Big Idea in een stageklas - Volgens Bartjens

dIFFEREN-
TIaTIE
ILSE vAN OEvELEN
Big Idea in
een stageklas
Zonnebloemgrafieken in groep 8
Big Ideas zijn uitermate geschikt om recht te
doen aan de niveauverschillen in een groep. In
haar stagegroep 8 van de Uilenburcht in Driebergen
heeft de auteur van dit aritkel een aantal
lessen gegeven rond het onderwerp grafieken
volgens de aanpak van een ‘big idea’-les. In dit
artikel laat ze zien hoe ze te werk is gegaan.
1. Zelf grafieken maken
In ‘big idea’-lessen staat het verwerven van een
kerninzicht centraal. Het gaat erom dat leerlingen
een inzicht opdoen waarop hun rekenkennis
verder kan bouwen. Maarten Dolk beschrijft
in het artikel Aandacht voor ‘big ideas’ in de wiskunde
1 (Dolk, 2005) hoe kinderen in een big
idea les over breuken worstelen met de vraag
wat het geheel is: ‘Om breuken en procenten
te begrijpen, moet je weten wat het geheel is
en moet je de relatie van de breuk tot het geheel
doorgronden.’ Als de kinderen dit begrip
hebben, krijgt de formule waarbij de tellers en
noemers met elkaar vermenigvuldigd worden
uiteindelijk betekenis en begrijpen de leerlingen
waar deze formule op gestoeld is. Maarten
Dolk geeft als een definitie van een ‘big idea’:
‘Big ideas zijn belangrijke fundamentele ideeën
uit de wiskunde. Zodra kinderen zo’n groot
idee doorgronden, brengt dat een belangrijke
verschuiving in hun denken teweeg. Het zijn in
twee opzichten grote ideeën; enerzijds zijn ze
belangrijk voor de wiskunde en anderzijds betekent
het doorgronden van zo’n idee een grote
sprong voorwaarts in de ontwikkeling van de
leerlingen.’
de opbouw van een ‘big idea’
Allereerst wordt het probleem gepresenteerd.
Vervolgens is er overleg in kleine groepen of
tweetallen: hoe kunnen we dit aanpakken? In
deze fase stelt de leerkracht verhelderende vragen.
Hierna werken de leerlingen in groepen
hun oplossing uit op een poster. De leerkracht selecteert een aantal posters,
ze let hierbij op het niveau (meer of minder concreet) en de oplossingsstrategie.
De leerkracht selecteert verschillende posters die hierin
onderling verschillen. In het klassengesprek wordt eerst de poster gepresenteerd
met de meest concrete oplossingsstrategie. Door de poster te
laten presenteren door de leerlingen, worden ze gedwongen om te verwoorden
wat ze gedaan hebben. Andere leerlingen kan gevraagd worden
of ze dit in hun eigen woorden kunnen uitleggen. Deze presentatie en
verantwoording van hun aanpak is een belangrijk leermoment. Leerlingen
kunnen van elkaar leren.
Door het op deze manier onderzoeken van een bepaald rekenprobleem,
zijn de leerlingen veel intensiever bezig met dat probleem. Het zelf onderzoeken
zorgt ervoor dat de leerlingen echt inzicht krijgen in dat probleem.
Dit kunnen ze gebruiken bij een volgende rekenactiviteit. Een leerkracht
kan hier later ook gemakkelijk aan refereren: ‘Weet je nog?’
grafieken
In de ‘big idea’-lessen in mijn stagegroep 8 staat het onderwerp ‘grafieken’
centraal. Bij de Citoscores van de entreetoets (eind groep 7) valt
op dat er veel leerlingen zijn met een lager resultaat voor het onderdeel
‘lezen van schema’s, tabellen en grafieken’ dan hun score voor de hele
entreetoets. In methodes zijn de opgaven over grafieken vooral beperkt
tot het tekenen van een grafiek en is er vrijwel altijd een voorbeeld gegeven.
De leerlingen hoeven niet zelf na te denken over bepaalde keuzes
zoals: waar komt het nulpunt, wat is de verdeling op de assen, wat voor
soort grafiek moet dit worden? Grafieken spelen een grote rol in het wiskundeonderwijs
in het voortgezet onderwijs en daarom is het belangrijk
om er in het basisonderwijs aandacht aan te besteden (TAL team 2007). 2
Er is ook een grote maatschappelijke relevantie: in de media worden veel
grafieken gebruikt om gegevens beknopt weer te geven en enige kennis
is daarom nodig om deze te kunnen interpreteren en op waarde te
schatten.
14 Volgens Bartjens jaargang 32 2012/2013 nr. 1

Iedereen een eigen grafiek?
In een klassikale introductie laat ik een aantal grafieken zien: een lijngrafiek,
cirkeldiagram, een tabel en een staafdiagram (zie afbeelding 2).
‘Wat zien we hier?’ is mijn introductievraag. In de staafdiagram staat het
aantal doden bij de politie (en de oorzaken daarvan) weergegeven per
decennium. Door dit staafdiagram daarna uitgebreider te bespreken worden
de leerlingen zich ervan bewust welke gegevens eruit te halen zijn.
Wanneer vielen er de meeste of minste doden bijvoorbeeld? Het laatste
staafje is wel heel kort, maar dit decennium is net begonnen.
Voor de eerste grafiekenles hebben de leerlingen zelf grafieken en tabellen
verzameld en meegenomen. Na de introductie mogen de leerlingen
in groepen van drie of vier op dezelfde manier een vraag bedenken bij
hun meegenomen knipsels. Het antwoord moeten ze er zelf ook bij geven,
want het gaat er natuurlijk niet om dat ze de moeilijkste vragen bedenken,
maar dat ze snappen waar ze mee bezig zijn.
Het nadeel van deze opzet is de grote variatie in krantenknipsels waardoor
de leerlingen niet allemaal met hetzelfde probleem bezig zijn. Het
klassengesprek is daardoor moeilijk, want een gemeenschappelijk denkkader
ontbreekt. Deze les kan beter verlopen door één grafiek waaruit veel
valt af te lezen (over iets dat de leerlingen begrijpen) te selecteren. Klassikaal
kan besproken worden wat er in die grafiek te zien is. In groepen
kunnen de leerlingen dan een passende titel bedenken bij de grafiek. De
titel die een groep bedenkt, geeft aan wat zij het belangrijkste vinden dat
je kunt aflezen uit de grafiek. Dit kunnen ze verduidelijken in een korte
samenvatting. In het klassengesprek kunnen dan de verschillende oordelen
besproken worden,
zodat de groepen hun
keuzes kunnen verdedigen.
Uiteindelijk
nemen ze gezamenlijk
een besluit.
Zonnebloem
In de vervolgles probeer
ik met mijn reflectie
op de eerste les
rekening te houden.
Alle leerlingen hebben
3. Overleg
een zonnebloempit
geplant. Op een formulier
houden ze dagelijks bij hoe groot hun plant is geworden. Voor de
les worden ze in groepjes verdeeld. Een groepje van drie leerlingen heeft
zo drie formulieren waarop de groei van drie planten is bijgehouden. Ze
krijgen de opdracht om de gegevens van de groei van hun planten in één
figuur verwerken.
Er zijn allerlei interessante gegevens waarover ze nu moeten overleggen.
Ze moeten bijvoorbeeld een beslissing nemen over hoe ze de gegevens
in een grafiek kunnen verwerken. Zo hebben de leerlingen van de grafiek
in afbeelding 4 onder andere:
• een zonnebloempit laten ‘verdrinken’, die is niet boven gekomen (geen
paarse lijn);
• een pit zo diep in de pot geplant, dat deze pas veel later boven kwam
(de groene lijn);
• een plant die halverwege geknakt is (gele lijn).
In het weekend hebben de leerlingen niet kunnen meten. Ik ben benieuwd
hoe ze dit oplossen bij het maken van de grafieken. Wat doen ze
met (ontbrekende) gegevens? Welke schaalverdeling hanteren ze?
2. Staafgrafiek afkomstig uit De Volkskrant
Rondlopend door de klas stel ik vragen, zoals:
hoe kun je in deze grafiek zien dat een plant is
doodgegaan, of wat doe je met zaterdag en zondag?
Het valt op dat alle groepen de zaterdag
en zondag niet opnemen in hun grafiek.
4. Hoe geef je dat nou helder weer?
oplossingen en nabespreking
Vrijwel alle groepen maken een lijngrafiek, één
groep maakt een staafdiagram (zie afbeelding
5). Planten die doodgegaan zijn worden genoteerd
in de grafiek, maar de manieren waarop
zijn verschillend.
5. De enige staafdiagram
Volgens Bartjens jaargang 32 2012/2013 nr. 1
15

dag waarop de pit geplant is en hebben dus eerst een paar dagen een
horizontale lijn over de x-as (zie afbeelding 8). Dat is mooi, want dan is te
zien hoe lang het duurt voordat er een plant te zien is. Door genoemde
beslissingen te bespreken en te vergelijken, komen de leerlingen tot conclusies
wat dat betekent voor de duidelijkheid van de grafiek.
Het is een goed idee om leerlingen in zo’n les een tekst bij hun grafiek te
laten schrijven waarin ze een toelichting geven op hun grafiek. Hierdoor
worden ze gedwongen na te denken over de genomen beslissingen en
deze te verwoorden.
6. Wat doe je met gestorven plantjes?
Een groep laat de lijn eindigen en zet er een
kruis bij, een andere groep laat de lijn naar het
nulpunt zakken en laat hem verder horizontaal
over de x-as lopen, ter verduidelijking staat daar
nog een kruis en ‘R.I.P.’ bij (zie afbeelding 6).
Aan het eind van de les komen in het klassengesprek
al deze beslissingen aan de orde. De
leerlingen geven aan dat het eigenlijk niet uitmaakt
of je voor een lijn- of staafgrafiek kiest,
want je kunt langs de staafjes een lijn trekken
en dan is het een lijngrafiek. We bespreken hoe
een dode plant het beste in de grafiek opgenomen
kan worden. Uiteindelijk is iedereen het er
over eens dat het het beste is om de lijn te laten
eindigen op de dag dat de plant doodgaat. Niet
de lijn naar de horizontale as te laten zakken
zoals in afbeelding 6, want dan lijkt het of de
plant krimpt. We bespreken wat er gebeurt door
het ontbreken van de weekends in de x-as. Het
weekend moet in de tijdlijn worden opgenomen
is de conclusie, zodat het niet lijkt alsof de
plant tussen vrijdag en maandag ineens sneller
groeit. Ook vergelijken we de grafieken op de
begindatum. Sommige leerlingen nemen als
startpunt de dag waarop de plant opgekomen
is (zie afbeelding 7), anderen beginnen bij de
Conclusie
De keuze voor de grafiek aan de hand van de groei van een zonnebloempit
blijkt een hele goede. Al binnen een paar dagen groeit er een plant en
dat gaat vervolgens behoorlijk hard. Zo valt er wel wat te meten! En weer
te geven in een grafiek.
De leerlingen zijn nu allemaal met hetzelfde probleem bezig geweest:
hoe zet ik de groei van een zonnebloempit in een grafiek? In het klassengesprek
is het dan voor hen interessant om te zien hoe anderen met
lastige punten zijn omgegaan. Wat is het nulpunt bijvoorbeeld van de
grafiek? Is dat de dag waarop de plant bovenkomt, of de dag dat de pit
is geplant? Dat is een belangrijk gegeven waar de leerlingen nu inzicht in
hebben, een big idea! Een ander big idea is dat de verdeling op de assen
gelijkmatig moet zijn, het weekend weglaten omdat daar geen meetgegevens
van zijn, kan dus niet. Zo zijn verschillende kerninzichten rond het
maken van een grafiek aan bod gekomen in een betekenisvolle context
voor de leerlingen. Ze hebben nagedacht over en oplossingen gevonden
voor verschillend problemen zoals: hoe zet je gegevens in een grafiek,
wat kun je eruit aflezen en hoe kun je ze gebruiken.
Leerzame lessen voor de leerlingen en voor mij.
De auteur was tijdens het schrijven van dit artikel student aan de
Marnixacademie in Utrecht.
Met dank aan groep 8 van De Uilenburcht te Driebergen en Ans Veltman en
Erica de Goeij van de vakminor rekenen, Marnixacademie, Utrecht.
Literatuur
Dolk, M. (2005/2006). Aandacht voor ‘big ideas’ in de wiskunde. Kinderen
discussiëren over hun wiskundige ontdekkingen. Volgens Bartjens, 25 (2), 4-7.
TAL-team (2007). Meten en meetkunde in de bovenbouw. Tussendoelen Annex
Leerlijnen. Groningen/Houten: Wolters-Noordhoff.
7 8
Afbeelding 7 en 8: Hoe kies je het beginpunt?
16 Volgens Bartjens jaargang 32 2012/2013 nr. 1