Examen algebra – Bachelor 1 – 2004–2005 – 1ste zittijd – Gent

NAAM : GROEP :
geen enkele rekenmachine toegelaten ! maximaal 3,5 u tijd ! elke vraag op een afzonderlijk
blad beantwoorden ! antwoordbladen in gevouwen vragenblad afgeven ! op elk blad naam
en groep vermelden ! klad afzonderlijk afgeven ! veel sukses !
Examen algebra – Bachelor 1 – 2004–2005 – 1ste zittijd – Gent
THEORIE (20 ptn.)
T 1. (6 ptn.)
a. Definieer het vektorprodukt van twee vektoren ⃗v en ⃗w in de driedimensionale
euklidische ruimte.
b. Stel een analytische uitdrukking op voor het vektorprodukt onder de
gedaante van een symbolische determinant.
c. Wat weet je over de vektoren ⃗v en ⃗w als ⃗v × ⃗w = ⃗o ? Toon aan.
d. Illustreer met een voorbeeld het niet–kommutatief zijn van het vektorprodukt.
T 2. (6 ptn.)
Geef het kriterium van Rouché voor de oplosbaarheid van een lineair stelsel
met m vergelijkingen en n onbekenden.
Definieer daarbij ook de begrippen die in dit kriterium voorkomen (hoofddeterminant,
karakteristieke determinanten, . . .) .
T 3. (8 ptn.)
a. Definieer de begrippen norm van een vektor en orthogonaliteit van
vektoren in een inproduktruimte.
b. Bewijs dat een orthogonale deelverzameling van niet–nulvektoren steeds
een verzameling van lineair onafhankelijke vektoren is.
c. Bewijs dat elke eindig–dimensionale inproduktruimte steeds een georthonormeerde
basis bezit.
oefeningen op keerzijde

OEFENINGEN (20 ptn.)
O 1. (10 ptn.)
In de driedimensionale euklidische ruimte is gegeven : het punt P (1, 0, 2)
en het vlak α met vergelijking z = x + y + 3
a. Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak β door P en evenwijdig
met α.
b. Bepaal een parametervoorstelling van de rechte m door P en evenwijdig
met α en met het yz–vlak.
c. Bepaal de cartesiaanse vergelijking en een parametervoorstelling van
het loodvlak γ door P op α en evenwijdig met de x–as.
d. Bepaal de cartesiaanse vergelijking van de vlakken die de loodlijn l
door P op α bevatten en een hoek van 45 o maken met het xz–vlak.
e. Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het boloppervlak met P als
middelpunt en dat raakt aan het vlak α.
O 2. (10 ptn.)
Beschouw de vektorruimte V = Mat(2, R) van de 2 × 2–matrices met reële
elementen, voorzien van het standaardinprodukt < A, B >= spoor(B t ·A).
a. Zij W de deelverzameling van V bestaande uit de matrices waarvan
de elementen op de hoofddiagonaal nul zijn. Toon aan dat W een
deelruimte vormt met dimensie 2.
b. Bepaal de loodruimte (= orthogonaal komplement) W ⊥ en geef een
basis en de dimensie ervan.
( ) ( )
a b d b
Beschouw nu de afbeelding T : −→ van V naar zichzelf.
c d c a
c. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is.
d. Geef de matrix van T t.o.v. de standaardbasis van V .
e. Bepaal de kernruimte van T .
f. Bepaal de eigenwaarden en eigenruimten van T (vermeld ook de algebraïsche
en de meetkundige multipliciteit van de eigenwaarden).
g. Toon aan dat de afbeelding T diagonaliseerbaar is.
h. Toon aan dat de afbeelding T een orthogonale lineaire afbeelding is
door na te gaan wat er gebeurt met de norm van een matrix.