Koppelen 910Leon Willenborg en Nico Heerschap - CBS

van elkaar opgelost kunnen worden. Ieder van deze keuzeproblemen correspondeert met een
samenhangscomponent van de desbetreffende KK-graph.
Een ander punt is dat in de statistiek gevallen met alternatieve koppelingen als twijfelgevallen
worden beschouwd, die dienen te worden voorgelegd aan een koppeldeskundige om ze op te
lossen. Dat is vaak echter niet nodig, en zou een programma die beslissingen kunnen nemen. Dat
scheelt niet alleen een hoop werk, het kan bovendien leiden tot betere (automatische)
procesdocumentatie. Alleen échte probleemgevallen kunnen dan aan een koppeldeskundige worden
voorgelegd. Dit mogen er echter niet meer dan een handjevol zijn.
Voordat we ons concentreren op de koppelingsproblemen bij bipartiete (di)graphen, kijken we eerst
naar het koppelingsprobleem bij willekeurige (di)graphen.
4.4 Koppelproblemen in graphen
Het koppelen kan worden beschreven met behulp van een speciaal soort graphen, namelijk
bipartiete graphen. Echter in een algemene graph G = ( V , E)
kan men ook over matching spreken.
Het eenvoudigste geval is 1-matching (of gewoon matching genaamd). Het doel hierbij is om een
subset F ⊆ E te kiezen zó dat ieder punt v ∈V op ten hoogste één kant van F ligt. Dit laatste kan
ook zo geformuleerd worden dat voor G ( F)
= ( V , F)
de graad van ieder punt v in G (F ) ten
hoogste 1 is. Iedere graph heeft altijd één 1-matching, namelijk met F = φ , dus de graph die uit de
punten van G bestaat en geen kanten heeft. De kunst is nu om bij een gegeven graph
G = ( V , E)
een maximale 1-matching G ( F)
= ( V , F)
te vinden, dus waarbij het aantal kanten
| F | maximaal is. Dit is een ongewogen matchingsprobleem.
1-Matchings zijn te generaliseren tot h-matchings, waarbij h een | V | -vector is van integers,
waarbij hi een bovengrens is voor het aantal kanten waar punt i ∈V op ligt. Bij h-matchings kan
een extra eis worden opgelegd namelijk dat iedere kant niet meer dan één keer gekozen mag
worden. Dit wordt 0-1 h-matching genoemd. Een andere mogelijkheid is dat een kant meerdere
keren kan worden gekozen. Dat wordt aangeduid als integer h-matching. In dit stuk maken we
alleen gebruik van 0-1 h-matching.
Aan de kanten, de koppelkandidaten, kunnen ook gewichten worden toegekend. Als w e een
gewicht is voor e ∈ E dan zij
( ')
= w
E w het gewicht voor E' ⊆ E . Het gewogen h-
e∈E
'
matchingsprobleem is om een h-matching te vinden van maximaal gewicht. Het ongewogen 1matchingsprobleem
is een speciaal geval hiervan, omdat hier w = 1voor
iedere e ∈ E .
Een formulering van gewogen 0-1 (1-)matching als integer programmingsprobleem is als volgt:
max w' x
34
e
Ax ≤ b
(4.4.1)
n
x ∈ { 0,
}1 ,
e