ALGEBRA Hoofdstuk 2 : Matrixalgebra Lineaire stelsels

ALGEBRAHoofdstuk 2 :MatrixalgebraLineaire stelselsPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 1/23

Definitie van een matrixm × n–matrix = rechthoekig schema van getallenmet m rijen en n kolommen⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = ⎜⎟⎝ . . . ⎠a m1 a m2 . . . a mnkorte notatie : (a ij ) of [a ij ]als m = n : vierkante matrixPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 2/23

Invoering van matricesArthur Cayley1821–1895Memoir on the theoryof matrices (1858)Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 3/23

Invoering van matricesJames J. Sylvester1814–1897Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 4/23

Getransponeerde matrixgetransponeerde :is A = (a ij ) dan is A t = (a ji )(rijen en kolommen omwisselen)• A is symmetrisch als A t = A• A is anti–symmetrisch als A t = −APowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 5/23

Toegevoegde matrixtoegevoegde :is A = (a ij ) dan is A = (a ij )(elk element komplex toevoegen)A = A voor reële matrixhermitisch toegevoegde :is A = (a ij ) dan is A ⋆ = (A) t = (a ji )• A is hermitisch als A ⋆ = APowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 6/23

Rang van een matrixvoor een m × n–matrix A:rang A = max{k | ∃ A k×k waarvoor det A k×k ≠ 0}rang A notatie= rmet A k×k vierkante deelmatrices van Ahoofddeterminant = niet–nuldeterminant vangrootst mogelijke deelmatrixvoor A n × n–matrix : r = n ⇐⇒ det A ≠ 0Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 13/23

Echelonmatricesm × n echelonmatrix :• eerste r rijen niet–nulrijen, laatste m − r rijennulrijen• eerste niet–nulelement (leider) van rij i staatlinks van leider in rij i + 1 (leiders vormen trap)• alle elementen onder een leider zijn nulrang A = r = aantal leiders = aantal niet–nulrijenPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 15/23

Rij–gereduceerde echelonvormrij–gereduceerde echelonmatrix :echelonmatrix waarvoor bovendien• alle leiders zijn gelijk aan 1• alle elementen boven een leider zijn nulStelling : elke m × n–matrix A is rij–ekwivalentmet een unieke rij–gereduceerde echelonmatrix(dit is Gauss–Jordanvorm van A)Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 16/23

Stelsels lineaire vergelijkingen⎧a ⎪⎨ 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1(S) :.⎪⎩ a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m⇐⇒ A · X = BA = koëfficiëntenmatrixB = (kolom)matrix van de bekende termenX = (kolom)matrix van de onbekendenals B = O : homogeen stelselPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 17/23

Lineaire stelsels : oplosbaarheideerste kriteriumlineair stelsel met m vgln. en n onbekenden isoplosbaar (= niet–strijdig)a.s.a. rang A = rang (A|B)(A|B) = aangevulde of verhoogde matrixPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 18/23

Lineaire stelsels : oplosbaarheidtweede kriterium (Rouché)lineair stelsel met m vgln. en n onbekenden isoplosbaar (= niet–strijdig)a.s.a. alle m − r karakteristieke determinantenhorende bij een hoofddeterminant zijn nulin dit geval : (S) ⇐⇒ stelsel gevormd door dehoofdvergelijkingenPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 19/23

Lineaire stelsels : aantal oplossingenzij (S) een oplosbaar lineair (m, n)–stelsel metrang rals r = n dan unieke oplossingals r < n dan oneindig veel oplossingen(n − r vrije onbekenden)homogeen stelsel : steeds de nuloplossing enook niet–nuloplossingen als r < nPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 20/23

Lineaire stelsels : stelsels van Cramerstelsels met m = n (evenveel vgln als onbek.)als det A ≠ 0 dan unieke oplossingte vinden met regel van Cramer :x i =D idet A voor i = 1 . . . nmet D i = determinant van de matrix die ontstaatdoor in A kolom i te vervangen door kolom vande bekende termenPowered by LAT E X– algebra H 2 – p. 21/23

Lineaire stelsels : stelsels van Cramerhomogeen (n, n)–stelsel :als det A ≠ 0 : enkel nuloplossingals det A = 0 : ook niet–nuloplossingen(n − r vrije onbekenden)Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 22/23

Lineaire stelsels : stelsels van CramerGabriël Cramer1704–1752Powered by LAT E X– algebra H 2 – p. 23/23