P, Q en R liggen
op één lijn. De snijpunten liggen dus allemaal op de snijlijn van de vlakken ABC en A ′ B ′ C ′ .
Opgave 9
Stelling
Als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten van twee driehoeken
ABC en A ′ B ′ C ′ door één punt gaan, dan liggen de snijpunten van de paren overeenkomstige
zijden op één lijn (zie tekening).
Duale
Als de snijpunten van paren overeenkomstige zijden van twee driehoeken abc en a’b’c’ op
één lijn liggen, dan gaan de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten door
één punt.
De stelling is dus zelfduaal.

Opgave 10
Een aanpak van het probleem is het construeren van twee driehoeken die puntperspectief
zijn in het snijpunt van l en m en waarvan P een hoekpunt is, die met het snijpunt
verbonden moet worden. Hoewel het snijpunt niet op papier valt, zijn de driehoeken te
construeren als je bedenkt dat ze volgens de stelling van Desargues ook lijnperspectief
zijn, en lijnperspectieve driehoeken prima op papier te construeren zijn. Daarvoor kan men
als volgt te werk gaan:
1. Kies een willekeurig punt op m, noem hem Q en een willekeurige punt op l, noem
hem R en construeer een driehoek PQR, bijvoorbeeld zoals in figuur 1.
2. Kies een nieuw willekeurig punt op m, noem hem Q ′ , en een willekeurig punt op
l, noem hem R ′ , zo dat ze de lijn QR op papier snijden. Noem het snijpunt A,
bijvoorbeeld zoals in figuur 2.
3. Teken een willekeurige lijn vanuit Q ′ , zo dat de lijn en QB elkaar op papier snijden.
Noem het snijpunt B en teken een lijn door AB, bijvoorbeeld zoals in figuur 3.
4. Teken de lijn door R ′ zo, dat de lijn met RP op de lijn AB snijdt en noem het snijpunt
van de lijn met Q ′ B P ′ , bijvoorbeeld zoals in figuur 4.
5. De gevraagde lijn gaat door P en P ′ .
De geconstrueerde driehoeken PQR en P ′ Q ′ R ′ zijn lijnperspectief in de lijn door de
snijpunten van overeenkomstige zijdes (lijn AB), en dus volgens de stelling van Desargues
ook puntperspectief in het snijpunt van lijnen door overeenkomstige hoekpunten (dus lijnen
l en m en PP ′ ). Dus PP ′ gaat door het snijpunt van l en m.
33

34 HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN

Opgave 11
Als punt D in het oneindige ligt wordt de dubbelverhouding alleen bepaalt door AC . Dit BC
op kan vatten als de volgende limiet:
komt omdat je dan het AD
BD
x − A
lim
x→∞ x − B
1 −
= lim
x→∞
A
x
1 − B
x
= 1 − 0
1 − 0
35
= 1 (3.1)
Opgave 12
Als het punt D in het oneindige ligt wordt de verhouding alleen bepaald door AC
BC =
sin(aMc) sin(aMd)
: (zie voor uitleg het antwoord op de vorige vraag). De lijn MD komt dan
sin(bMc) sin(bMd)
parallel te liggen aan de lijn AD, maar verder kunnen we niks over de dubbelverhouding
van de hoeken zeggen.
Opgave 13
1. Omdat beide O en P beide op de grote boog AB liggen geldt dat ∠AOB = ∠APB.
En idem dito voor:
• ∠AOC = ∠APC
• ∠BOC = ∠BPC
• ∠AOD = ∠APD
• ∠BOD = ∠BPD
En hieruit kan je concluderen dat moet gelden:
sin(AOC)
sin(BOC)
: sin(AOD)
sin(BOD)
= sin(APC)
sin(BPC)
Dus geldt dat O(ABCD) = P(ABCD).
: sin(APD)
sin(BPD)
2. Het plaatje laat zien dat alle niet ontaarde kegelsneden een puntprojectie van een
cirkel zijn. En we hebben al bewezen dat de dubbelverhouding onder puntprojectie
gelijk blijft.

36 HOOFDSTUK 3. ANTWOORDEN BIJ DE OPGAVEN
Opgave 14
Verder noemen we het snijpunt van EF en h R en het snijpunt van BC met h noemen we
S. Als je de aanwijzingen volgt krijg je het volgende plaatje: En dan kunnen we (m.b.v. de
equivalentie van de dubbelverhoudingen en de stelling van Chasles) het volgende zeggen:
(LQRM) = F(LAEM)
= D(LAEM)
= (LT PM)
= A(LDBM)
= C(LDBM) = (LQSM)
Omdat de dubbelverhouding volledig door zijn punten wordt bepaald moet dus wel gelden
dat R = S.