Hoofdstuk 4 De Laplace transformatie

Hoofdstuk 4
De Laplace transformatie
4.1 Inleiding
In Hoofdstuk 3 hebben we de klassieke methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen
behandeld. De verkregen oplossingen zijn oplossingen in het tijdsdomein. In dit
hoofdstuk zullen we Laplace transformaties gebruiken om differentiaalvergelijkingen te
transformeren naar het frequentiedomein, waarbij de onafhankelijke variabele s de complexe
frequentie voorstelt.
Beschouw de lineaire differentiaalvergelijking
ϕ(y(t)) = x(t) (4.1)
waarbij x(t) de ’forcing function’ is, y(t) de onbekende en ϕ(y(t)) de differentiaalvergelijking.
Laat P(·) het transformatieproces en s de frequentievariabele voorstellen. Toepassen
van de transformatie operator op beide leden van (4.1) geeft
P[ϕ(y(t))] = P[x(t)]. (4.2)
Stel X(s) = P[x(t)] en Y (s) = P[y(t)] dan kan (4.2) als volgt worden geschreven
Ψ(Y (s)) = X(s) (4.3)
waarbij Ψ(Y (s)) een polynoom in s is. De essentie van het transformatieproces is dat
de differentiaalvergelijking in het tijdsdomein getransformeerd is naar een algebraïsche
vergelijking in het frequentiedomein. We kunnen (4.3) algebraïsch oplossen om Y (s) te
verkrijgen. Als een laatste stap passen we de inverse transformatie toe om y(t) te verkrijgen
y(t) = P −1 [Y (s)]. (4.4)
79

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 80
Figuur 4.1 geeft het gebruik van transformatiemethodes in diagramvorm weer.
Figuur 4.1: Transformatiemethode
4.2 Laplace transformatie
Definitie 4.1 (Laplace transformatie) Gegeven een continu tijdssignaal x(t). De Laplace
transformatie X(s) is gedefinieerd als
L[x(t)] = X(s) =
∫ ∞
−∞
x(t)e −st dt (4.5)
waarbij de variabele s ∈ C de volgende vorm heeft s = σ + jω. De Laplace transformatie
gedefinieerd in (4.5) is de bilaterale Laplace transformatie. De Laplace transformatie,
welke gedefinieerd is als
X(s) =
∫ ∞
0 − x(t)e −st dt (4.6)
waarbij 0 − = lim (0 − ε), wordt de unilaterale Laplace transformatie genoemd. De
ε→0, ε 0 en X(σ) is
absoluut convergent voor σ 0 ∈ R, dat is
∫ ∞
0 − |x(t)| e −σ 0t dt < +∞ (4.7)
dan is x(t) Laplace transformeerbaar voor Re(s) > σ 0 .
Voorbeeld 4.1 Beschouw het signaal
x(t) = e −at u(t),
a ∈ R
Volgens (4.5) wordt de Laplace transformatie van x(t) gegeven
∫ ∞
∫ ∞
X(s) = e −at u(t) e −st dt = e −(s+a)t dt
−∞
0 +
= − 1 [ ] e
−(s+a)t ∞
= 1 Re(s) > −a (4.8)
s + a
0 + s + a
omdat lim
t→∞
e −(s+a)t = 0 enkel als Re(s) > −a. Het convergentiegebied voor dit voorbeeld
wordt gespecifieerd in (4.8) als Re(s) > −a en is afgebeeld in het complexe vlak, zie
Figuur 4.2, door het gearceerde gebied rechts van de lijn −a.

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 81
Figuur 4.2: Convergentiegebied voor voorbeeld 4.1

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 82
4.2.1 Laplace transformaties van eenvoudige functies
De Laplace transformaties van eenvoudige signalen zijn getabelleerd in Figuur 4.3 1
Figuur 4.3: Eenvoudige Laplace transformaties
1 ROC = Region of Convergence = Convergentiegebied

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 83
4.2.2 Eigenschappen van de Laplace transformatie
Basiseigenschappen van de Laplace transformatie worden voorgesteld in Tabel 4.1
1. Lineariteit L [ ∑ n
k=1 a kx k (t)]
∑ n
k=1 a kX k (s)
2. Translatie L [e at x (t)] X (s − a)
1
3. Schaling L [x (at)] X ( )
s
a a
[ ]
4. Differentiëren L d n x(t)
s n X (s) − s n−1 x (t)|
dt n t=0
− s n−2 dx(t)
dt
∣ −
∣ ∣ t=0
. . . − s dn−2 x(t) ∣∣t=0
− dn−1 x(t) ∣∣t=0
dt n−2
dt n−1
[ ∫ ]
t
5. Integreren L x (τ) dτ 0
1
X (s) s
6. Vermenigvuldigen met t L [t n x (t)] (−1) n d n
ds n (x (s))
7. Delen door t L [ 1
t x (t)]
8. Periodieke functies L [x (t)]
∫ ∞
X (λ) dλ
s
∫ T
0
e−st x(t)dt
1−e −st
9. initiële waarde theorema lim t→0 x (t) lim s→∞ sX (s)
10. Einde waarde theorema lim t→∞ x (t) lim s→0 sX (s)
11. Convolutie L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] X 1 (s) X 2 (s)
Tabel 4.1: Enkele belangrijke eigenschappen van de Laplace transformatie
1. Lineariteit
Voorbeeld 4.2
2. Translatie
L [ 4t 2 − 3 cos (2t) + 5e −t] = 4L [ t 2] − 3L [cos (2t)] + 5L [ e −t]
( ) ( ) ( )
2! s
1
= 4 − 3 + 5
s 3 s 2 + 4 s + 1
= 8 s − 3s
3 s 2 + 4 + 5
s + 1 .
Voorbeeld 4.3 Bepaal L [e −t cos (2t)] . Met L [cos (2t)] =
L [ e −t cos (2t) ] =
s wordt
s 2 +4
s + 1
(s + 1) 2 + 4 = s + 1
s 2 + 2s + 5 .

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 84
3. Schaling
Voorbeeld 4.4 Bepaal L [sin (3t)] . Met L [sin (t)] = 1 wordt
s 2 +1
( 1 1
L [sin (3t)] = )
3)
2
= 3
+ 1 s 2 + 9 .
4. Differentiëren
Voorbeeld 4.5 Bepaal L [ d
(cos (3t))] . Met L [cos (3t)] =
dt
[ ] ( )
d s
L
dt (cos (3t)) = s − cos (0)
s 2 + 9
( ) s
= s − 1
s 2 + 9
5. Integreren
( s
3
= − 9
s 2 + 9
s wordt
s 2 +9
[ ∫ ]
t
Voorbeeld 4.6 Bepaal L sin (2t) . Met L [sin (2t)] = 2 wordt
0 s 2 +4
6. Vermenigvuldigen met t
[∫ t
]
L sin (2t) =
0
2
s (s 2 + 4) .
Voorbeeld 4.7 Bepaal L [t 2 e 2t ] . Met L [e 2t ] = 1
s−2 wordt
7. Delen door t
L [ t 2 e 2t] ( )
= d2 1
ds 2 s − 2
=
2
(s − 2) 3 .
Voorbeeld 4.8 Bepaal L [ 1
sin (t)] . Met L [sin (t)] = 1
t
wordt
[ ] ∫ 1 ∞
(
L
t sin (t) 1
1
=
u 2 + 1 du = bgtg s
8. Periodieke functies
Voorbeeld 4.9 Gegeven
x (t) =
s
{ sin (t) 0 < t < π
0 π < t < 2π .
s 2 +1
)
.
en lim t→0 sin(t)
t
= 1

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 85
De grafiek is weergegeven in Figuur 4.4.
Bepaal L [x (t)] . Met T = 2π
9. Initiële waarde theorema
Figuur 4.4: Halve sinus
∫
1 2π
L [x (t)] =
e −st x (t) dt
1 − e −2πs 0
∫
1 π
=
e −st sin (t) dt
1 − e −2πs 0
( )∣
1 e −st (−s sin (t) − cos (t)) ∣∣∣
π
=
1 − e −2πs s 2 + 1
0
( )
1 1 + e
−πs
=
1 − e −2πs s 2 + 1
1
=
(1 − e −2πs ) (s 2 + 1) .
Theorema 4.1 Het initiële waarde theorema laat ons lim t→0 − x (t) bepalen op basis
van zijn Laplace transformatie als lim
s→∞
sX(s) bestaat
lim x (t) = lim sX (s) . (4.9)
t→0− s→∞
Bewijs. Laplace operator L toepassen op de afgeleide geeft
[ ] ∫ dx (t) ∞
dx (t)
L = e −st dt = sX (s) − x (t)|
dt 0 dt
t=0 − . (4.10)
−
lim nemen van (4.10) geeft
s→∞
∫ ∞
lim
s→∞
dx (t)
0 dt
−
e −st dt = lim
s→∞
(sX (s) − x (t)| t=0 −)
Uitwerken geeft
lim (sX (s) − x (t)|
s→∞
t=0
) = 0
−
x ( 0 −) = lim
s→∞
sX (s)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 86
10. Einde waarde theorema
Theorema 4.2 Het einde waarde theorema laat ons lim t→∞ x (t) bepalen op basis
van zijn Laplace transformatie als sX(s) geen polen heeft in het rechter halfvlak of
op de imaginaire as.
lim
t→∞
x (t) = lim sX (s) . (4.11)
s→0
Bewijs. Laplace operator L toepassen op de afgeleide geeft
[ ] ∫ dx (t) ∞
dx (t)
L = e −st dt = sX (s) − x (t)|
dt 0 dt
t=0 − . (4.12)
−
lim s→0 −
nemen van (4.12) geeft
lim
s→0
∫ ∞
dx (t)
0 dt
−
e −st dt = lim
s→0
(sX (s) − x (t)| t=0 −)
Uitwerken geeft
x (∞) − x (t)| t=0 − = lim
s→0
(sX (s) − x (t)| t=0 −)
x (∞) = lim
s→0
sX (s)
11. Convolutie
Deze eigenschap is een van de meest toegepaste eigenschappen in de studie en analyse
van lineaire systemen. Het reduceert de complexiteit van het evalueren van de
convolutie integraal naar een eenvoudige vermenigvuldiging.
Theorema 4.3 Gegeven twee continue tijdfuncties x 1 (t) en x 2 (t) met L [x 1 (t)] =
X 1 (s) en L [x 2 (t)] = X 2 (s) . De convolutie eigenschap stelt dat
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = X 1 (s) X 2 (s) (4.13)
Bewijs. De convolutie van x 1 (t) en x 2 (t) , beide signalen zijn causaal, is als volgt
gedefinieerd
x 1 (t) ∗ x 2 (t) =
∫ ∞
0 − x 1 (τ) x 2 (t − τ) dτ.
Toepassen van de L-operator op beide leden resulteert in
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] =
∫ ∞
0 − [∫ ∞
0 − x 1 (τ) x 2 (t − τ) dτ
]
e −st dt.
Onderling de volgorde van de integralen verwisselen geeft
∫ ∞
[∫ ∞
]
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = x 1 (τ) x 2 (t − τ) e −st dt dτ.
0 − 0 −

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 87
Stel η = t − τ in de tweede integraal, x 2 (η) = 0 voor η < 0, de nieuwe grenzen
worden −τ, ∞. Maar aangezien met causale signalen gewerkt wordt, blijven de
grenzen 0 − , ∞.
∫ ∞
[∫ ∞
]
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = x 1 (τ) e −sτ x 2 (η) e −sη dη dτ
0 − 0 −
= X 1 (s) X 2 (s) . (4.14)
4.2.3 Toepassen van de tabellen
Voorbeeld 4.10 Bepaal de Laplace transformatie van volgende functie
x(t) = 4e 5t + 6t 3 + 3 sin(4t) + 2 cos(2t)
oplossing
Gebruikmakend van Figuur 4.3 en de lineariteit van de operator, wordt de Laplace
transformatie van x(t) geschreven als
L[4e 5t + 6t 3 + 3 sin(4t) + 2 cos(2t)] = 4L[e 5t ] + 6L[t 3 ] − 3L[sin(4t)] + 2L[cos(2t)]
( ) ( ) ( )
1 3! 4
= 4 + 6 − 3
+
s − 5 s 4 s 2 + 16
( ) s
2
s 2 + 4
4
=
s − 5 + 36
s − 12
4 s 2 + 16 + 2s
s 2 + 4
Voorbeeld 4.11 Bepaal de Laplace transformatie van volgende functie
x(t) = e −4t + sin(t − 2) + t 2 e −2t
oplossing
De Laplace transformatie van e −4t , sin(t) en t 2 zijn gegeven in Figuur 4.3
L[e −4t ] = 1
s + 4
L[sin(t)] = 1
s 2 + 1
Gebruikmakend van de translatie-eigenschap (zie Tabel 4.1)
L[sin(t − 2)] =
e−2s
s 2 + 1
L[t 2 e −2t ] =
L[t 2 ] = 2 s 3
2
(s + 2) 2 .
Daar L een lineaire operator is, wordt de Laplace transformatie van x(t) geschreven
als
L[x(t)] = 1
s + 4 + e−2s
s 2 + 1 + 2
(s + 2) 2

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 88
Voorbeeld 4.12 Bepaal de Laplace transformatie van volgende functie
x(t) = e −2t (3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t))
oplossing
Gebruikmakend van Figuur 4.3 en de lineariteit van de operator, wordt de Laplace
transformatie van x(t) geschreven als
L[3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t)] =
( ) ( ) ( )
s
6
4
3
− 5
+
s 2 + 36 s 2 + 36 s 2 + 16
=
3s − 30
s 2 + 36 + 4
s 2 + 16 .
Gebruikmakend van de translatie-eigenschap
L[e −2t (3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t))] =
=
=
3(s + 2) − 30
(s + 2) 2 + 36 + 4
(s + 2) 2 + 16
3s − 24
s 2 + 4s + 40 + 4
(s + 2) 2 + 16
3s 3 − 8s 2 − 20s − 320
(s 2 + 4s + 40)(s 2 + 4s + 20)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 89
4.3 De Inverse Laplace Transformatie
De Laplace transformatie L [x (t)] = X (s) transformeert een probleem in het t-domein
naar het complex s-domein. Nadat een oplossing gevonden is in het s-domein, is het nodig
het inverse te nemen om een oplossing te vinden in het t-domein.
4.3.1 Complexe analyse
Cauchy integraal formule
Theorema 4.4 (Cauchy integraal formule) Laat C een gesloten curve zijn die een gebied
R begrenst, zie Figuur 4.5.
Figuur 4.5: Een regio R begrensd door een gesloten curve C
Stel f (s) is analytisch in het gebied R en op C, s = x + yj. Als a ∈ R, dan
f (a) = 1 ∮
f (s)
ds (4.15)
2πj (s − a)
C
Het theorema vertelt ons dat als een functie f analytisch is in het gebied R en op C, dan
is de waarde f (a), a ∈ R volledig bepaalt door de waarde van f op C.
∮
cos(s)
Voorbeeld 4.13 bepaal ds waarbij C een cirkel is gedefinieerd als |s − 1| = 3
(s−π)
(cirkel met straal 3 en center (1, 0)).
C
Oplossing
∮
1
Omdat s = π ∈ gebied, begrensd door C, is
2πj
∮
C
cos(s)
cos (s) , a = π. Dan, ds = −2πj.
(s−a)
C
f(s)
ds = cos (π) = −1 met f (s) =
(s−a)
Singuliere punten, polen en Taylor reeksen
Een singulier punt van een functie f (s) is een waarde van s voor dewelke f (s) niet
analytisch is. Als f (s) overal analytisch is in een bepaalde regio R uitgezonderd in een
punt s = a ∈ R dan wordt dat punt een geïsoleerde singulariteit van f (s) genoemd.

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 90
Voorbeeld 4.14 Als f (s) = 1
(s−3) 2 dan is s = 3 een geïsoleerde singulariteit van f (s) .
Als f (s) =
φ(s) n , φ (a) ≠ 0 waarbij φ (s) overal analytisch is in R, a ∈ R en n ∈ N,
(s−a)
dan heeft f (s) een geïsoleerde singulariteit in s = a welke een pool van graad n wordt
genoemd. Als n = 1 wordt het een enkelvoudige pool genoemd; als n = 2 is wordt het
een dubbele pool genoemd, enz.
s
Voorbeeld 4.15 f (s) = heeft twee singulariteiten: een dubbele pool in s = 3,
(s−3) 2 (s+1)
en een enkelvoudige pool in s = −1.
Voorbeeld 4.16 f (s) = 3s−1
(s 2 +4) = 3s−1
(s+2j)(s−2j)
heeft twee enkelvoudige polen in s = ±2j.
Een functie kan nog andere andere singulariteiten bevatten dan polen. Bij voorbeeld,
f (s) = √ s heeft een ”branch”punt in s = 0. De functie f (s) = sin(s) heeft een singulariteit
s
sin(s)
in s = 0. Maar, daar lim s→0 eindig is, wordt deze singulariteit een verwijderbare
s
singulariteit genoemd.
Theorema 4.5 Zij f een analytische functie in het gebied |s − a| < R 0 , zie Figuur 4.6,
met middelpunt a en straal R 0 .
Figuur 4.6: open schijf rond het punt a
Voor ieder punt s ∈ |s − a| < R 0 , f(s) heeft de volgende reeksontwikkeling
f(s) =
∞∑
b i (s − a) i (4.16)
i=0
waarbij
b i = f (i) (a
,
i!
i = 1, 2, . . . (4.17)
(4.16) kan als volgt worden geschreven
f(s) = f(a) + a (2)(a)
f
(s − a) + (s − a) 2 + · · ·
1! 2!
(4.18)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 91
Laurent reeksen
Als een functie f niet analytisch is in een bepaald punt a kan Taylor’s theorema in dat
punt niet worden toegepast. Het is dikwijls mogelijk dat een reeksontwikkeling voor f (s)
kan worden geschreven bestaande uit zowel positieve en negative machten van (s − a).
Theorema 4.6 Stel f (s) is analytisch in het gebied R 1 < |s − a| < R 2 en laat C een
gesloten curve zijn rondom a, zie Figuur 4.7.
Figuur 4.7: Gesloten curve rond het punt a
Dan, in ieder punt s ∈ R 1 < |s − a| < R 2 , f (s) heeft een reeksontwikkeling
∞∑
f (s) = c k (s − a) k , (R 1 < |s − a| < R 2 ) (4.19)
k=−∞
waarbij
c k = 1 ∮
2πj
C
f (s)
ds, k = 0, ±1, ±2, ... (4.20)
k+1
(s − a)
Residu’s en residu theorema
Theorema 4.7 Een geïsoleerd singulier punt a van een functie f is een pool van de graad
m als en slechts als f(s) geschreven kan worden als
f(s) =
waarbij φ(s) analytisch is en φ(a) ≠ 0. Zodat
φ(s)
(s − a) m (4.21)
en
Res f(s) = φ(a), m = 1 (4.22)
s=a
Res
s=a f(s) = φ(m−1) (a)
(m − 1)! , m ≥ 2 (4.23)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 92
Voorbeeld 4.17 Bepaal de residu’s van de functie f(s) = 1
s(s+2) 3 .
1. Enkelvoudige pool, s = 0. De functie f(s) kan als volgt worden geschreven
f(s) = φ(s)
s ,
waarbij φ(s) = 1
(s+2) 3 . Daaruit volgt dat het residu gegeven wordt door
Res
s=a f(s) = φ(a) = 1 2 3 = 1 8
2. Driedubbele pool, s = −2. De functie f(s) kan als volgt worden geschreven
f(s) =
φ(s)
(s + 2) 2 ,
waarbij φ(s) = 1 . Daaruit volgt dat het residu gegeven wordt door
s
Res f(s) = φ(m−1) (a)
= 1 ( ) 2
= − 1
s=a (m − 1)! 2 −2 3 8
Theorema 4.8 (Residu theorema) Laat C een gesloten curve zijn die een gebied R begrenst.
Stel f (s) is analytisch in het gebied R en op C uitgezonderd voor een eindig
aantal singuliere punten a k , k = 1, ..., n in C, dan
∮
n∑
f (s) ds = 2πj Res s=ak f (s) . (4.24)
C
k=1
4.3.2 De complex inversie formule
Definitie 4.3 (Complex inverse formule). Als L [x (t)] = X (s) , dan wordt L −1 [X (s)]
gegeven door
x (t) = 1 ∫ γ+jω
X (s) e st ds, t > 0 (4.25)
2πj γ−jω
waarbij x (t) = 0, t > 0, γ ≥ 0 en γ > σ 0 met σ 0 de convergentiestraal van X (s) . Dit
resultaat wordt de complex inverse integraal genoemd. Het is ook gekend als Bromwich’s
integraal formule. De integraal in (4.25) moet geëvalueerd worden langsheen de lijn s = γ
in het complexe vlak. Het reëel getal γ wordt gekozen zodat s = γ rechts ligt van alle
singulariteiten.
In praktijk wordt de integraal (4.25) geëvalueerd door gebruik te maken van het residu
theorema. Beschouw de lijnintegraal
∮
1
X(s)e st ds
2πj
C
waarbij C de contour is, voorgesteld in Figuur 4.8. Stel Γ gelijk aan de boog BJKLA en
T = √ R 2 − γ 2 ,
1
x(t) = lim
R→∞ 2πj
[ ∮ 1
= lim
R→∞ 2πj
∫ γ+γT
γ−γT
C
X(s)e st ds
X(s)e st ds − 1
2πj
∫
Γ
]
X(s)e st ds
(4.26)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 93
Veronderstel dat de enige singulariteiten van X(s) polen zijn dewelke allen links van de
lijn s = γ voor een reële constante γ. Veronderstel verder dat de integraal langsheen Γ in
4.26 nul benadert als R → ∞. Dan kan volgens het residu theorema, (4.26) geschreven
worden als
x(t) = ∑ residu’s van e st X(s) in de polen van X(s). (4.27)
Figuur 4.8: Bromwich contour
Voorbeeld 4.18 Bepaal x (t) via de de complex inverse integraal van volgende functie
X (s) =
De integraal wordt als volgt geschreven
∮
1
x (t) = lim
R→∞ 2πj
1
s 2 + ω 2
e st
(s + jω) (s − jω) ds
Het gekozen pad is Γ 1 , zie Figuur 4.9. Volgende residu’s worden bepaald
Figuur 4.9: Het pad van integratie in het s-vlak

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 94
Res
Res
Het tijdsignaal wordt
[
(s − jω)
[
(s + jω)
1
s 2 + ω 2 ]∣
∣∣∣s=jω
=
1
s 2 + ω 2 ]∣
∣∣∣s=−jω
=
x (t) = ∑ Res = ejωt − e −jωt
2jω
e st
(s + jω) ∣ = ejωt
s=jω
2jω
e st
(s − jω) ∣ = e−jωt
s=−jω
−2jω
=
sin ωt
ω .
In praktijk is het zelden nodig dat (4.25) gebruikt wordt. Een eenvoudige techniek voor
het vinden van de inverse Laplace transformatie (voldoende voor controle problemen)
wordt voorgesteld in subsectie ’Splitsen in partieelbreuken’
4.3.3 Splitsen in partieelbreuken
Beschouw X (s) als een rationele functie in s
X (s) = a ms m + a m−1 s m−1 + · · · + a
b n s n + a n−1 s n−1 + · · · + b 0
= Z (s)
P (s) . (4.28)
Als graad Z (s) ≥ graad P (s) moeten we eerst de deling Z(s)
P (s)
van de deling leiden we volgende betrekking af
Z (s)
P (s)
= Q (s) +
R (s)
P (s)
uitvoeren. Uit de formule
(4.29)
waarbij graad R (s) < graad P (s) en Q (s) is steeds een veelterm. De breuk R(s)
P (s)
splitsen in partieelbreuken. Men moet eerst P (s) in factoren ontbinden
P (s) = (s − a) α (s − b) β · · · (s 2 + cs + d ) γ
waarbij a, b, ..., c, d ∈ R met c 2 − 4d < 0 en α, β, γ ∈ N 0 . De splitsing is dan
R (s)
P (s) = A 1
(s − a) + A 2
(s − a) 2 + · · · + A α
(s − a) α
+ · · ·
kan men
(4.30)
+ C 1s + D 1
s 2 + cs + d + C 2s + D 2
(s 2 + cs + d) 2 + · · · + C γs + D γ
(s 2 + cs + d) γ . (4.31)
De vorm van de partieelbreuk is afhankelijk van het type factoren in P (s) . Er zijn vier
verschillende gevallen die we met behulp van voorbeelden zullen behandelen voor het
bepalen van de ongekende coëfficienten, A 1 , ..., A α , C 1 , ..., C γ , D 1 , ..., D γ .
Geval 4.1 (Enkelvoudige lineaire factoren) In het algemeen wordt de rationale functie
geschreven als
waarbij
R (s)
P (s) = A 11
(s − a 1 ) + A 12
(s − a 2 ) + · · · + A 1n
(s − a n )
A i = lim
s→ai
(s − a i ) R (s)
P (s)
(4.32)
(4.33)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 95
Voorbeeld 4.19 Beschouw de rationale functie
37 − 11s
X (s) =
s 3 − 4s 2 + s + 6
37 − 11s
=
(s + 1) (s − 2) (s − 3)
De functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm
37 − 11s
s 3 − 4s 2 + s + 6 = A 11
(s + 1) + A 12
(s − 2) + A 13
(s − 3)
De waarden van A 1 , A 2 en A 3 worden verkregen door het toepassen van (4.33)
37 − 11s
A 11 = (s + 1)
(s + 1) (s − 2) (s − 3) ∣ s=−1
37 − 11s
=
(s − 2) (s − 3) ∣ = 4
s=−1
De functie X (s) wordt dan
37 − 11s
A 12 = (s − 2)
∣
(s + 1) (s − 2) (s − 3)
37 − 11s
=
(s + 1) (s − 3) ∣ = −5
s=2
37 − 11s
A 13 = (s − 3)
∣
(s + 1) (s − 2) (s − 3)
37 − 11s
=
(s + 1) (s − 2) ∣ = 1
s=3
X (s) =
∣
s=2
∣
s=3
4
(s + 1) − 5
(s − 2) + 1
(s − 3) .
Geval 4.2 (Herhaalde lineaire factoren) In het algemeen wordt de rationale functie
geschreven als
R (s)
P (s) = A 1
(s − a) + A 2
(s − a) 2 + · · · + A α
(s − a) α (4.34)
waarbij
en
A i =
( ) 1
lim
(α − i)! s→a i
d (α−i)
ds (s − a i) α R (s)
(α−i) P (s)
A α = lim
s→aα
(s − a α ) α R (s)
P (s)
, i = 1, ..., α − 1 (4.35)
(4.36)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 96
Voorbeeld 4.20 Beschouw de rationale functie
X (s) = 2s2 − 25s − 33
s 3 − 3s 2 − 9s − 5
= 2s2 − 25s − 33
(s − 5) (s + 1) 2
De functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm
2s 2 − 25s − 33
s 3 − 3s 2 − 9s − 5 = A 11
(s − 5) + A 1
(s + 1) + A 2
(s + 1) 2
De waarden van A 11 , A 2 en A 3 worden verkregen door het toepassen van (4.33),(4.35) en
(4.36)
∣
A 11 = (s − 5) 2s2 − 25s − 33 ∣∣∣
(s − 5) (s + 1) 2 s=5
∣
= 2s2 − 25s − 33 ∣∣∣
(s + 1) 2 = −3
s=5
A 1 =
∣
A 2 = (s + 1) 2 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣
(s − 5) (s + 1) 2 s=−1
= 2s2 − 25s − 33
(s − 5) ∣ = −1
s=−1
( ) ∣
1 d
(2 − 1)! ds (s + 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣ 1)2
(s − 5) (s + 1) 2 s=−1
( )∣ 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣s=−1
= 5
= d ds
De functie X (s) wordt dan
(s − 5)
X (s) = − 3
(s − 5) + 5
(s + 1) − 1
(s + 1) 2 .
Geval 4.3 (Enkelvoudige onherleidbare tweede graads factoren) In het algemeen
wordt de rationale functie geschreven als
R (s)
P (s) =
Cs + D
s 2 + cs + d . (4.37)
De beste manier om de coëfficienten te bepalen is gebruik maken van de Methode van de
onbepaalde coëfficienten. Beschouw de rationale functie
s 2 − s − 21
X (s) =
2s 3 − s 2 + 8s − 4
= 2s2 − 25s − 33
(s 2 + 4) (2s − 1)
De functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm
s 2 − s − 21
2s 3 − s 2 + 8s − 4 = Cs + D
(s 2 + 4) + A 11
(2s − 1)

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 97
Voorbeeld 4.21 De coëfficienten C, D en A 11 vinden we door de veeltermbreuken in het
tweede lid op te tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de
term R (s) = s 2 − s − 21, dit geeft volgend resultaat
s 2 − s − 21 = (Cs + D) (2s − 1) + C ( s 2 + 4 )
= (2C + A 11 ) s 2 + (2D − C) s + (4A 11 − D)
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men
krijgt volgend stelsel
⎧
⎨ 2C − A 11 = 1
2D − C = −1 .
⎩
4A 11 − D = −21
Met A 11 = −5, C = 3 en D = 1, de functie X (s) wordt dan
X (s) = 3s + 1
(s 2 + 4) − 5
(2s − 1) .
Geval 4.4 (Herhaalbare onherleidbare tweede graadsfactoren) In het algemeen
wordt de rationale functie geschreven als
R (s)
P (s) = C 1s + D 1
s 2 + cs + d + C 2s + D 2
(s 2 + cs + d) 2 + · · · + C γs + D γ
(s 2 + cs + d) γ (4.38)
De beste manier om de coëfficienten te bepalen is gebruik maken van de Methode van de
onbepaalde coëfficienten. Beschouw de rationale functie
X (s) = s4 − 6s + 7
(s 2 − 4s + 5) 2
= s4 − 6s + 7
((s 2 − 2) + 1) 2
De functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm
s 4 − 6s + 7
(s 2 − 4s + 5) 2 = C 1s + D 1
(s 2 − 2) + 1 + C 2s + D 2
((s 2 − 2) + 1) 2
Voorbeeld 4.22 De coëfficienten C 1 , C 2 , D 1 en D 2 vinden we door de veeltermbreuken
in het tweede lid op te tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan
de term R (s) = s 4 − 6s + 7, dit geeft volgend resultaat
s 2 − s − 21 = C 1 s 3 + (D 1 − 4C 1 )s 2 + (5C 1 + C 2 )s + D 2 − 5D 1
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men
krijgt volgend stelsel ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
C 1 = 0
D 1 − 4C 1 = 1
5C 1 + C 2 = −6
5D 1 + D 2 = 7
Met C 1 = 0, C 2 = −6, D 1 = 1 en D 2 = 2, de functie X (s) wordt dan
X (s) =
1
((s 2 − 2) + 1) 2 − 6s − 2
(s 2 − 2) + 1
.

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 98
4.3.4 Voorbeelden
Voorbeeld 4.23 Bepaal de inverse transformatie van de volgende veeltermbreuk
10
X (s) =
s 2 + 10s + 16
10
=
(s + 2) (s + 8)
(4.39)
(4.39) kan gesplitst worden in volgende vorm
10
(s + 2) (s + 8) = A 1
(s + 2) + A 2
(s + 8) .
De coëfficienten A 1 , A 2 vinden we door de veeltermbreuken in het tweede lid op te tellen
en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de term R (s) = 10, dit geeft
volgend resultaat
10 = (s + 8) A 1 + (s + 2) A 2
= (A 1 + A 2 )s + (8A 1 + 2A 2 )
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men
krijgt volgend stelsel {
A1 + A 2 = 0
8A 1 + 2A 2 = 10 .
Met A 1 = 5 en A 3 2 = − 5 , de tijdsfunctie wordt
3
[ ( 5 1
L −1 3 (s + 2) − 1 )]
= 5 (
e −2t − e −8t) u (t)
(s + 8) 3
Residu theorema toegepast op het voorbeeld (4.39) geeft
A 1 = 10
(s + 8) ∣ = 5
s=−2
3
en
De tijdsfunctie wordt
L −1 [ 5
3
A 2 = 10
(s + 2) ∣ = − 5
s=−8
3 .
( 1
(s + 2) − 1 )]
= 5 (
e −2t − e −8t) u (t)
(s + 8) 3
Voorbeeld 4.24 Bepaal de inverse transformatie van de volgende veeltermbreuk
X (s) =
s − 3
(s 2 + 5s + 6)
(4.40)
(4.40) kan gesplitst worden in volgende vorm
s − 3
(s + 2) (s + 3) = A 1
(s + 2) + A 2
(s + 3) .

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 99
De coëfficienten A 1 , A 2 , A 3 vinden we door de veeltermbreuken in het tweede lid op te
tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de term R (s) = s 2 + 3,
dit geeft volgend resultaat
s − 3 = A 1 (s + 3) + A 2 (s + 2) .
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men
krijgt volgend stelsel {
A1 + A 2 = 1
3A 1 + 2A 2 = −3 .
Met A 1 = −5 en A 2 = 6, de tijdsfunctie wordt
[ ] [ ]
L −1 [X (s)] = −5L −1 1
+ 6L −1 1
(s + 2) (s + 3)
= 5e −2t + 6e −3t , t > 0.
Residu theorema toegepast op het voorbeeld (4.40) geeft
A 1 = s − 3
(s + 3) ∣ = −5
s=−2
De tijdsfunctie wordt
A 2 = s − 3
(s + 2) ∣ = 6
s=−3
L −1 [X (s)] = 5e −2t + 6e −3t , t > 0. (4.41)
Voorbeeld 4.25 Bepaal de inverse transformatie van de volgende veeltermbreuk
X (s) =
s + 1
(
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3)
(4.42)
(4.42) kan gesplitst worden in volgende vorm
s + 1
(
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3) = A 1
(s + 3) + Cs + D
(
(s + 2) 2 + 1 ).
De coëfficient A 1 wordt als volgt bepaald
A 1 =
s + 1
(
(s + 2) 2 + 1 ) ∣
∣∣∣∣s=−3
= −1
Om de coëfficienten C en D te bepalen combineren we beide fracties
s + 1
(
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3) = A (
1 (s + 2) 2 + 1 ) + (Cs + D) (s + 3)
(
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3)
en we krijgen
s + 1 = − ( s 2 + 4s + 5 ) Cs 2 + (D + 3C) s + 3D

HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 100
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men
krijgt volgend stelsel
⎧
⎨ −1 + C = 0
−4 + D + 3C = 1 .
⎩
−5 + 3D = 1
Met C = 1 en D = 2, de tijdsfunctie wordt
[
]
L −1 −1
(s + 3) + s + 2
(
(s + 2) 2 + 1 ) = −e −3t + e −2t cos t, t > 0.
Voorbeeld 4.26 Bepaal de inverse transformatie van de volgende veeltermbreuk
X (s) = s3 + 2s 2 + 3s + 1
s 2 (s + 1)
De teller veelterm wordt gedeeld door de noemer veelterm en we krijgen
X (s) = 1 + s2 + 3s + 1
s 2 (s + 1)
Stel X (s) = s2 +3s+1, en X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm
s 2 (s+1)
s 2 + 3s + 1
s 2 (s + 1) = A 1
s + A 2
s 2 + A 3
(s + 1) .
De coëfficient A 3 kan als volgt worden bepaald
Volgende algemene formule
A i =
1
(α − i)!
A 3 = lim
s→−1 (s + 1) s2 + 3s + 1
s 2 (s + 1)
( d
(α−i)
= −1
(4.43)
ds (α−i) (X (s)) (s − s i) α )∣
∣∣∣s=si
, k = 1, ..., α. (4.44)
kan gebruik worden voor het bepalen van de coëfficienten A 1 en A 2 , met α = 2 (dubbele
pool)
( ( ))∣
1 d s 2 + 3s + 1
∣∣∣s=0
A 1 =
(2 − 1)! ds s 2 (s + 1) (s − 0)2
= d ( )∣ s 2 + 3s + 1 ∣∣∣s=0
ds (s + 1)
= − s2 + 3s + 1
(s + 1) 2 + 2s + 3
∣ = 2
(s + 1)
∣
s=0
( )∣
1 s 2 + 3s + 1 ∣∣∣s=0
A 2 =
(2 − 2)! s 2 (s + 1) (s − 0)2 = s2 + 3s + 1
(s + 1) ∣ = 1
s=0
Met A 1 = 2, A 2 = 1 en A 3 = −1 de tijdsfunctie wordt
[
L −1 1 + 2 s + 1 s − 1 ]
= δ (t) + 2 + t − e −t , t > 0.
2 (s + 1)