Deel II Continue systemen

Deel II
Continue systemen
50

Hoofdstuk 3
Lineaire Continue tijdsinvariante
systemen
3.1 Systemen Beschreven door Lineaire Differentiaalvergelijkingen
3.1.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten
Lineaire continue systemen kunnen worden gekarakteriseerd door gewone lineaire differentiaal
vergelijkingen. Beschouw volgende m-de orde lineaire differentiaal vergelijking
m∑
k=0
a k
d k y (t)
dt k =
l∑
k=0
b k
d k x (t)
dt k (3.1)
waarbij a k , b k ∈ R, t is de onafhankelijke variabele, y (t) is een uitgangsfunctie en x (t)
is een ingangsfunctie. Enkele fysische toepassingen die leiden tot lineaire differentiaal
vergelijkingen worden nu gegeven.
Voorbeeld 3.1 Gegeven een massa m die verticaal vanuit het punt O wordt omhoog
gebracht met beginsnelheid v 0 . Laat y de afstand zijn van punt O tot tijdstip t (zie
Figuur 1.1).
Figuur 3.1:
51

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 52
Er werken twee krachten in op m, de gravitatiekracht mg en de luchtwrijvingsweerstand
K dy(t) en K = mk. Het systeem kan beschreven worden door volgende lineaire
dt
differentiaal vergelijking
d 2 y (t)
dt 2
dy (t)
+ k
dt
= −g. (3.2)
Voorbeeld 3.2 Beschouw een horizontale staaf (Figuur 1.2) met lengte l meters, ingeklemd
langs beide kanten. Neem de oorsprong in O en P bevindt zich in (x, y) . Een
uniforme belasting w wordt toegepast. De uitwendige krachten die op het segment OP
werken zijn: een koppel onbekende momenten K, de opwaartse krachten 1 wl (x meters
2
van P ) en een kracht wx neerwaarts gericht in het middelpunt van OP ( 1 x meters van
2
P ). Het systeem kan beschreven worden door volgende lineaire differentiaal vergelijking
Figuur 3.2:
EI d2 y (t)
dx 2 = K + 1 2 wlx − 1 2 wx2 . (3.3)
Algemene oplossing
De algemene oplossing van (1.1) is gegeven door
y (t) = y h (t) + y p (t) (3.4)
waarbij y p (t) de particuliere (steady-state) oplossing is. De homogene oplossing (transiënt,
bron-vrij) y h (t) voldoet aan volgende homogene differentiaal vergelijking
m∑
k=0
a k
d k y (t)
dt k = 0. (3.5)
De exacte vorm van y h (t) wordt bepaald door de m initiële voorwaarden. In het algemeen,
een set van initiële voorwaarden zijn de waarden van y (t) , dy(t) , ..., dm−1 y(t)
bij een bepaald
dt dt m−1
tijdstip.
Het systeem gedefinieerd door (1.1) is lineair als en slechts als alle initiële voorwaarden
gelijk aan nul zijn. Als de initiële voorwaarden verschillend zijn van nul kan de uitgang
uitgedrukt worden door
y (t) = y zi (t) + y zs (t) (3.6)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 53
Figuur 3.3: zero toestand en zero ingang-antwoorden
waarbij y zi (t) het antwoord is tengevolge van de initiële voorwaarden (zero-ingang antwoord)
en y zs (t) het antwoord is van een lineair systeem waarbij de initiële voorwaarden nul
zijn (zero-toestand antwoord). Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.3.
Merk op dat y zi (t) ≠ y h (t) en y zs (t) ≠ y p (t) , en in het algemeen y zi (t) bevat y h (t)
en y zs (t) bevat y h (t) en y p (t) .
3.1.2 Systeem modelering
Elektrische kringen
Condensator
1.4(a).
De schematische voorstelling van de condensator wordt getoond in Figuur
Figuur 3.4: (a) Condensator; (b) Lading-spanning karakteristiek van een lineaire condensator
De lading-spanning karakteristiek is weergegeven in Figuur 1.4(b). Bij definitie, de
capaciteit C is
dq (t)
C = (3.7)
dv (t)
en de stroom wordt gegeven door
dq (t)
i (t) =
dt
Door gebruik te maken van (1.7) en (1.8) verkrijgen we volgende relaties
(3.8)
v (t) = 1 C
∫ t
−∞
i (τ) dτ, (3.9)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 54
i (t) = C
dv (t)
. (3.10)
dt
Spoel Figuur 1.5(a) geeft de schematische voorstelling van de spoel en Figuur 1.5(b)
beschrijft de flux-stroom relatie.
Figuur 3.5: (a) Spoel; (b) Lineaire flux-stroom karakteristiek; (c) Illustratie van de flux
Bij definitie, de inductantie L is
L =
dψ (t)
di (t) . (3.11)
Combineer (1.11) met de wet van Faraday
en we krijgen volgende relaties
v (t) =
dψ (t)
dt
(3.12)
i (t) = 1 L
∫ t
−∞
v (t) = L
v (τ) dτ, (3.13)
di (t)
. (3.14)
dt
Weerstand Anders dan de condensator en spoel, welke energie kunnen opslaan, de
weerstand weergegeven in Figuur 1.6(a) dissipeert energie.
Figuur 3.6: (a) Weerstand; (b) Lineaire spanning-stroom karakteristiek

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 55
De v-i karakteristiek voor de lineaire weerstand, afgebeeld in Figuur 1.6(b), is een
rechte met proportionele factor
R = v (t)
i (t) . (3.15)
Mechanische (Translatie) systemen
Ideaal massa element De dynamische eigenshappen van een ideaal massa element
worden beschreven door Newton’s tweede wet van beweging
dv (t)
f (t) = M
dt
welke de kracht f (t) relateert aan de versnelling dv(t)
dt
wordt gegeven door
v (t) = 1 M
∫ t
−∞
= M d2 x (t)
dt 2 (3.16)
= d2 x(t)
dt 2 . De integraalvorm van (1.16)
f (τ) dτ. (3.17)
Een vergelijk van (1.17) met (1.10) toont de analogie aan tussen het ideaal massa element
in mechanische systemen en de capaciteit in een elektrisch systeem. Een schematische
voorstelling wordt gegeven in Figuur 1.7.
Figuur 3.7: Schematische voorstelling van het massa-element. (a) Fysisch systeem; (b)
Circuitvoorstelling
Veer De veer is een component dat energie opslaat door de elastische deformatie die
optreedt t.g.v. de kracht toegepast op de veer. In zijn lineair gebied voldoet de veer aan
Hooke’s wet
f (t) = kx (t) (3.18)
waarbij k de veerconstante en x (t) de verplaatsing in functie van de tijd zijn. Differentieren
van (1.18) naar de tijd geeft
v (t) = 1 k
df (t)
. (3.19)
dt
Gegeven de schematische voorstelling, Figuur 1.8, en gebruikmakend van (1.18) en (1.19)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 56
Figuur 3.8: Schematische voorstelling van de veer
geeft
∫ t
f (t) = k (x 1 (t) − x 2 (t)) = k
−∞
(v 1 (τ) − v 2 (τ)) dτ
∫ t
= k v (τ) dτ. (3.20)
−∞
Als x 1 (t) > x 2 (t), dan f (t) > 0. Als x 1 (t) < x 2 (t), dan f (t) < 0. Merk op, de analogie
tussen veer en spoel.
Demper Een mechanische demper en zijn schematische voorstelling worden weergegeven
in Figuur 1.9.
Figuur 3.9: Voorstelling demper. (a) Fysisch systeem; (b) Circuitvoorstelling
De lineaire afhankelijk tussen kracht en snelheid wordt gegeven door
f (t) = Dv (t) (3.21)
waarbij D de dempingsconstante [ ]
Ns
m is. Merk op de analogie tussen demper en weerstand.
Mechanische (Roterende) systemen
In analogie met de drie soorten krachten (translatie beweging) zijn er drie soorten krachten
(roterende beweging), nl., de inertie kracht
f (t) = I d2 θ (t)
dt 2 (3.22)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 57
het dempingsmoment
en het veermoment
f (t) = k D
dθ (t)
dt
(3.23)
f (t) = k S θ (t) . (3.24)
In (1.22), (1.23) en (1.24), θ (t) is de hoekpositie op tijdstip t, I is het traagheidsmoment
en k D , k S zijn roterende demping en stiffness constanten, respectievelijk.
3.1.3 Eerste orde systemen
In deze sectie bestuderen we de karakteristieken en het gedrag van eerste orde systemen
(aan elkaar geschakelde componenten) via hun mathematische formulering. Deze formuleringen
worden verkregen door gebruik te maken van:
1. Wetten van Kirchoff voor elektrische systemen.
2. D’Alembert’s principe voor mechanische systemen.
Beschouw het eenvoudig elektrisch systeem in Figuur 1.10.
Figuur 3.10: Eenvoudig RL-circuit en zero-ingangsantwoord
Door toepassing van de wetten van Kirchoff, verkrijgen we
di (t)
L + Ri (t) = v (t) (3.25)
dt
of
L dv 0 (t)
+ v 0 (t) = v (t) (3.26)
R dt
waarbij v 0 (t) = Ri (t) .
Een aantal verschillende technieken bestaan voor het oplossen van differentiaal vergelijkingen.
Initieel ,twee methoden worden besproken: (i) de methode ”variation of parameters”
en (ii) de standaard methoden voor differentiaal vergelijkingen. Andere technieken,
zoals convolutie en transformatie methoden, worden later besproken.

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 58
Variation of parameters
De procedure voor het oplossen van de differentiaal vergelijking bestaat uit twee stappen.
Eerst schreven we de vergelijking in zijn homogene vorm
L dv 0 (t)
+ v 0 (t) = 0. (3.27)
R dt
De oplossing van deze homogene vergelijking wordt het zero-ingang antwoord genoemd.
Voor het oplossen van (1.27), proberen we een oplossing van de vorm
v 0 (t) = A exp (st) (3.28)
waarbij A en s constanten zijn. Substitueren van (1.28) in (1.27) geeft
L
As exp (st) + A exp (st) = 0 (3.29)
R
of ( L
R s + 1 )
A exp (st) = 0
of
(
s + R )
A exp (st) = 0. (3.30)
L
Als we A = 0 stellen verkrijgen we het triviale geval. Daarom, stellen we ( )
s + R L = 0
en daaruit volgt dat s = − R . Dit gecombineerd met (1.28) geeft ons het zero-ingang
L
antwoord, nl.
(
v 0 (t) = A exp −
t )
. (3.31)
L/R
Als we kiezen voor v 0 (t)| t=0
= v 0 (0) , dan, voor deze initiële toestand, v 0 (t) = A exp
( )
− 0
L/R
en A = v 0 (0) . De oplossing is grafisch weergegeven in Figuur 1.10(b).
In de volgende stap wordt (1.26) opgelost met v (t) . Dus we zoeken de oplossing van
de niet homogene differentiaal vergelijking
dv 0 (t)
dt
+ R L v 0 (t) = R v (t) . (3.32)
L
(
Vervolgens vermenigvuldigen we beide leden van (1.32) met exp
)
, een vorm gesuggereerd
door (1.31)
( dv0 (t)
+ R ) ( t
dt L v 0 (t) exp
L/R
(
We kunnen de linkse term schrijven als d exp
dt
t
L/R
)
= R ( t
L v (t) exp L/R
(
t
L/R
) )
v 0 (t) en (1.33) wordt
)
. (3.33)
( ( ) )
d t
exp v 0 (t) = R ( ) t
dt L/R
L v (t) exp . (3.34)
L/R
Integreren van beide leden van 0 tot t geeft
( )
t t
exp v 0 (t)
L/R ∣ = R
0
L
∫ t
0
( ) τ
v (τ) exp dτ (3.35)
L/R

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 59
of
( ) t
exp v 0 (t) − v 0 (0) = R L/R
L
Dit resultaat kan geschreven worden als
(
v 0 (t) = v 0 (0) exp −
t )
+ R (
L exp −
} {{
L/R
}
v ozi (t)
∫ t
0
( ) τ
v (τ) exp dτ. (3.36)
L/R
t ) ∫ t
( τ
v (τ) exp
L/R 0
} {{ }
v osi (t)
)
dτ. (3.37)
L/R
Stel dat bij t = 0, de initiële spanning v o (0) = 2 [V ] en de verhouding L = 1. Onder
R
deze condities, de uitgangsspanning voor een eenheidstap ingang v (t) = u (t) is
v 0 (t) = 2 exp (−t) + exp (−t)
Standaard methode
= 2 exp (−t)
} {{ }
Zero-ingang antwoord
∫ t
0
exp (τ) dτ
+ (1 − exp (−t))
} {{ }
zero-toes tan d antwoord
= exp (−t)
} {{ }
transient
+ 1. }{{}
steady state
(3.38)
De oplossing van (1.26) met de standaard methode geeft onmiddellijk de transient component
en de steady state component. De eerste stap in deze procedure is de homogene
oplossing vinden. Dat resultaat is reeds bepaald in (1.31). De volgende stap is
het oplossen van de niet homogene vergelijking (1.32) voor de eenheidstap ingang. De
vergelijking wordt
dv 0 (t)
+ R dt L v 0 (t) = R , t > 0. (3.39)
L
We veronderstellen een oplossing van de vorm v 0 (t) = B, waarbij B een onbekende
constante is. Een constante wordt verondersteld omdat de ingang van het systeem een
constante is. We substitueren de veronderstelde oplossing in (1.39) en we vinden B = 1.
De complete oplossing is
( )
v 0 (t) = A exp −
t
L/R
} {{ }
homogene oplossing
Voor de initiële conditie (t = 0), v 0 (0) = 2 en L R
v 0 (t) =
exp (−t)
} {{ }
transient component
3.1.4 Hogere orde systemen
+ }{{} 1 . (3.40)
particuliere oplossing
= 1, (1.40) wordt
+ }{{} 1 . (3.41)
steady state component
De oplossing van differentiaal vergelijkingen van hogere orde volgen dezelfe algemene
strategie als voor de eerste orde differentiaal vergelijkingen. De algeme oplossing bestaat
uit twee delen, namelijk, de homogene en de particuliere oplossing.
Homogene lineaire differentiaal vergelijkingen met constante coefficienten hebben een
oplossing van de vorm exp (λt), waarbij λ een wortel is van de karakteristieke vergelijking
geassocieerd met de differentiaal vergelijking. Beschouw de tweede orde differentiaal
vergelijking met reele coefficienten
a 2
d 2 y (t)
dt 2
+ a 1
dy (t)
dt
+ a 0 y (t) = 0, a 2 ≠ 0. (3.42)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 60
Veronderstel dat λ 1 en λ 2 de wortels zijn van de karakteristieke vergelijking
a 2 Λ 2 + a 1 Λ + a 0 = 0 (3.43)
waarbij de operator Λ = d . De algemene oplossing voor (1.42) is een van de volgende drie
dt
gevallen
1. Wortels zijn reeël en verschillend (λ 1 , λ 2 ∈ R en λ 1 ≠ λ 2 ) .
waarbij C 1 en C 2 willekeurige constanten zijn.
y h (t) = C 1 exp (λt) + C 2 exp (λt) (3.44)
2. Wortels zijn reeël en gelijk (λ 1 , λ 2 ∈ R en λ 1 = λ 2 = λ) .
y h (t) = (C 1 + C 2 t) exp (λ 2 t) . (3.45)
3. Complex toegevoegde wortels (λ 1 , λ 2 ∈ C en λ 1 , λ 2 = α ± jβ) .
y h (t) = C 1 exp (αt) cos (βt) + C 2 exp (αt) sin (βt) . (3.46)
Dit formaat van oplossingen kan worden toegepast voor elke orde differentiaal vergelijkingen.
Voorbeeld 3.3 Beschouw het systeem voorgesteld in Figuur 1.11.
Figuur 3.11: (a) Massa-veer systeem met demping; (b) Netwerkvoorstelling van het systeem
De beweging van het massa element, welke bevestigd is aan een veer en een mechanische
demper, wordt door de volgende vergelijking beschreven
of
−f (t) + f M (t) + f K (t) + f D (t) = 0 (3.47)
∫
dv (t)
M + K
dt
v (t) dt + Dv (t) = f (t) . (3.48)
De snelheid v (t) is gerelateerd aan de verplaatsing (afgelegde weg) y door dy = v (t) en
dt
(1.48) wordt geschreven als
d 2 y (t)
dt 2
+ D M
dy (t)
dt
+ K M y (t) = 1 f (t) (3.49)
M

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 61
waarbij M, D, K ∈ R + . Stel D = 2d en K = M M k2 en (1.49) in zijn homogene vorm wordt
dan
d 2 y (t) dy (t)
+ 2d + k 2 y (t) = 0. (3.50)
dt 2 dt
De oplossing van de karakteristieke vergelijking Λ 2 + 2dΛ + b 2 = 0 heeft twee wortels
λ 1 = −d + √ d 2 − k 2 , λ 2 = −d − √ d 2 − k 2 . (3.51)
We onderscheiden de volgende drie gevallen in functie van de waarden d en k.
1. k 2 > d 2 (or k > d) .
De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt
( (√ ) (√ ))
y h (t) = exp (dt) C 1 cos d2 − k 2 t + C 2 sin d2 − k 2 t
(3.52)
waarbij C 1 en C 2 willekeurige constanten zijn. De oplossing beschrijft een dalende
oscillatie rond het equilibriumpunt, het is gekend als het ondergedempte geval.
2. k 2 = d 2 (or k = d) .
De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt
y h (t) = (C 1 + C 2 t) exp (−dt) . (3.53)
In dit geval treden er geen oscillaties op. Alhoewel, met een kleine daling van de
demping treden oscillaties op. Dit geval is gekend als kritische demping.
3. k 2 < d 2 (or k < d) .
De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt
waarbij λ 1 , λ 2 ∈ R − .
y h (t) = C 1 exp (λ 1 t) + C 2 exp (λ 2 t) (3.54)
We gebruiken de methode van onbepaalde coëfficienten om de particuliere oplossing
te vinden, de oplossing die afhankelijk is van de kracht f (t) . De niet-homogene vergelijking
wordt gegeven door
a 2
d 2 y (t)
dt 2
+ a 1
dy (t)
dt
+ a 0 y (t) = f (t) (3.55)
waarbij de a i ’s constanten zijn en f (t) een lineaire combinatie is van functies. Tabel (1.1)
is een hulp voor het vinden van particuliere oplossingen van differentiaal vergelijkingen.
Het geeft de vorm van de veronderstelde oplossingen weer in functie van de ingangsfunctie.

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 62
Ingang
f (t) = a 0 + a 1 t + ... + a n t n
f (t) = A exp (st)
f (t) = A cos (t) + B sin (t)
f (t) = A cos (αt) of B sin (βt)
Veronderstelde oplossing
f (t) = c 0 + c 1 t + ... + c n t n
f (t) = B exp (st)
f (t) = C 1 cos (t) + C 2 sin (t)
f (t) = C 1 cos (αt) + C 2 sin (βt)
Tabel 3.1: Particuliere oplossing.
3.2 Convolutie voor continue LTI systemen
De impuls respons h (t) van een continu LTI systeem wordt gedefinieerd door
waarbij T een operator is die het systeem voorsteld.
h (t) = T [δ (t)] (3.56)
Theorema 3.1 Gegeven een willekeurig ingangsignaal x (t), de respons y (t) van het lineair
systeem kan uitgedrukt worden als
Bewijs
y (t) =
∫ ∞
−∞
Een willekeurig signaal x (t) kan uitgedrukt worden als
x (t) =
∫ ∞
−∞
x (τ) h (t − τ) dτ. (3.57)
x (τ) δ (t − τ) dτ. (3.58)
De respons y (t) van een lineair systeem kan uitgedrukt worden als
[∫ ∞
]
y (t) = T [x (t)] = T x (τ) δ (t − τ) dτ
−∞
=
∫ ∞
−∞
x (τ) T [δ (t − τ) dτ] . (3.59)
Gebruik makend van (1.56) en steunend op het feit dat het systeem tijdsinvariant is
krijgen we
h (t − τ) = T [δ (t − τ)] . (3.60)
Substitutie van (1.60) in (1.59) geeft
y (t) =
∫ ∞
−∞
x (τ) h (t − τ) dτ. (3.61)
Voorbeeld 3.4 Gegeven de deltafunctie δ(t) en een willekeurige functie f(t), bepaal de
convolutie y(t) = f(t) ∗ δ(t).
Oplossing
Uit de definitie van convolutie volgt
y(t) =
∫ ∞
−∞
f(τ)δ(t − τ) dτ = f(t) (3.62)
In woorden, convolutie van een functie f(t) met δ(t) geeft de functie f(t). Dit wordt
schematisch weergegeven in Figuur 1.12

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 63
Figuur 3.12: Convolutie van f(t) met δ(t)
Voorbeeld 3.5 Gegeven f(t) en g(t) met
f(t) =
Bepaal y(t) = f(t) ∗ g(t)
Oplossing
Uit de definitie van convolutie
{ e −t , t ≥ 0
0, t < 0
g(t) =
{ αe −t , t ≥ 0
0, t < 0
(3.63)
Convolutie integraal
y(t) =
=
∫ ∞
−∞
∫ t
0
f(τ)g(t − τ) dτ
e −τ αe −α(t−τ) dτ, t ≥ 0
∫ t
= αe −αt e τ(α−1) dτ, t ≥ 0
=
α
α − 1
0
(
e −t − e αt) , α ≠ 1, t ≥ 0 (3.64)
Vergelijking (1.57) definieert de convolutie van twee continue tijdsignalen x (t) en h (t) ,
voorgesteld door
y (t) = x (t) ∗ h (t) =
∫ ∞
−∞
x (τ) h (t − τ) dτ. (3.65)
De uitgang y (t) van een willekeurig continu LTI systeem is de convolutie van de
ingang x (t) met het impulsantwoord h (t)van het systeem. Figuur 1.13 illustreert
de definitie van de impuls respons h (t) en de relatie van vergelijking (1.65).
Figuur 3.13: Continu LTI systeem

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 64
Eigenschappen van de convolutie integraal
De convolutie integraal bezit volgende eigenschappen:
1. Commutatief
2. Associatief
x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t) . (3.66)
(x (t) ∗ h 1 (t)) ∗ h 2 (t) = x (t) ∗ (h 1 (t) ∗ h 2 (t)) . (3.67)
3. Distributief
x (t) ∗ (h 1 (t) + h 2 (t)) = x (t) ∗ h 1 (t) + x (t) ∗ h 2 (t) . (3.68)
4. Deltafunctie convolutie
y (t) = x (t) ∗ δ (t) = x (t) . (3.69)
5. Schaling
Als y (t) = x (t) ∗ h (t) , dan
( t
|a| y
a)
( ( t t
= x ∗ h . (3.70)
a)
a)
6. Opschuiving invariantie
Als y (t) = x (t) ∗ h (t) , dan
y (t − t 0 ) = x (t − t 0 ) ∗ h (t)
=
∫ ∞
−∞
x (τ − t 0 ) h (t − τ) dτ. (3.71)
7. Afgeleide
dx (t)
dt
= x (t) ∗
dδ (t)
. (3.72)
dt
Gebruikmakend van (1.66), vergelijking (1.65) kan als volgt worden geschreven
y (t) = h (t) ∗ x (t) =
∫ ∞
−∞
h (τ) x (t − τ) dτ. (3.73)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 65
3.3 Grafische voorstelling van convolutie
Gebaseerd op (1.65) stellen we vast dat de convolutie integraal operatie bestaat uit volgende
4 stappen:
1. Het impulsantwoord h (τ) wordt gespiegeld door de oorsprong om h (−τ) te verkrijgen
en wordt dan verplaatst door t om h (t − τ) te vormen.
2. Het signaal x (τ) en h (t − τ) worden met elkaar vermenigvuldigd, voor alle waarden
van τ met t constant.
3. Het product x (τ) h (t − τ) wordt geintegreerd over alle τ om een uitgangswaarde
y (t) te bekomen.
4. Stap 1 tot 3 worden herhaald zodat t varieert over −∞ tot ∞ om de ganse uitgang
y (t) te bekomen.
Deze ideeën worden grafisch weergegeven in Figuur 1.14
Figuur 3.14: Grafische voorstelling van convolutie

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 66
3.4 Generalisatie van convolutie voor continue LTI
systemen
De grenzen van de convolutie-integraal zijn in het algemeen (−∞, +∞). In deze cursus
worden enkel causale in- en uitgangen beschouwd. Als h(t) causaal is dan geldt h(t) =
0, t < 0 en h(t−τ) = 0 voor τ > t. In dit geval is de bovengrens van de convolutie-integraal
t. Als x(t) ook causaal is, kan de ondergrens van de convolutie-integraal vervangen worden
door 0. Dus vergelijking (1.56) wordt voor causale x(t) en h(t) als volgt gedefinieerd
y(t) = x(t) ∗ h(t)
=
∫ t
Relatie tussen de staprespons en de impulsrespons
0
x(τ)h(t − τ) dτ (3.74)
De staprespons van een lineair systeem, voorgesteld door ξ(t), wordt gedefinieerd als
ξ(t) = T [u(t)] (3.75)
waarbij u(t) de stapfunctie is en T is de operator die het systeem voorstelt.
De staprespons ξ(t) kan worden verkregen door
ξ(t) = u(t) ∗ h(t)
=
∫ ∞
−∞
Omdat u(t) = 0 voor t < 0, wordt (1.76) geschreven als
u(τ)h(t − τ) dτ. (3.76)
ξ(t) =
=
∫ ∞
0
∫ t
−∞
h(t − τ) dτ
h(τ) dτ (3.77)
De staprespons voor een lineair systeem is de integraal van de impulsrespons.
Men kan de staprespons ξ(t) gebruiken voor het karakteriseren van de ingang-uitgang
relatie voor een lineair systeem. Beschouw de convolutie van een willekeurige ingang x(t)
met de impulsrespons h(t), dat is
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ) dτ (3.78)
Toepassen van partiële integratie op (1.78) en gebruikmakend van (1.77) krijgen we
y(t) = x(τ)
∫ ∞
−∞
h(t − τ) dτ −
= −x(τ) [ξ(t − τ)] ∞ −∞ + ∫ ∞
=
∫ ∞
−∞
dx(τ)
dτ
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
−∞
dx(τ)
dτ
h(t − τ) dτ du(τ)
dτ
ξ(t − τ) dτ
ξ(t − τ) dτ (3.79)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 67
als x(t) en ξ(t) gelijk aan nul zijn bij t = −∞.
De uitgang y(t) van een willekeurig continu LTI systeem is de convolutie van
de staprespons ξ(t) met de afgeleide van de ingang dx(t)
dt
.
Voorbeeld 3.6
Door toepassing van de stroomwet van Kirchoff verkrijgen we
Figuur 3.15: RC netwerk
C dy(t)
dt
= 1 (x(t) − y(t))
R
x(t) = RC dy(t)
dt
Stel RC = 1 en voorgaande vergelijking wordt dan
x(t) = dy(t)
dt
De staprespons wordt verkregen door het oplossen van
+ y(t)
+ y(t). (3.80)
dq(t)
dt
+ ξ(t) =
{ 1, t > 0
0, t < 0
(3.81)
De oplossing is dan
ξ(t) = (1 − e −t )u(t) (3.82)
met randvoorwaarde ξ(0) = 0. De impulsrespons wordt gegeven door
h(t) = dξ(t) = d (
(1 − e −t )u(t) )
dt dt
= (1 − e −t )δ(t) + e −t u(t)
= e −t u(t) (3.83)
Voorbeeld 3.7 Bepaal de uitgang van de RC kring, zie Figuur 1.15, met ingang
{ Ae
x(t) =
−t , t > 0, β ∈ R
0, t < 0
(3.84)
Oplossing
De convolutie-integraal, gebruikmakend van vergelijking 1.83, kan geschreven worden als

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 68
volgt
y(t) =
∫ t
0
= Ae−t
=
Ae −βτ e −(t−τ) dτ, t > 0
[ ] e
−τ(β−1) t
1 − β
0
A (
e −tβ − e −t) u(t),
1 − β
t > 0 (3.85)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 69
3.5 Convolutie en Matlab
3.5.1 Matlab syntax
Syntax
w = conv(u, v)
Description
w = conv(u, v) convolves vectors u and v. Algebraically, convolution is the same
operation as multiplying the polynomials whose coefficients are the
elements of u and v.
Definition
Let m = length(u) and n = length(v). Then w is the vector of length m+n−1 whose
kth element is
w (k) = ∑ u (j) v (k = 1 − J) . (3.86)
j
The sum is over all the values of j which lead to legal subscripts for u(j) and v(k + 1 − j),
specifically j = max(1, k + 1 − n) : min(k, m).
3.5.2 Voorbeelden
Als eerste voorbeeld van convolutie beschouwen we de signalen voorgesteld in Figuur 1.16.
Figuur 3.16:
De resulterende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.17). Het volgende
Matlab programma implementeert de concolutie van beide signalen

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 70
Algoritme 3.1 Convolutie van twee signalen.
step = 0.005; t = -2:step:4; n = length(t); n_c
=[2*t(1):step:2*t(n)];
x=2*step_function(t+1)-2*step_function(t)-2*step_function(t)+2*step_function(t-1);
h = 0.5*ramp_function(t).*step_function(2-t); y = step*conv(x,h);
subplot(3,1,1)
plot(t,x)
axis([-2 5 -3 3])
xlabel(’t’)
ylabel(’s(t)’)
subplot(3,1,2)
plot(t,h)
axis([-2 5 -1 3])
xlabel(’t’)
ylabel(’h(t)’)
subplot(3,1,3)
plot(n_c,y)
axis([t(1) t(n) -3 3])
xlabel(’t’)
ylabel(’y(t)’)
2
s(t)
0
−2
−2 −1 0 1 2 3 4 5
t
3
2
h(t)
1
0
−1
−2 −1 0 1 2 3 4 5
t
2
y(t)
0
−2
−2 −1 0 1 2 3 4
t
Figuur 3.17: Matlab resultaat voorbeeld 1

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 71
Beschouw de volgende signalen x (t) = u(t)−2u(t−1)+u(t−2) en h(t) = u(t)−u(t−1)
in voorbeeld 2. De resulterende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.18). Als
2
s(t)
0
−2
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
3
2
h(t)
1
0
−1
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
2
y(t)
0
−2
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t
Figuur 3.18: Matlab resultaat voorbeeld 2
De resul-
laatste voorbeeld, gegeven x (t) = exp (at) u (−t) en h (t) = exp (−at) u (t).
terende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.19).
4
s(t)
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
t
4
h(t)
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
t
10
y(t)
5
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
t
Figuur 3.19: Matlab resultaat voorbeeld 3

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 72
3.6 Oefeningen
Oefening 3.1 Gegeven een continu systeem (Figuur 1.20). Schrijf een differentiaal vergelijking
in functie van ingang en uitgang.
Figuur 3.20:
Oplossing: De ingang van de integrator wordt voorgesteld door e (t) en de ingang-uitgang
relatie van de integrator wordt gegeven door
y (t) =
∫ t
−∞
e (τ) dτ. (3.87)
Afleiden van (1.87) naar t geeft
dy (t)
= e (t) . (3.88)
dt
De ingang van de integrator (zie Figuur 1.20) wordt gegeven door
Substitutie van (1.89) in (1.88) geeft
e (t) = x (t) − ay (t) . (3.89)
dy (t)
dt
+ ay (t) = x (t) , (3.90)
welke de gevraagde eerste-orde lineaire differentiaal vergelijking is.
Oefening 3.2 Toon aan dat x (t) ∗ u (t) = ∫ t
x (τ) dτ
−∞
Oplossing
Per definitie
x (t) ∗ u (t) =
∫ ∞
−∞
De verschoven stapfunctie wordt voorgesteld als
x (τ) u (t − τ) dτ. (3.91)
u (t − τ) =
{ 1 als t > τ
0 als t < τ
(3.92)
Door (1.92) wordt (1.91)
x (t) ∗ u (t) =
∫ t
−∞
x (τ) dτ.

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 73
Oefening 3.3 Bepaal y (t) = x (t) ∗ h (t), waarbij x (t) en h (t) voorgesteld worden in
Figuur 1.21
Figuur 3.21:
Oplossing
Eerst drukken we x (t) en h (t) uit in functionele vorm
x (t) = u (t) − u (t − 3) , h (t) = u (t) − u (t − 2)
Door toepassing van (1.65)
y (t) = x (t) ∗ h (t) =
=
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
∫ ∞
−∞
x (τ) h (t − τ) dτ
[u (τ) − u (τ − 3)] [u (t − τ) − u (t − τ − 2)] dτ
u (τ) u (t − τ) dτ −
∫ ∞
−∞
∫ ∞
u (τ) u (t − τ − 2) dτ
− u (τ − 3) u (t − τ) dτ + u (τ − 3) u (t − τ − 2) dτ. (3.93)
−∞
−∞
Met
{ 1 0 < τ < t, t > 0
u (τ) u (t − τ) =
0 anders
{ 1 0 < τ < t − 2, t > 2
u (τ) u (t − τ − 2) =
0 anders
{ 1 3 < τ < t, t > 3
u (τ − 3) u (t − τ) =
0 anders
{ 1 3 < τ < t − 2, t > 5
u (τ − 3) u (t − τ − 2) =
0 anders
kunnen we y (t) uitdrukken als volgt
y (t) =
+
∫ t
0
∫ t−2
3
u (t) dτ −
∫ t−2
u (τ − 5) dτ
u (τ − 2) dτ −
∫ t
0
3
u (τ − 3) dτ
= tu (t) − (t − 2) u (t − 2) − (t − 3)u (t − 3) + (t − 5)u (t − 5) (3.94)

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 74
welke is grafisch weergegeven in Figuur 1.22.
Figuur 3.22:
Functies h (τ) , h (t − τ) en x (τ) h (t − τ) voor verschillende waarden van t zijn getekend
in Figuur 1.23.

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 75
Figuur 3.23:

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 76
Uit Figuur 1.23 , x (τ) en h (t − τ) overlappen niet voor t < 0 en t > 5, daardoor is
y (t) = 0 voor t < 0 en t > 5. Voor de andere intervals, x (τ) en h (t − τ) overlappen.
Daaruit volgt dat de oppervlakte onder de rechthoekige pulsen voor deze intervals bepaald
worden door
⎧
⎪⎨
y (t) =
welke is voorgesteld in Figuur 1.24.
⎪⎩
0 t < 0
t 0 < t ≤ 2
2 2 < t ≤ 3
5 − t 3 < t ≤ 5
0 5 < t
(3.95)
Figuur 3.24:

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 77
Oefening 3.4 De ingang x (t) en de impuls respons van een continu LTI systeem zijn
gegeven door
x (t) = u (t) h (t) = exp (−αt) u (t) , α > 0
(a) Bepaal de uitgang y (t) met vergelijking (1.65).
(b) Bepaal de uitgang y (t) met vergelijking (1.73).
Oplossing:
(a) Via vergelijking (1.65)
y (t) = x (t) ∗ h (t) =
∫ ∞
−∞
x (τ) h (t − τ) dτ.
De functies x (τ) en h (t − τ) worden weergegeven in Figuur 1.25 voor t < 0 en t > 0.
Figuur 3.25:
Uit Figuur 1.25 volgt dat voor t < 0, x (τ) en h (t − τ) overlappen elkaar niet, terwijl
voor t > 0 de signalen overlappen van τ = 0 tot τ = t. Dus voor t < 0, y (t) = 0. Maar
voor t > 0 hebben we
y (t) =
∫ t
0
exp (−α (t − τ)) dτ = exp (−αt)
∫ t
0
exp (ατ) dτ
= exp (−αt) 1 α (exp (αt)) = 1 (1 − exp (−αt)) .
α

HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 78
De uitgang y (t) kan geschreven worden als
(b) Via vergelijking (1.73)
y (t) = 1 (1 − exp (−αt)) u (t) (3.96)
α
y (t) = h (t) ∗ x (t) =
∫ ∞
−∞
h (τ) x (t − τ) dτ
De functies h (τ) en x (t − τ) worden weergegeven in Figuur (blz 69, schaum) voor
t < 0 en t > 0. Uit de Figuur vogt dat voor t < 0, h (τ) en x (t − τ) overlappen elkaar
niet, terwijl voor t > 0 de signalen overlappen van τ = 0 tot τ = t. Dus voor t < 0,
y (t) = 0. Maar voor t > 0 hebben we
y (t) =
∫ t
De uitgang y (t) kan geschreven worden als
0
exp (−ατ) dτ
= 1 (1 − exp (−αt))
α
welke hetzelfde is als (1.96).
y (t) = 1 (1 − exp (−αt)) u (t) (3.97)
α