01.04.2015 Views

Deel II Continue systemen

Deel II Continue systemen

Deel II Continue systemen

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Deel</strong> <strong>II</strong><br />

<strong>Continue</strong> <strong>systemen</strong><br />

50


Hoofdstuk 3<br />

Lineaire <strong>Continue</strong> tijdsinvariante<br />

<strong>systemen</strong><br />

3.1 Systemen Beschreven door Lineaire Differentiaalvergelijkingen<br />

3.1.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten<br />

Lineaire continue <strong>systemen</strong> kunnen worden gekarakteriseerd door gewone lineaire differentiaal<br />

vergelijkingen. Beschouw volgende m-de orde lineaire differentiaal vergelijking<br />

m∑<br />

k=0<br />

a k<br />

d k y (t)<br />

dt k =<br />

l∑<br />

k=0<br />

b k<br />

d k x (t)<br />

dt k (3.1)<br />

waarbij a k , b k ∈ R, t is de onafhankelijke variabele, y (t) is een uitgangsfunctie en x (t)<br />

is een ingangsfunctie. Enkele fysische toepassingen die leiden tot lineaire differentiaal<br />

vergelijkingen worden nu gegeven.<br />

Voorbeeld 3.1 Gegeven een massa m die verticaal vanuit het punt O wordt omhoog<br />

gebracht met beginsnelheid v 0 . Laat y de afstand zijn van punt O tot tijdstip t (zie<br />

Figuur 1.1).<br />

Figuur 3.1:<br />

51


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 52<br />

Er werken twee krachten in op m, de gravitatiekracht mg en de luchtwrijvingsweerstand<br />

K dy(t) en K = mk. Het systeem kan beschreven worden door volgende lineaire<br />

dt<br />

differentiaal vergelijking<br />

d 2 y (t)<br />

dt 2<br />

dy (t)<br />

+ k<br />

dt<br />

= −g. (3.2)<br />

Voorbeeld 3.2 Beschouw een horizontale staaf (Figuur 1.2) met lengte l meters, ingeklemd<br />

langs beide kanten. Neem de oorsprong in O en P bevindt zich in (x, y) . Een<br />

uniforme belasting w wordt toegepast. De uitwendige krachten die op het segment OP<br />

werken zijn: een koppel onbekende momenten K, de opwaartse krachten 1 wl (x meters<br />

2<br />

van P ) en een kracht wx neerwaarts gericht in het middelpunt van OP ( 1 x meters van<br />

2<br />

P ). Het systeem kan beschreven worden door volgende lineaire differentiaal vergelijking<br />

Figuur 3.2:<br />

EI d2 y (t)<br />

dx 2 = K + 1 2 wlx − 1 2 wx2 . (3.3)<br />

Algemene oplossing<br />

De algemene oplossing van (1.1) is gegeven door<br />

y (t) = y h (t) + y p (t) (3.4)<br />

waarbij y p (t) de particuliere (steady-state) oplossing is. De homogene oplossing (transiënt,<br />

bron-vrij) y h (t) voldoet aan volgende homogene differentiaal vergelijking<br />

m∑<br />

k=0<br />

a k<br />

d k y (t)<br />

dt k = 0. (3.5)<br />

De exacte vorm van y h (t) wordt bepaald door de m initiële voorwaarden. In het algemeen,<br />

een set van initiële voorwaarden zijn de waarden van y (t) , dy(t) , ..., dm−1 y(t)<br />

bij een bepaald<br />

dt dt m−1<br />

tijdstip.<br />

Het systeem gedefinieerd door (1.1) is lineair als en slechts als alle initiële voorwaarden<br />

gelijk aan nul zijn. Als de initiële voorwaarden verschillend zijn van nul kan de uitgang<br />

uitgedrukt worden door<br />

y (t) = y zi (t) + y zs (t) (3.6)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 53<br />

Figuur 3.3: zero toestand en zero ingang-antwoorden<br />

waarbij y zi (t) het antwoord is tengevolge van de initiële voorwaarden (zero-ingang antwoord)<br />

en y zs (t) het antwoord is van een lineair systeem waarbij de initiële voorwaarden nul<br />

zijn (zero-toestand antwoord). Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.3.<br />

Merk op dat y zi (t) ≠ y h (t) en y zs (t) ≠ y p (t) , en in het algemeen y zi (t) bevat y h (t)<br />

en y zs (t) bevat y h (t) en y p (t) .<br />

3.1.2 Systeem modelering<br />

Elektrische kringen<br />

Condensator<br />

1.4(a).<br />

De schematische voorstelling van de condensator wordt getoond in Figuur<br />

Figuur 3.4: (a) Condensator; (b) Lading-spanning karakteristiek van een lineaire condensator<br />

De lading-spanning karakteristiek is weergegeven in Figuur 1.4(b). Bij definitie, de<br />

capaciteit C is<br />

dq (t)<br />

C = (3.7)<br />

dv (t)<br />

en de stroom wordt gegeven door<br />

dq (t)<br />

i (t) =<br />

dt<br />

Door gebruik te maken van (1.7) en (1.8) verkrijgen we volgende relaties<br />

(3.8)<br />

v (t) = 1 C<br />

∫ t<br />

−∞<br />

i (τ) dτ, (3.9)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 54<br />

i (t) = C<br />

dv (t)<br />

. (3.10)<br />

dt<br />

Spoel Figuur 1.5(a) geeft de schematische voorstelling van de spoel en Figuur 1.5(b)<br />

beschrijft de flux-stroom relatie.<br />

Figuur 3.5: (a) Spoel; (b) Lineaire flux-stroom karakteristiek; (c) Illustratie van de flux<br />

Bij definitie, de inductantie L is<br />

L =<br />

dψ (t)<br />

di (t) . (3.11)<br />

Combineer (1.11) met de wet van Faraday<br />

en we krijgen volgende relaties<br />

v (t) =<br />

dψ (t)<br />

dt<br />

(3.12)<br />

i (t) = 1 L<br />

∫ t<br />

−∞<br />

v (t) = L<br />

v (τ) dτ, (3.13)<br />

di (t)<br />

. (3.14)<br />

dt<br />

Weerstand Anders dan de condensator en spoel, welke energie kunnen opslaan, de<br />

weerstand weergegeven in Figuur 1.6(a) dissipeert energie.<br />

Figuur 3.6: (a) Weerstand; (b) Lineaire spanning-stroom karakteristiek


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 55<br />

De v-i karakteristiek voor de lineaire weerstand, afgebeeld in Figuur 1.6(b), is een<br />

rechte met proportionele factor<br />

R = v (t)<br />

i (t) . (3.15)<br />

Mechanische (Translatie) <strong>systemen</strong><br />

Ideaal massa element De dynamische eigenshappen van een ideaal massa element<br />

worden beschreven door Newton’s tweede wet van beweging<br />

dv (t)<br />

f (t) = M<br />

dt<br />

welke de kracht f (t) relateert aan de versnelling dv(t)<br />

dt<br />

wordt gegeven door<br />

v (t) = 1 M<br />

∫ t<br />

−∞<br />

= M d2 x (t)<br />

dt 2 (3.16)<br />

= d2 x(t)<br />

dt 2 . De integraalvorm van (1.16)<br />

f (τ) dτ. (3.17)<br />

Een vergelijk van (1.17) met (1.10) toont de analogie aan tussen het ideaal massa element<br />

in mechanische <strong>systemen</strong> en de capaciteit in een elektrisch systeem. Een schematische<br />

voorstelling wordt gegeven in Figuur 1.7.<br />

Figuur 3.7: Schematische voorstelling van het massa-element. (a) Fysisch systeem; (b)<br />

Circuitvoorstelling<br />

Veer De veer is een component dat energie opslaat door de elastische deformatie die<br />

optreedt t.g.v. de kracht toegepast op de veer. In zijn lineair gebied voldoet de veer aan<br />

Hooke’s wet<br />

f (t) = kx (t) (3.18)<br />

waarbij k de veerconstante en x (t) de verplaatsing in functie van de tijd zijn. Differentieren<br />

van (1.18) naar de tijd geeft<br />

v (t) = 1 k<br />

df (t)<br />

. (3.19)<br />

dt<br />

Gegeven de schematische voorstelling, Figuur 1.8, en gebruikmakend van (1.18) en (1.19)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 56<br />

Figuur 3.8: Schematische voorstelling van de veer<br />

geeft<br />

∫ t<br />

f (t) = k (x 1 (t) − x 2 (t)) = k<br />

−∞<br />

(v 1 (τ) − v 2 (τ)) dτ<br />

∫ t<br />

= k v (τ) dτ. (3.20)<br />

−∞<br />

Als x 1 (t) > x 2 (t), dan f (t) > 0. Als x 1 (t) < x 2 (t), dan f (t) < 0. Merk op, de analogie<br />

tussen veer en spoel.<br />

Demper Een mechanische demper en zijn schematische voorstelling worden weergegeven<br />

in Figuur 1.9.<br />

Figuur 3.9: Voorstelling demper. (a) Fysisch systeem; (b) Circuitvoorstelling<br />

De lineaire afhankelijk tussen kracht en snelheid wordt gegeven door<br />

f (t) = Dv (t) (3.21)<br />

waarbij D de dempingsconstante [ ]<br />

Ns<br />

m is. Merk op de analogie tussen demper en weerstand.<br />

Mechanische (Roterende) <strong>systemen</strong><br />

In analogie met de drie soorten krachten (translatie beweging) zijn er drie soorten krachten<br />

(roterende beweging), nl., de inertie kracht<br />

f (t) = I d2 θ (t)<br />

dt 2 (3.22)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 57<br />

het dempingsmoment<br />

en het veermoment<br />

f (t) = k D<br />

dθ (t)<br />

dt<br />

(3.23)<br />

f (t) = k S θ (t) . (3.24)<br />

In (1.22), (1.23) en (1.24), θ (t) is de hoekpositie op tijdstip t, I is het traagheidsmoment<br />

en k D , k S zijn roterende demping en stiffness constanten, respectievelijk.<br />

3.1.3 Eerste orde <strong>systemen</strong><br />

In deze sectie bestuderen we de karakteristieken en het gedrag van eerste orde <strong>systemen</strong><br />

(aan elkaar geschakelde componenten) via hun mathematische formulering. Deze formuleringen<br />

worden verkregen door gebruik te maken van:<br />

1. Wetten van Kirchoff voor elektrische <strong>systemen</strong>.<br />

2. D’Alembert’s principe voor mechanische <strong>systemen</strong>.<br />

Beschouw het eenvoudig elektrisch systeem in Figuur 1.10.<br />

Figuur 3.10: Eenvoudig RL-circuit en zero-ingangsantwoord<br />

Door toepassing van de wetten van Kirchoff, verkrijgen we<br />

di (t)<br />

L + Ri (t) = v (t) (3.25)<br />

dt<br />

of<br />

L dv 0 (t)<br />

+ v 0 (t) = v (t) (3.26)<br />

R dt<br />

waarbij v 0 (t) = Ri (t) .<br />

Een aantal verschillende technieken bestaan voor het oplossen van differentiaal vergelijkingen.<br />

Initieel ,twee methoden worden besproken: (i) de methode ”variation of parameters”<br />

en (ii) de standaard methoden voor differentiaal vergelijkingen. Andere technieken,<br />

zoals convolutie en transformatie methoden, worden later besproken.


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 58<br />

Variation of parameters<br />

De procedure voor het oplossen van de differentiaal vergelijking bestaat uit twee stappen.<br />

Eerst schreven we de vergelijking in zijn homogene vorm<br />

L dv 0 (t)<br />

+ v 0 (t) = 0. (3.27)<br />

R dt<br />

De oplossing van deze homogene vergelijking wordt het zero-ingang antwoord genoemd.<br />

Voor het oplossen van (1.27), proberen we een oplossing van de vorm<br />

v 0 (t) = A exp (st) (3.28)<br />

waarbij A en s constanten zijn. Substitueren van (1.28) in (1.27) geeft<br />

L<br />

As exp (st) + A exp (st) = 0 (3.29)<br />

R<br />

of ( L<br />

R s + 1 )<br />

A exp (st) = 0<br />

of<br />

(<br />

s + R )<br />

A exp (st) = 0. (3.30)<br />

L<br />

Als we A = 0 stellen verkrijgen we het triviale geval. Daarom, stellen we ( )<br />

s + R L = 0<br />

en daaruit volgt dat s = − R . Dit gecombineerd met (1.28) geeft ons het zero-ingang<br />

L<br />

antwoord, nl.<br />

(<br />

v 0 (t) = A exp −<br />

t )<br />

. (3.31)<br />

L/R<br />

Als we kiezen voor v 0 (t)| t=0<br />

= v 0 (0) , dan, voor deze initiële toestand, v 0 (t) = A exp<br />

( )<br />

− 0<br />

L/R<br />

en A = v 0 (0) . De oplossing is grafisch weergegeven in Figuur 1.10(b).<br />

In de volgende stap wordt (1.26) opgelost met v (t) . Dus we zoeken de oplossing van<br />

de niet homogene differentiaal vergelijking<br />

dv 0 (t)<br />

dt<br />

+ R L v 0 (t) = R v (t) . (3.32)<br />

L<br />

(<br />

Vervolgens vermenigvuldigen we beide leden van (1.32) met exp<br />

)<br />

, een vorm gesuggereerd<br />

door (1.31)<br />

( dv0 (t)<br />

+ R ) ( t<br />

dt L v 0 (t) exp<br />

L/R<br />

(<br />

We kunnen de linkse term schrijven als d exp<br />

dt<br />

t<br />

L/R<br />

)<br />

= R ( t<br />

L v (t) exp L/R<br />

(<br />

t<br />

L/R<br />

) )<br />

v 0 (t) en (1.33) wordt<br />

)<br />

. (3.33)<br />

( ( ) )<br />

d t<br />

exp v 0 (t) = R ( ) t<br />

dt L/R<br />

L v (t) exp . (3.34)<br />

L/R<br />

Integreren van beide leden van 0 tot t geeft<br />

( )<br />

t t<br />

exp v 0 (t)<br />

L/R ∣ = R<br />

0<br />

L<br />

∫ t<br />

0<br />

( ) τ<br />

v (τ) exp dτ (3.35)<br />

L/R


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 59<br />

of<br />

( ) t<br />

exp v 0 (t) − v 0 (0) = R L/R<br />

L<br />

Dit resultaat kan geschreven worden als<br />

(<br />

v 0 (t) = v 0 (0) exp −<br />

t )<br />

+ R (<br />

L exp −<br />

} {{<br />

L/R<br />

}<br />

v ozi (t)<br />

∫ t<br />

0<br />

( ) τ<br />

v (τ) exp dτ. (3.36)<br />

L/R<br />

t ) ∫ t<br />

( τ<br />

v (τ) exp<br />

L/R 0<br />

} {{ }<br />

v osi (t)<br />

)<br />

dτ. (3.37)<br />

L/R<br />

Stel dat bij t = 0, de initiële spanning v o (0) = 2 [V ] en de verhouding L = 1. Onder<br />

R<br />

deze condities, de uitgangsspanning voor een eenheidstap ingang v (t) = u (t) is<br />

v 0 (t) = 2 exp (−t) + exp (−t)<br />

Standaard methode<br />

= 2 exp (−t)<br />

} {{ }<br />

Zero-ingang antwoord<br />

∫ t<br />

0<br />

exp (τ) dτ<br />

+ (1 − exp (−t))<br />

} {{ }<br />

zero-toes tan d antwoord<br />

= exp (−t)<br />

} {{ }<br />

transient<br />

+ 1. }{{}<br />

steady state<br />

(3.38)<br />

De oplossing van (1.26) met de standaard methode geeft onmiddellijk de transient component<br />

en de steady state component. De eerste stap in deze procedure is de homogene<br />

oplossing vinden. Dat resultaat is reeds bepaald in (1.31). De volgende stap is<br />

het oplossen van de niet homogene vergelijking (1.32) voor de eenheidstap ingang. De<br />

vergelijking wordt<br />

dv 0 (t)<br />

+ R dt L v 0 (t) = R , t > 0. (3.39)<br />

L<br />

We veronderstellen een oplossing van de vorm v 0 (t) = B, waarbij B een onbekende<br />

constante is. Een constante wordt verondersteld omdat de ingang van het systeem een<br />

constante is. We substitueren de veronderstelde oplossing in (1.39) en we vinden B = 1.<br />

De complete oplossing is<br />

( )<br />

v 0 (t) = A exp −<br />

t<br />

L/R<br />

} {{ }<br />

homogene oplossing<br />

Voor de initiële conditie (t = 0), v 0 (0) = 2 en L R<br />

v 0 (t) =<br />

exp (−t)<br />

} {{ }<br />

transient component<br />

3.1.4 Hogere orde <strong>systemen</strong><br />

+ }{{} 1 . (3.40)<br />

particuliere oplossing<br />

= 1, (1.40) wordt<br />

+ }{{} 1 . (3.41)<br />

steady state component<br />

De oplossing van differentiaal vergelijkingen van hogere orde volgen dezelfe algemene<br />

strategie als voor de eerste orde differentiaal vergelijkingen. De algeme oplossing bestaat<br />

uit twee delen, namelijk, de homogene en de particuliere oplossing.<br />

Homogene lineaire differentiaal vergelijkingen met constante coefficienten hebben een<br />

oplossing van de vorm exp (λt), waarbij λ een wortel is van de karakteristieke vergelijking<br />

geassocieerd met de differentiaal vergelijking. Beschouw de tweede orde differentiaal<br />

vergelijking met reele coefficienten<br />

a 2<br />

d 2 y (t)<br />

dt 2<br />

+ a 1<br />

dy (t)<br />

dt<br />

+ a 0 y (t) = 0, a 2 ≠ 0. (3.42)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 60<br />

Veronderstel dat λ 1 en λ 2 de wortels zijn van de karakteristieke vergelijking<br />

a 2 Λ 2 + a 1 Λ + a 0 = 0 (3.43)<br />

waarbij de operator Λ = d . De algemene oplossing voor (1.42) is een van de volgende drie<br />

dt<br />

gevallen<br />

1. Wortels zijn reeël en verschillend (λ 1 , λ 2 ∈ R en λ 1 ≠ λ 2 ) .<br />

waarbij C 1 en C 2 willekeurige constanten zijn.<br />

y h (t) = C 1 exp (λt) + C 2 exp (λt) (3.44)<br />

2. Wortels zijn reeël en gelijk (λ 1 , λ 2 ∈ R en λ 1 = λ 2 = λ) .<br />

y h (t) = (C 1 + C 2 t) exp (λ 2 t) . (3.45)<br />

3. Complex toegevoegde wortels (λ 1 , λ 2 ∈ C en λ 1 , λ 2 = α ± jβ) .<br />

y h (t) = C 1 exp (αt) cos (βt) + C 2 exp (αt) sin (βt) . (3.46)<br />

Dit formaat van oplossingen kan worden toegepast voor elke orde differentiaal vergelijkingen.<br />

Voorbeeld 3.3 Beschouw het systeem voorgesteld in Figuur 1.11.<br />

Figuur 3.11: (a) Massa-veer systeem met demping; (b) Netwerkvoorstelling van het systeem<br />

De beweging van het massa element, welke bevestigd is aan een veer en een mechanische<br />

demper, wordt door de volgende vergelijking beschreven<br />

of<br />

−f (t) + f M (t) + f K (t) + f D (t) = 0 (3.47)<br />

∫<br />

dv (t)<br />

M + K<br />

dt<br />

v (t) dt + Dv (t) = f (t) . (3.48)<br />

De snelheid v (t) is gerelateerd aan de verplaatsing (afgelegde weg) y door dy = v (t) en<br />

dt<br />

(1.48) wordt geschreven als<br />

d 2 y (t)<br />

dt 2<br />

+ D M<br />

dy (t)<br />

dt<br />

+ K M y (t) = 1 f (t) (3.49)<br />

M


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 61<br />

waarbij M, D, K ∈ R + . Stel D = 2d en K = M M k2 en (1.49) in zijn homogene vorm wordt<br />

dan<br />

d 2 y (t) dy (t)<br />

+ 2d + k 2 y (t) = 0. (3.50)<br />

dt 2 dt<br />

De oplossing van de karakteristieke vergelijking Λ 2 + 2dΛ + b 2 = 0 heeft twee wortels<br />

λ 1 = −d + √ d 2 − k 2 , λ 2 = −d − √ d 2 − k 2 . (3.51)<br />

We onderscheiden de volgende drie gevallen in functie van de waarden d en k.<br />

1. k 2 > d 2 (or k > d) .<br />

De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt<br />

( (√ ) (√ ))<br />

y h (t) = exp (dt) C 1 cos d2 − k 2 t + C 2 sin d2 − k 2 t<br />

(3.52)<br />

waarbij C 1 en C 2 willekeurige constanten zijn. De oplossing beschrijft een dalende<br />

oscillatie rond het equilibriumpunt, het is gekend als het ondergedempte geval.<br />

2. k 2 = d 2 (or k = d) .<br />

De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt<br />

y h (t) = (C 1 + C 2 t) exp (−dt) . (3.53)<br />

In dit geval treden er geen oscillaties op. Alhoewel, met een kleine daling van de<br />

demping treden oscillaties op. Dit geval is gekend als kritische demping.<br />

3. k 2 < d 2 (or k < d) .<br />

De algemene oplossing van de homogene vergelijking, (1.50), wordt<br />

waarbij λ 1 , λ 2 ∈ R − .<br />

y h (t) = C 1 exp (λ 1 t) + C 2 exp (λ 2 t) (3.54)<br />

We gebruiken de methode van onbepaalde coëfficienten om de particuliere oplossing<br />

te vinden, de oplossing die afhankelijk is van de kracht f (t) . De niet-homogene vergelijking<br />

wordt gegeven door<br />

a 2<br />

d 2 y (t)<br />

dt 2<br />

+ a 1<br />

dy (t)<br />

dt<br />

+ a 0 y (t) = f (t) (3.55)<br />

waarbij de a i ’s constanten zijn en f (t) een lineaire combinatie is van functies. Tabel (1.1)<br />

is een hulp voor het vinden van particuliere oplossingen van differentiaal vergelijkingen.<br />

Het geeft de vorm van de veronderstelde oplossingen weer in functie van de ingangsfunctie.


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 62<br />

Ingang<br />

f (t) = a 0 + a 1 t + ... + a n t n<br />

f (t) = A exp (st)<br />

f (t) = A cos (t) + B sin (t)<br />

f (t) = A cos (αt) of B sin (βt)<br />

Veronderstelde oplossing<br />

f (t) = c 0 + c 1 t + ... + c n t n<br />

f (t) = B exp (st)<br />

f (t) = C 1 cos (t) + C 2 sin (t)<br />

f (t) = C 1 cos (αt) + C 2 sin (βt)<br />

Tabel 3.1: Particuliere oplossing.<br />

3.2 Convolutie voor continue LTI <strong>systemen</strong><br />

De impuls respons h (t) van een continu LTI systeem wordt gedefinieerd door<br />

waarbij T een operator is die het systeem voorsteld.<br />

h (t) = T [δ (t)] (3.56)<br />

Theorema 3.1 Gegeven een willekeurig ingangsignaal x (t), de respons y (t) van het lineair<br />

systeem kan uitgedrukt worden als<br />

Bewijs<br />

y (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

Een willekeurig signaal x (t) kan uitgedrukt worden als<br />

x (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) h (t − τ) dτ. (3.57)<br />

x (τ) δ (t − τ) dτ. (3.58)<br />

De respons y (t) van een lineair systeem kan uitgedrukt worden als<br />

[∫ ∞<br />

]<br />

y (t) = T [x (t)] = T x (τ) δ (t − τ) dτ<br />

−∞<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) T [δ (t − τ) dτ] . (3.59)<br />

Gebruik makend van (1.56) en steunend op het feit dat het systeem tijdsinvariant is<br />

krijgen we<br />

h (t − τ) = T [δ (t − τ)] . (3.60)<br />

Substitutie van (1.60) in (1.59) geeft<br />

y (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) h (t − τ) dτ. (3.61)<br />

Voorbeeld 3.4 Gegeven de deltafunctie δ(t) en een willekeurige functie f(t), bepaal de<br />

convolutie y(t) = f(t) ∗ δ(t).<br />

Oplossing<br />

Uit de definitie van convolutie volgt<br />

y(t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

f(τ)δ(t − τ) dτ = f(t) (3.62)<br />

In woorden, convolutie van een functie f(t) met δ(t) geeft de functie f(t). Dit wordt<br />

schematisch weergegeven in Figuur 1.12


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 63<br />

Figuur 3.12: Convolutie van f(t) met δ(t)<br />

Voorbeeld 3.5 Gegeven f(t) en g(t) met<br />

f(t) =<br />

Bepaal y(t) = f(t) ∗ g(t)<br />

Oplossing<br />

Uit de definitie van convolutie<br />

{ e −t , t ≥ 0<br />

0, t < 0<br />

g(t) =<br />

{ αe −t , t ≥ 0<br />

0, t < 0<br />

(3.63)<br />

Convolutie integraal<br />

y(t) =<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

∫ t<br />

0<br />

f(τ)g(t − τ) dτ<br />

e −τ αe −α(t−τ) dτ, t ≥ 0<br />

∫ t<br />

= αe −αt e τ(α−1) dτ, t ≥ 0<br />

=<br />

α<br />

α − 1<br />

0<br />

(<br />

e −t − e αt) , α ≠ 1, t ≥ 0 (3.64)<br />

Vergelijking (1.57) definieert de convolutie van twee continue tijdsignalen x (t) en h (t) ,<br />

voorgesteld door<br />

y (t) = x (t) ∗ h (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) h (t − τ) dτ. (3.65)<br />

De uitgang y (t) van een willekeurig continu LTI systeem is de convolutie van de<br />

ingang x (t) met het impulsantwoord h (t)van het systeem. Figuur 1.13 illustreert<br />

de definitie van de impuls respons h (t) en de relatie van vergelijking (1.65).<br />

Figuur 3.13: Continu LTI systeem


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 64<br />

Eigenschappen van de convolutie integraal<br />

De convolutie integraal bezit volgende eigenschappen:<br />

1. Commutatief<br />

2. Associatief<br />

x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t) . (3.66)<br />

(x (t) ∗ h 1 (t)) ∗ h 2 (t) = x (t) ∗ (h 1 (t) ∗ h 2 (t)) . (3.67)<br />

3. Distributief<br />

x (t) ∗ (h 1 (t) + h 2 (t)) = x (t) ∗ h 1 (t) + x (t) ∗ h 2 (t) . (3.68)<br />

4. Deltafunctie convolutie<br />

y (t) = x (t) ∗ δ (t) = x (t) . (3.69)<br />

5. Schaling<br />

Als y (t) = x (t) ∗ h (t) , dan<br />

( t<br />

|a| y<br />

a)<br />

( ( t t<br />

= x ∗ h . (3.70)<br />

a)<br />

a)<br />

6. Opschuiving invariantie<br />

Als y (t) = x (t) ∗ h (t) , dan<br />

y (t − t 0 ) = x (t − t 0 ) ∗ h (t)<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ − t 0 ) h (t − τ) dτ. (3.71)<br />

7. Afgeleide<br />

dx (t)<br />

dt<br />

= x (t) ∗<br />

dδ (t)<br />

. (3.72)<br />

dt<br />

Gebruikmakend van (1.66), vergelijking (1.65) kan als volgt worden geschreven<br />

y (t) = h (t) ∗ x (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

h (τ) x (t − τ) dτ. (3.73)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 65<br />

3.3 Grafische voorstelling van convolutie<br />

Gebaseerd op (1.65) stellen we vast dat de convolutie integraal operatie bestaat uit volgende<br />

4 stappen:<br />

1. Het impulsantwoord h (τ) wordt gespiegeld door de oorsprong om h (−τ) te verkrijgen<br />

en wordt dan verplaatst door t om h (t − τ) te vormen.<br />

2. Het signaal x (τ) en h (t − τ) worden met elkaar vermenigvuldigd, voor alle waarden<br />

van τ met t constant.<br />

3. Het product x (τ) h (t − τ) wordt geintegreerd over alle τ om een uitgangswaarde<br />

y (t) te bekomen.<br />

4. Stap 1 tot 3 worden herhaald zodat t varieert over −∞ tot ∞ om de ganse uitgang<br />

y (t) te bekomen.<br />

Deze ideeën worden grafisch weergegeven in Figuur 1.14<br />

Figuur 3.14: Grafische voorstelling van convolutie


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 66<br />

3.4 Generalisatie van convolutie voor continue LTI<br />

<strong>systemen</strong><br />

De grenzen van de convolutie-integraal zijn in het algemeen (−∞, +∞). In deze cursus<br />

worden enkel causale in- en uitgangen beschouwd. Als h(t) causaal is dan geldt h(t) =<br />

0, t < 0 en h(t−τ) = 0 voor τ > t. In dit geval is de bovengrens van de convolutie-integraal<br />

t. Als x(t) ook causaal is, kan de ondergrens van de convolutie-integraal vervangen worden<br />

door 0. Dus vergelijking (1.56) wordt voor causale x(t) en h(t) als volgt gedefinieerd<br />

y(t) = x(t) ∗ h(t)<br />

=<br />

∫ t<br />

Relatie tussen de staprespons en de impulsrespons<br />

0<br />

x(τ)h(t − τ) dτ (3.74)<br />

De staprespons van een lineair systeem, voorgesteld door ξ(t), wordt gedefinieerd als<br />

ξ(t) = T [u(t)] (3.75)<br />

waarbij u(t) de stapfunctie is en T is de operator die het systeem voorstelt.<br />

De staprespons ξ(t) kan worden verkregen door<br />

ξ(t) = u(t) ∗ h(t)<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

Omdat u(t) = 0 voor t < 0, wordt (1.76) geschreven als<br />

u(τ)h(t − τ) dτ. (3.76)<br />

ξ(t) =<br />

=<br />

∫ ∞<br />

0<br />

∫ t<br />

−∞<br />

h(t − τ) dτ<br />

h(τ) dτ (3.77)<br />

De staprespons voor een lineair systeem is de integraal van de impulsrespons.<br />

Men kan de staprespons ξ(t) gebruiken voor het karakteriseren van de ingang-uitgang<br />

relatie voor een lineair systeem. Beschouw de convolutie van een willekeurige ingang x(t)<br />

met de impulsrespons h(t), dat is<br />

y(t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x(τ)h(t − τ) dτ (3.78)<br />

Toepassen van partiële integratie op (1.78) en gebruikmakend van (1.77) krijgen we<br />

y(t) = x(τ)<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

h(t − τ) dτ −<br />

= −x(τ) [ξ(t − τ)] ∞ −∞ + ∫ ∞<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

dx(τ)<br />

dτ<br />

∫ ∞ ∫ ∞<br />

−∞<br />

−∞<br />

−∞<br />

dx(τ)<br />

dτ<br />

h(t − τ) dτ du(τ)<br />

dτ<br />

ξ(t − τ) dτ<br />

ξ(t − τ) dτ (3.79)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 67<br />

als x(t) en ξ(t) gelijk aan nul zijn bij t = −∞.<br />

De uitgang y(t) van een willekeurig continu LTI systeem is de convolutie van<br />

de staprespons ξ(t) met de afgeleide van de ingang dx(t)<br />

dt<br />

.<br />

Voorbeeld 3.6<br />

Door toepassing van de stroomwet van Kirchoff verkrijgen we<br />

Figuur 3.15: RC netwerk<br />

C dy(t)<br />

dt<br />

= 1 (x(t) − y(t))<br />

R<br />

x(t) = RC dy(t)<br />

dt<br />

Stel RC = 1 en voorgaande vergelijking wordt dan<br />

x(t) = dy(t)<br />

dt<br />

De staprespons wordt verkregen door het oplossen van<br />

+ y(t)<br />

+ y(t). (3.80)<br />

dq(t)<br />

dt<br />

+ ξ(t) =<br />

{ 1, t > 0<br />

0, t < 0<br />

(3.81)<br />

De oplossing is dan<br />

ξ(t) = (1 − e −t )u(t) (3.82)<br />

met randvoorwaarde ξ(0) = 0. De impulsrespons wordt gegeven door<br />

h(t) = dξ(t) = d (<br />

(1 − e −t )u(t) )<br />

dt dt<br />

= (1 − e −t )δ(t) + e −t u(t)<br />

= e −t u(t) (3.83)<br />

Voorbeeld 3.7 Bepaal de uitgang van de RC kring, zie Figuur 1.15, met ingang<br />

{ Ae<br />

x(t) =<br />

−t , t > 0, β ∈ R<br />

0, t < 0<br />

(3.84)<br />

Oplossing<br />

De convolutie-integraal, gebruikmakend van vergelijking 1.83, kan geschreven worden als


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 68<br />

volgt<br />

y(t) =<br />

∫ t<br />

0<br />

= Ae−t<br />

=<br />

Ae −βτ e −(t−τ) dτ, t > 0<br />

[ ] e<br />

−τ(β−1) t<br />

1 − β<br />

0<br />

A (<br />

e −tβ − e −t) u(t),<br />

1 − β<br />

t > 0 (3.85)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 69<br />

3.5 Convolutie en Matlab<br />

3.5.1 Matlab syntax<br />

Syntax<br />

w = conv(u, v)<br />

Description<br />

w = conv(u, v) convolves vectors u and v. Algebraically, convolution is the same<br />

operation as multiplying the polynomials whose coefficients are the<br />

elements of u and v.<br />

Definition<br />

Let m = length(u) and n = length(v). Then w is the vector of length m+n−1 whose<br />

kth element is<br />

w (k) = ∑ u (j) v (k = 1 − J) . (3.86)<br />

j<br />

The sum is over all the values of j which lead to legal subscripts for u(j) and v(k + 1 − j),<br />

specifically j = max(1, k + 1 − n) : min(k, m).<br />

3.5.2 Voorbeelden<br />

Als eerste voorbeeld van convolutie beschouwen we de signalen voorgesteld in Figuur 1.16.<br />

Figuur 3.16:<br />

De resulterende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.17). Het volgende<br />

Matlab programma implementeert de concolutie van beide signalen


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 70<br />

Algoritme 3.1 Convolutie van twee signalen.<br />

step = 0.005; t = -2:step:4; n = length(t); n_c<br />

=[2*t(1):step:2*t(n)];<br />

x=2*step_function(t+1)-2*step_function(t)-2*step_function(t)+2*step_function(t-1);<br />

h = 0.5*ramp_function(t).*step_function(2-t); y = step*conv(x,h);<br />

subplot(3,1,1)<br />

plot(t,x)<br />

axis([-2 5 -3 3])<br />

xlabel(’t’)<br />

ylabel(’s(t)’)<br />

subplot(3,1,2)<br />

plot(t,h)<br />

axis([-2 5 -1 3])<br />

xlabel(’t’)<br />

ylabel(’h(t)’)<br />

subplot(3,1,3)<br />

plot(n_c,y)<br />

axis([t(1) t(n) -3 3])<br />

xlabel(’t’)<br />

ylabel(’y(t)’)<br />

2<br />

s(t)<br />

0<br />

−2<br />

−2 −1 0 1 2 3 4 5<br />

t<br />

3<br />

2<br />

h(t)<br />

1<br />

0<br />

−1<br />

−2 −1 0 1 2 3 4 5<br />

t<br />

2<br />

y(t)<br />

0<br />

−2<br />

−2 −1 0 1 2 3 4<br />

t<br />

Figuur 3.17: Matlab resultaat voorbeeld 1


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 71<br />

Beschouw de volgende signalen x (t) = u(t)−2u(t−1)+u(t−2) en h(t) = u(t)−u(t−1)<br />

in voorbeeld 2. De resulterende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.18). Als<br />

2<br />

s(t)<br />

0<br />

−2<br />

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />

t<br />

3<br />

2<br />

h(t)<br />

1<br />

0<br />

−1<br />

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />

t<br />

2<br />

y(t)<br />

0<br />

−2<br />

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />

t<br />

Figuur 3.18: Matlab resultaat voorbeeld 2<br />

De resul-<br />

laatste voorbeeld, gegeven x (t) = exp (at) u (−t) en h (t) = exp (−at) u (t).<br />

terende plot van x (t) ∗ h(t) wordt getoond in Figuur (1.19).<br />

4<br />

s(t)<br />

2<br />

0<br />

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5<br />

t<br />

4<br />

h(t)<br />

2<br />

0<br />

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5<br />

t<br />

10<br />

y(t)<br />

5<br />

0<br />

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4<br />

t<br />

Figuur 3.19: Matlab resultaat voorbeeld 3


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 72<br />

3.6 Oefeningen<br />

Oefening 3.1 Gegeven een continu systeem (Figuur 1.20). Schrijf een differentiaal vergelijking<br />

in functie van ingang en uitgang.<br />

Figuur 3.20:<br />

Oplossing: De ingang van de integrator wordt voorgesteld door e (t) en de ingang-uitgang<br />

relatie van de integrator wordt gegeven door<br />

y (t) =<br />

∫ t<br />

−∞<br />

e (τ) dτ. (3.87)<br />

Afleiden van (1.87) naar t geeft<br />

dy (t)<br />

= e (t) . (3.88)<br />

dt<br />

De ingang van de integrator (zie Figuur 1.20) wordt gegeven door<br />

Substitutie van (1.89) in (1.88) geeft<br />

e (t) = x (t) − ay (t) . (3.89)<br />

dy (t)<br />

dt<br />

+ ay (t) = x (t) , (3.90)<br />

welke de gevraagde eerste-orde lineaire differentiaal vergelijking is.<br />

Oefening 3.2 Toon aan dat x (t) ∗ u (t) = ∫ t<br />

x (τ) dτ<br />

−∞<br />

Oplossing<br />

Per definitie<br />

x (t) ∗ u (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

De verschoven stapfunctie wordt voorgesteld als<br />

x (τ) u (t − τ) dτ. (3.91)<br />

u (t − τ) =<br />

{ 1 als t > τ<br />

0 als t < τ<br />

(3.92)<br />

Door (1.92) wordt (1.91)<br />

x (t) ∗ u (t) =<br />

∫ t<br />

−∞<br />

x (τ) dτ.


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 73<br />

Oefening 3.3 Bepaal y (t) = x (t) ∗ h (t), waarbij x (t) en h (t) voorgesteld worden in<br />

Figuur 1.21<br />

Figuur 3.21:<br />

Oplossing<br />

Eerst drukken we x (t) en h (t) uit in functionele vorm<br />

x (t) = u (t) − u (t − 3) , h (t) = u (t) − u (t − 2)<br />

Door toepassing van (1.65)<br />

y (t) = x (t) ∗ h (t) =<br />

=<br />

=<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

∫ ∞<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) h (t − τ) dτ<br />

[u (τ) − u (τ − 3)] [u (t − τ) − u (t − τ − 2)] dτ<br />

u (τ) u (t − τ) dτ −<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

∫ ∞<br />

u (τ) u (t − τ − 2) dτ<br />

− u (τ − 3) u (t − τ) dτ + u (τ − 3) u (t − τ − 2) dτ. (3.93)<br />

−∞<br />

−∞<br />

Met<br />

{ 1 0 < τ < t, t > 0<br />

u (τ) u (t − τ) =<br />

0 anders<br />

{ 1 0 < τ < t − 2, t > 2<br />

u (τ) u (t − τ − 2) =<br />

0 anders<br />

{ 1 3 < τ < t, t > 3<br />

u (τ − 3) u (t − τ) =<br />

0 anders<br />

{ 1 3 < τ < t − 2, t > 5<br />

u (τ − 3) u (t − τ − 2) =<br />

0 anders<br />

kunnen we y (t) uitdrukken als volgt<br />

y (t) =<br />

+<br />

∫ t<br />

0<br />

∫ t−2<br />

3<br />

u (t) dτ −<br />

∫ t−2<br />

u (τ − 5) dτ<br />

u (τ − 2) dτ −<br />

∫ t<br />

0<br />

3<br />

u (τ − 3) dτ<br />

= tu (t) − (t − 2) u (t − 2) − (t − 3)u (t − 3) + (t − 5)u (t − 5) (3.94)


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 74<br />

welke is grafisch weergegeven in Figuur 1.22.<br />

Figuur 3.22:<br />

Functies h (τ) , h (t − τ) en x (τ) h (t − τ) voor verschillende waarden van t zijn getekend<br />

in Figuur 1.23.


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 75<br />

Figuur 3.23:


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 76<br />

Uit Figuur 1.23 , x (τ) en h (t − τ) overlappen niet voor t < 0 en t > 5, daardoor is<br />

y (t) = 0 voor t < 0 en t > 5. Voor de andere intervals, x (τ) en h (t − τ) overlappen.<br />

Daaruit volgt dat de oppervlakte onder de rechthoekige pulsen voor deze intervals bepaald<br />

worden door<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

y (t) =<br />

welke is voorgesteld in Figuur 1.24.<br />

⎪⎩<br />

0 t < 0<br />

t 0 < t ≤ 2<br />

2 2 < t ≤ 3<br />

5 − t 3 < t ≤ 5<br />

0 5 < t<br />

(3.95)<br />

Figuur 3.24:


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 77<br />

Oefening 3.4 De ingang x (t) en de impuls respons van een continu LTI systeem zijn<br />

gegeven door<br />

x (t) = u (t) h (t) = exp (−αt) u (t) , α > 0<br />

(a) Bepaal de uitgang y (t) met vergelijking (1.65).<br />

(b) Bepaal de uitgang y (t) met vergelijking (1.73).<br />

Oplossing:<br />

(a) Via vergelijking (1.65)<br />

y (t) = x (t) ∗ h (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

x (τ) h (t − τ) dτ.<br />

De functies x (τ) en h (t − τ) worden weergegeven in Figuur 1.25 voor t < 0 en t > 0.<br />

Figuur 3.25:<br />

Uit Figuur 1.25 volgt dat voor t < 0, x (τ) en h (t − τ) overlappen elkaar niet, terwijl<br />

voor t > 0 de signalen overlappen van τ = 0 tot τ = t. Dus voor t < 0, y (t) = 0. Maar<br />

voor t > 0 hebben we<br />

y (t) =<br />

∫ t<br />

0<br />

exp (−α (t − τ)) dτ = exp (−αt)<br />

∫ t<br />

0<br />

exp (ατ) dτ<br />

= exp (−αt) 1 α (exp (αt)) = 1 (1 − exp (−αt)) .<br />

α


HOOFDSTUK 3. LINEAIRE CONTINUE TIJDSINVARIANTE SYSTEMEN 78<br />

De uitgang y (t) kan geschreven worden als<br />

(b) Via vergelijking (1.73)<br />

y (t) = 1 (1 − exp (−αt)) u (t) (3.96)<br />

α<br />

y (t) = h (t) ∗ x (t) =<br />

∫ ∞<br />

−∞<br />

h (τ) x (t − τ) dτ<br />

De functies h (τ) en x (t − τ) worden weergegeven in Figuur (blz 69, schaum) voor<br />

t < 0 en t > 0. Uit de Figuur vogt dat voor t < 0, h (τ) en x (t − τ) overlappen elkaar<br />

niet, terwijl voor t > 0 de signalen overlappen van τ = 0 tot τ = t. Dus voor t < 0,<br />

y (t) = 0. Maar voor t > 0 hebben we<br />

y (t) =<br />

∫ t<br />

De uitgang y (t) kan geschreven worden als<br />

0<br />

exp (−ατ) dτ<br />

= 1 (1 − exp (−αt))<br />

α<br />

welke hetzelfde is als (1.96).<br />

y (t) = 1 (1 − exp (−αt)) u (t) (3.97)<br />

α

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!