Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuur - industrieel ingenieur

Oefeningen Elektriciteit I – Deel IaDit document bevat opgaven die aansluiten bij de cursustekst “Elektriciteit I – deel Ia” uit hetjaarprogramma van de 1 e kandidatuur Industrieel Ingenieur – KaHo Sint-Lieven.1. Elektrische afstandswerking in vacuüm.Elektrische krachtwerking[Referentie: “Elektriciteit – Deel Ia” paragraaf 1.2.]1.1 Twee gelijke positieve ladingen q 1 en q 2 (q 1 =q 2 =+Q) bevinden zich in de hoekpunten P 1 en P 2 vaneen gelijkzijdige driehoek met zijde a (zie figuur 1.1)Bepaal de waarde van de lading q 3 die in het derde hoekpunt P 3moet ondergebracht worden opdat de kracht F r 3 die deze ladingondervindt precies even groot zou zijn als de kracht waarmeede beide ladingen q 1 en q 2 elkaar afstoten.[oplossing:Qq 3 = ± ]3P 2q 2aaP 1q a1q P 33figuur 1.11.2 Twee gelijke positieve ladingen q 1 en q 3 (q 1 =q 3 =Q) zijnverankerd in de overstaande hoekpunten P 1 en P 3 van eenvierkant met zijde z (zie figuur 1.2). In de beide anderehoekpunten bevinden zich eveneens twee gelijke ladingen q 2 enq 4 (q 2 =q 4 =q) waarvan de algebraïsche waarde onbekend is.Bepaal de waarde die deze onbekende ladingen moetenaannemen opdat de krachten op q 1 en q 3 nul zouden zijn.[oplossing:Q 2q = − ]4q 2 z q 3P 2zzq 4P 1 P 4q 1zfiguur 1.2P 31.3 We beschouwen een vierkant met zijde z = 10 cm. In deuiteinden van de zijde P 1 P 2 zijn gelijke positieve ladingen verankerd (q 1 = q 2 = +2µC) (ziefiguur 1.2). In de uiteinden van de tegenoverliggende zijde bevinden zich gelijke negatieveladingen (q 3 = q 4 = -4µC).Bepaal de kracht F r die inwerkt op de lading q = +1µC die op het snijpunt van de diagonalen vanhet vierkant geplaatst is.r r[oplossing: F = 15,27 N e ]xOpg_Elek1_H1.doc

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische krachtwerking1.4 Twee ladingen q 1 = +10 µC en q 2 = -40 µC zijn 25 cm van elkaar verwijderd.Bepaal de ligging van het punt P waar de krachtwerking van q 1 op een testlading q preciesgecompenseerd wordt door de krachtwerking die van q 2 uitgaat.[oplossing: Mits de oorsprong te situeren ter hoogte van q 1 en de x-as te richten naar q 2 , heeft P alscoördinaten (-25 cm;0 cm).]1.5 Twee identieke geleidende bolletjes zijn zo geladen dat ze elkaar aantrekken met een kracht van0,108 N als ze een halve meter van elkaar verwijderd zijn. Men verbindt deze bolletjeskortstondig met elkaar om vast te stellen dat ze elkaar nadien afstoten met een kracht van0,036 N. Hun positie blijft hierbij ongewijzigd.Wat kan men hieruit besluiten betreffende de oorspronkelijke lading van de beide bolletjes?[oplossing: Er zijn twee oplossingen: het ene bolletje draagt +1 µC en het andere -3 µC of het ene bolletjedraagt -1 µC en het andere +3 µC.]1.6 Twee identieke bolletjes met massa m hangen aan tweegeleidende draadjes met lengte L die in hetzelfde punt P zijnvastgemaakt. Ze dragen identieke ladingen +Q.Men stelt vast dat de ladingen in evenwicht blijven hangen op eenonderlinge afstand d die veel kleiner is dan de lengte van dedraadjes. Dit is voorgesteld in figuur 1.3.Toon aan dat in deze omstandigheden de afstand d tussen debolletjes gegeven wordt door:LPd2Q L= 3(1.1)2πε 0 mgq,mq,m[Tip: Vermits d

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische krachtwerking1.9 De ladingen q 1 = +10 µC, q 2 = +20 µC enq 3 = -15 µC bevinden zich in de positiesweergegeven in figuur 1.4.De assen zijn geijkt in cm.Bepaal de kracht F r 4 (in grootte, richting en zin) dieaangrijpt op de lading q 4 =+10 µC die zich in hetpunt P 4 met coördinaten (3,4) bevindt.rr r[oplossing: F4 = 2254,6 N ex− 589,2 N ey= 2330 N−14,64°][cm]4321yq 2q 4P 2q 3PP 34x1.10 De ladingen q 1 = +3 µC en q 2 = -4 µC bevindenzich in de punten P 1 en P 2 van het Oxy-vlak metrespectieve coördinaten (3,5 cm; 0,5 cm) en(-2 cm; 1,5 cm).P 1=Oq 112figuur 1.434[cm][cm]yP 2figuur 1.5q 2-2,1,5-3,00,5q 1P 10 -1,0 O 1,0 2,0 3,0 [cm]xa. Bepaal de grootte en de oriëntatie van de kracht op q 2 .b. Waar moet men een derde lading q 3 = 4 µC onderbrengen opdat de resulterende kracht op q 2nul zou zijn?[oplossing: a. F r = 34,56 N ; θ = -10,30°]121.11 De ladingen q 1 = -1 µC, q 1 = +3 µC en q 3 = -2 µC zijn verankerd in de punten P 1 =O, P 2 en P 3 vanhet Oxy-vlak zoals aangeduid in figuur 1.6. De assen zijn geijkt in cm.3

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische veldsterkteBepaal de grootte en de oriëntatie van de kracht op q 1 .[cm]yP 2(10,120°)10q 255120°q 1q 3P 3x-5O P 110 15[cm]figuur 1.6r r r[oplossing: F = 2,1Ne −1,559 N = 2,615 N−36, 59°]1 x eyElektrische veldsterkte[Referentie: “Elektriciteit – Deel Ia” paragraaf 1.3 tot en met paragraaf 1.8.]1.12 Hoe groot moet een puntlading zijn opdat het elektrisch veld dat ze opbouwt op 52 cm afstandeen intensiteit zou hebben van 2,2 N/C?[oplossing: Q = 66,10.10 -12 C ]1.13 Twee gelijke, tegengestelde ladingen van 2.10 -7 C zijn 15 cm van elkaar verwijderd.a. Bepaal de grootte en de oriëntatie van het elektrisch veld in het midden M van hunverbindingslijn.b. Bepaal de kracht F r e die een elektron in dat punt ondervindt.[oplossing: a. E = 6,40.10 5 N/C - b.−13F r = 1,024.10 N ]e1.14 Twee ladingen q 1 =+5Q en q 2 =+2Q zijn verankerd in de punten P 1 =O en P 2 die onderling eenafstand d insluiten.(zie figuur 1.7)q1=+5Qq2=+2QOP 10 d xfiguur 1.7a. Bepaal de punten op deze lijn waar de veldsterkte nul wordt indien d = 0,5 m.4

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische veldsterkteb. Bepaal het verloop van de veldsterkte E r(x)en q 2 = +2µC.[oplossing: a. In het punt P met x=31 cm.]langsheen de x-as indien d = 0,5 m, q 1 = +5µC1.15 In de uiteinden A en C van de schuine zijde vaneen gelijkbenige rechthoekige driehoek ABCbevinden zich de ladingen q 1 = +15µC en q 2 = -15µC zoals aangeduid in figuur 1.8.BBepaal de elektrische veldsterkte E r B in hethoekpunt B waar de rechthoekzijden samenkomenals de lengte L van de schuine zijde 20 cmbedraagt.AC[oplossing: Mits de oorsprong in A te kiezen en de x-aste richten van A naar C, is6E r = −9,55.10N C ]Bfiguur 1.81.16 Beschouw de ladingsverdeling weergegevenin figuur 1.9.[cm]yBepaal de veldsterkte E r in puntP (40 cm, 30 cm).[oplossing: E = 2,66.10 6 N/C; -41,95°]40q 1= +30 µCP1.17 In drie hoekpunten A, B, en C van eenrechthoek ABCD met lengte 5 cm enbreedte 12 cm zijn identieke negatieveladingen q 1 = q 2 = q 3 = -8 µC verankerd.(Zie figuur 1.10)a. Bepaal de grootte en de oriëntatievan de elektrische veldsterkte E rDin het hoekpunt D.b. Men brengt in het hoekpunt D eenvierde lading q 4 = -8 µC aan.Bepaal de kracht F r 4 die deze ladingondervindt.c. Bepaal de veldsterkte in elk van demiddens van de vier zijden van dezerechthoek (indien de vier ladingenaangebracht zijn).[oplossing: a. E D = 31,72.10 6 N/C;106,35°b. F 4 = 253,79.10 6 N; -73,65°]20q 1q 2= -20 µC xO 20 40 [cm]figuur 1.9BCADfiguur 1.105

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische veldsterkte1.18 Een elektrische dipool bestaat uit twee ladingenvan ±12 µC die 7 cm van elkaar verwijderdzijn.Bepaal de grootte en de oriëntatie van deelektrische veldsterkte E r P in het punt P.(figuur 1.11)[oplossing: E=5,31.10 5 N/C 24,07°]P1.19 In de punten P 1 (2 cm,-2 cm) en P 2 (-3 cm,3 cm)(zie figuur 1.12) bevinden zich de ladingenq 1 = -5µC en q 2 = +10µC.a. Bepaal de lading q 3 die men in een punt P 3(1 cm,1 cm) moet aanbrengen opdat develdsterkte in de oorsprong volgens de x-aszou georiënteerd zijn.b. Hoe groot is de veldsterkte in de oorsprongin deze situatie?[oplossing: a. q 3 =-2,36 µC – b. E=15,08.10 7 N/C]P 2q 2 = +10 µC[cm]y321q 32-3-2-1Ox1 [cm]figuur 1.11P 1q 1= -5 µCfiguur 1.121.20 Twee puntladingen q 1 = +1µCen q 1 = +3µC bevinden zichrespectievelijk in de oorsprongen in het punt P van de x-as metabscis d=0,1 m. (Ziefiguur 1.13)Bepaal het verloop van derveldsterkte E (x)langsheen dex-as.q 1 =+1µC q 2 =+3µCO0Pd=0,1[m] xfiguur 1.136

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische potentiaal1.21 Een ∞-dunne niet geleidende staaf met lengte L draagt een totale lading +Q die homogeenverdeeld is over haar lengte. (Zie figuur 1.14)-L/2O+L/2xfiguur 1.14a. Bepaal de elektrische veldsterkte E rP in een punt P gelegen in het verlengde van de staaf opeen afstand a van het midden O van de staaf.b. Welke gedaante hoort deze wetmatigheid aan te nemen indien aL ? – Controleer of ditklopt.[oplossing:r 1 Q rE P ( a)=ex]4πε0⎛ L ⎞ ⎛ L ⎞⎜a+ ⎟.⎜a− ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠Elektrische potentiaal[Referentie: “Elektriciteit – Deel Ia” paragraaf 1.10.]Tenzij anders vermeld wordt verondersteld dat de potentiaal op ∞ nul gekozen wordt.1.22 Bepaal de elektrische potentiaal V M in het punt M beschreven in oefening 1.13.[oplossing: 0 V]1.23 Bepaal de elektrische potentiaal V C in het punt C beschreven in oefening 1.15.[oplossing: 0 V]1.24 Beschouw de ladingsverdeling weergegeven in figuur 1.9 bij oefening 1.16.Bepaal de potentiaal V P in punt P (40 cm, 30 cm).[oplossing: 255 kV]1.25 Bepaal de elektrische potentiaal V in het punt D en in de middens van de rechthoekzijdenbeschreven in oefening 1.17. (Zie figuur 1.10)[oplossing: a. V D =2,594 MV – b. ]1.26 Bepaal de elektrische potentiaal V in het punt P beschreven in oefening 1.18.[oplossing: ]1.27 Bepaal de lading q 3 zodat in de situatie beschreven in oefening 1.19 de potentiaal in de oorsprongnul is.7

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische potentiaal[oplossing: q 3 =-0,83 µC]1.28 Bepaal voor de situatie weergegeven in oefening 1.20 het verloop van de potentiaal V(x)langsheen de x-as.1.29 De punten A en B liggen even ver van het midden O, tussen de ladingen +Q en –Q van eenelektrische dipool zoals aangegeven in figuur 1.15. De afstand tussen A en B is d (

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische potentiaalyhhP 1OP 2-L/2P 3figuur 1.17Q,L+L/2axa. Bereken de elektrostatische potentiaal in een punt P 1 gelegen op de middelloodlijn van destaaf op een afstand h van het middelpunt O.b. Bereken de elektrostatische potentiaal in een punt P 2 gelegen in het verlengde van de staaf.c. Bereken de elektrostatische potentiaal in een punt P 3 gelegen op een afstand h van de staaf inhet loodvlak door een uiteinde.[oplossing: a.⎛⎜Q⎜= ln⎜2πε0L⎜⎜⎝h2⎛ L ⎞+ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠h2⎞⎛ L ⎞ ⎟+ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠⎟⎟⎟⎟⎠V - b. V ( a )⎛ 2 2Q⎞c.⎜ h + L + LV = ln⎟]4πε L ⎜ h ⎟0⎝⎠⎛ ⎛ L ⎞ ⎞⎜ a + ⎜ ⎟ ⎟Q ⎜ ⎝ 2= ln⎠ ⎟4πε ⎜ ⎛ ⎞ ⎟0 L L⎜ a − ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠1.34 Drie niet-geleidende, dunne staven met lengte L vallen samen met dezijden van een driehoek. (Zie figuur 1.18)Over twee van de staven is telkens de lading +Q homogeen verdeeld,over de derde -Q. Q QZBepaal de elektrostatische potentiaal in het zwaartepunt van dedriehoek.10 Q[oplossing: V = 2,37⋅10]L1.35 Drie niet-geleidende, dunne staven met lengte L vallen samen met dezijden van een vierkant. Over elke staaf is de lading +Q homogeenverdeeld. (Zie figuur 1.19.)-Qfiguur 1.189

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische potentiaala. Bepaal de potentiaal V P in een punt P gelegen in het verlengdevan de ingesloten zijde op een afstand L van het uiteinde.Pb. Bepaal de potentiaal V M in het midden M van de open zijde.10 Q10 Q[oplossing: a. V P = 1,85⋅10- b. V M = 3,46⋅10]LL1.36 Twee homogeen geladen, niet-geleidende, dunne staven met lengteL vormen een symmetrisch kruis. De lading op de ene is +Q, die opde andere –Q. (Zie figuur 1.20.)Bepaal de potentiaal V P in een punt P gelegen in het verlengde vande positieve staaf op een afstand L van het centrum.QQMQPQfiguur 1.19-Qfiguur 1.20[oplossing:10 QV P = 1,23⋅10]L1.37 De lading +Q is homogeen verdeeld over het oppervlak van een centraal doorboordecirkelvormige schijf met binnenstraal R 1 en buitenstraal R 2 .PhQfiguur 1.21Bepaal de potentiaal V in een punt van de symmetrieas van de schijf op een hoogte h boven deschijf.Q[oplossing:⎡ 2 2 2 2V =R + − +⎤2 2 2 h R1h ]2πε( R − R ) ⎢⎣⎥⎦02110

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Elektrische potentiaal1.38 Gedurende het opladingsproces van een 12 V-batterij verplaatst een elektrische generator +2.10 5 Cvan de negatieve naar de positieve klem van de batterij.Hoeveel arbeid verricht het apparaat?[oplossing: W=2,4 MJ]1.39 De ladingen q 1 = +5µC en q 2 = 2µC liggen respectievelijk op de x-as (abscis x 1 = 4cm) en op dey-as (ordinaat y 2 = 1cm).Bereken de arbeid die men moet verrichten om een bolletje dat een lading van +1µC bevat teverplaatsen van de oorsprong naar het punt P waarvan de ligging is bepaald door de coördinaten(12cm, 15cm).[oplossing: W=0,85 J]1.40 Voor een dunne, niet-geleidende, geladen staaf met lengte L werd in oefening 1.33 de potentiaalberekend in enkele bijzondere punten. Neem deze resultaten als uitgangspunt voor de berekeningvan de elektrische veldsterkte E r (zie figuur 1.17):a. in een punt P 1 op de middelloodlijn van de staaf op een afstand h van het middelpunt O.b. in een punt P 2 gelegen in het verlengde van de staaf.r14πε[oplossing: a. E( h) = ey– b. E( a)0hh2Q⎛ L ⎞+ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠2rr1= 4 πε0aQre ]( a + L) x1.41 In oefening 1.37 werd de potentiaal berekend in een punt van de symmetrieas van een doorboordecirkelvormige schijf.Leid uit het bekomen resultaat de veldsterkte af in dat punt.[oplossing: ( h)r⎡⎤Qh ⎢ 1 1 rE =− ⎥ey]2 22πε0( R2− R1) ⎢ 2 2 2 2R1h R2h⎥⎣ + + ⎦1.42 In een bepaald gebied van de ruimte vertoont de elektrostatische potentiaal deplaatsafhankelijkheid uitgedrukt door volgende functie:2 +V ( x,y,z)= x 2xy(1.2)Bepaal de elektrische veldsterkte in het punt P met coördinaten x = 2 en y = 2.[Assen geijkt in m.]rV r V r r= x y z ]m m[oplossing: E( x, y,z) −8e − 4 e ( + 0e)1.43 In een bepaald gebied van de ruimte vertoont de elektrostatische potentiaal deplaatsafhankelijkheid uitgedrukt door volgende functie:axV ( x,y,z)= (1.3)2 2x + y(hierbij stelt a is een constante voor).11

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Beweging van een vrije puntlading in een elektrisch veldLeid hieruit de elektrische veldsterkte E r( x,y,z)af in een willekeurig punt van dat gebied.r2 2a[oplossing: ( )( x − y ) r 2axyE x,y,zex+2 2 2 2 2( x + y ) ( x + y )r r= e ]2y( + 0e)z1.44 In de ruimte tussen twee vlakke platen die 2 cm van elkaar verwijderd zijn, stijgt deelektrostatische potentiaal lineair met 100V.Bepaal de veldsterkte E r in een willekeurig punt tussen de platen.[oplossing: 5 kV/m]Beweging van een vrije puntlading in een elektrisch veld[Referentie: “Elektriciteit – Deel Ia” paragraaf 1.11.]1.45 Een elektron bevindt zich in een homogeen elektrisch veld van 10 6 N/C.a. Hoe groot is de versnelling a die dat elektron krijgt ?b. Hoeveel tijd heeft dat elektron nodig om, vertrekkend uit rust, een snelheid van 0,1 c teverwerven?[oplossing: a. a = 1,76.10 17 m/s 2 – b. 1,70.10 -10 s]1.46 Een elektron wordt met een snelheid van 5.10 6 m/s in een homogeen elektrisch veld van1.10 3 N/C geschoten; de bewegingsrichting en –zin vallen samen met de oriëntatie van develdlijnen.a. Hoever dringt het elektron door in het veld alvorens tot rust te komen?b. Hoeveel tijd verloopt er daarbij?c. Hoeveel kinetische energie heeft het elektron verloren als het 0,8 m in het veld isdoorgedrongen?[oplossing: a. 7,12 cm – b. 2,85.10 -8 s – c. 1,28.10 -18 J]1.47 Tussen twee horizontale platen die10 cm lang zijn en die 2 cm vanelkaar verwijderd zijn heerst eenhomogeen, opwaarts gericht,elektrisch veld van 2.10 3 N/C. (Dedwarsdoorsnede van de opstelling isvoorgesteld in figuur 1.22.)Vanuit punt O (de linkerbenedenhoek) vertrekt een elektron6met een snelheid v 0 = 6.10 m/sonder een hoek van 45° met de x-as.yO→v 0E →xZal dat elektron tegen één van deplaten botsen en zo ja, waar?figuur 1.22[oplossing: Het elektron botst tegen debovenste plaat op 2,72 cm van de linkerrand.]12

Oefeningen Elektriciteit 1e kandidatuurElektrische afstandswerking in vacuüm. - Energie opgestapeld in een elektrisch veldEnergie opgestapeld in een elektrisch veld[Referentie: “Elektriciteit – Deel Ia” paragraaf 1.12.]1.48 In de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek, met zijde z = 10 cm, zijn identieke positieveladingen van 2 µC verankerd.Bereken de energie die in dit stelsel opgestapeld is.[oplossing: U=1,08 J]1.49 In drie van de vier hoekpunten van een vierkant, met zijde z = 5 cm, zijn identieke ladingen van-3 µC verankerd. In het vierde hoekpunt is een lading van 1 µC geplaatst.Bereken de energie die in dit stelsel is opgestapeld.[oplossing: U=2,93 J]1.50 De ladingen q 1 = +3µC en q 2 = -4µC liggen respectievelijk in de punten met coördinaten (3,5 cm;0,5 cm) en (-2 cm; 1,5 cm).Bereken de arbeid die men moet verrichten om dit stelsel op te bouwen.[oplossing: W=-1,93 J]13