Kapittel 1 Algebra

Kapittel 1
Algebra
1.1 Potensar
Trekk saman dei følgjande uttrykka mest mogleg:
a) 2 7 · 2 3 , a n−2 · a 5−n , a 2n−1 · a n+2
b) 315
3 13 , a 3 · a 5
a 4 ,
a n+2 · b n+1
a n−2 · b n−1 , a 1+2n · b 1+3n
a 3n · b 5n
c) a n + a n , 2a n + a n − 3a n
1.2 Rotuttrykk og faktorisering
Døme: 2 √ 5 + √ 45 = 2 √ 5 + √ 9 · 5 = 2 √ 5 + 3 √ 5 = 5 √ 5
a) Set størst mogleg rasjonal faktor utanfor rotteiknet: √ 8, √ 18, √ 128, √ 722, √ 6075
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:
b) √ 18 − √ 50 + √ 98 − √ 162 + √ 242 − 2 √ 8
c) √ 54 + 3 √ 24 − √ 294 + √ 150 + √ 1014 − √ 24
d) √ 12 + √ 200 + √ 147 − √ 242 − √ 192
1.3 Potensar og rotuttrykk
Hugs: Du kan skifte mellom rotuttrykk og potensuttrykk ved formlane x 1/n = n√ x og x m/n =
n√
xm = ( n√ x) m . Du kan også skifte «rekkjefølgja» på potensar: (x m ) n = (x n ) m = x n·m .
Skriv som rotuttrykk (og skriv så enkelt som råd):
a) 9 1/2 , 27 2/3 , 81 3/4
b)
( 1
9
) 1/2
,
( 1
9
) −1/2
,
( ) 64 −2/3
27
c) (2 3 ) 1/2 · (2 1/2 ) −5 ,
(8 −1/2 ) −8/3
(8 −2/3 ) −5/2 , (((a−1 ) −1/2 ) 1/2 ) −4
1

2 Oppgåver – Algebra Repetisjonskurs 2011
1.4 Faktorisering av polynom/polynomdivisjon
Faktoriser disse polynoma:
a) x 2 + 5x − 14
b) x 2 − 3x − 18
c) x 2 − 2x − 15
d) x 2 − 64
Forkort disse uttrykka (om mogleg):
e) x3 − 1
x − 1
f)
x 2 − 16
x 2 − 2x − 8
x ̸= 1
x ̸= 4, x ̸= −2
g)
x 2 − 4
x 2 − 4x
h) x3 − x 2 − 4x + 4
x 2 − 3x + 2
x ̸= 0, x ̸= 4
x ̸= 2, x ̸= 1
Utfør polynomdivisjonane:
i) (x 2 + x) : x x ̸= 0
j) (x 4 − x 2 ) : x 2 x ̸= 0
k) (x 2 − 1) : (x + 1) x ̸= −1
l) (x 2 − 16) : (x − 4) x ̸= 4
m) (x 2 − 4x + 3) : (x − 1) x ̸= 1
n) (x 2 + 2x + 3) : (x + 1) x ̸= −1
o) (x 2 + 4x + 5) : (x + 2) x ̸= −2
p) (x 2 − 6x − 9) : (x − 3) x ̸= 3
1.5 Likningar
Løys likningane
a) x − 3 = 3 − 2x
b)
c)
1
x − 1 − 1
x + 1 = 1
x
x + 2 − 1 x =
1 + x
x 2 + 2x
d)
e)
f)
x
x − 3 + 1 x =
3x
x 2 − 3x
1
x − 4 + x − 4
x + 4 = x + 8
x 2 − 16
1
x − 1 + 1
x 2 − 2x + 1 = x2 − 2x + 2
(x − 1) 2
1.6 Ulikskapar
Løys ulikskapane
a) −x2 + x + 2
< 0
2x − 10
e) 2x − 3
x + 1 ≤ −3
d) x + 1
x − 2 < 1 g) x + 7
x + 2 > x − 1
b) 2x − 1
x 2 − 9 > 0
f) x > x + 2
x
c)
x − 2 + 1 ≥ 0
x

3 Oppgåver – Algebra Repetisjonskurs 2011
1.7 Logaritmar
Hugs:
log x er Briggsk logaritme og ln x er naturleg logaritme.
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:
( a
)
a) log(a · b) + log
b
b) log(3x) + log(9x 2 )
c) log(2x 3 ) − log 4 x 2 − log(8x4 )
d) log √ 5x + log √ 20x
e) log(xy) + log(x 2 y) − log(xy 2 )
f) ln x 5 − ln 1 − 2 ln x4
x3 g) ln(x 2 y)0 ln y x2
− ln
x2 y
h) ln 3 y + ln(9y3 ) − ln 27
Løys likningane:
i) log x − 2 = 0
j) 4 log x = −12
k) log x 2 − 4 = 0
l) log x 4 − log x 3 + 2 = 0
m) (log x) 2 − 4 = 0
n) (log x) 2 − 2 log x − 15 = 0
o) 2(log x) 2 − log x = 0
p) log(8 − 2x) = 2 log x
q) ln(x + 1) + ln(x − 1) = ln 3
r) ln x + ln(2 − x) = 0
Løys ulikskapane:
s) 2 log x − 2 > 0
w) 2 ln x + 2 > ln x − 1
t) 2 log x + 1 < log x + 2
x) 2 ln x 2 − 9 < 1 − ln x
u) log x 2 + log x − 6 > 0
y) (ln x − 1)(ln x − 2) < 0
v) log x − 2
x − 50 < 0 z) (1 − ln x)(ln x + 1) < 0
1.8 Eksponentialfunksjonar
Løys likningane:
a) 3, 50 · 2 x = 14
b) 6, 25 · 3 x = 37, 5
( ) 1 x
c) 0, 25 · = 0, 75
3
d) e x = 5
e) e −x = 4
f) e x2 = 81
g) 3e −x = 18
h) 2 2x − 3 · 2 x − 10 = 0
i)
18 − 5x
5 x = 5 x + 2
j) 3 x − 4 · 3 −x = 0
k) e 2x + 2e x = 3
l) 13ex − 48
e x − 1
= e x

4 Oppgåver – Algebra Repetisjonskurs 2011
Løys ulikskapane:
m) 3 x − 5 > 0
n) 3 · 2 x > 9
s)
( 1
10
) x
− 10 > 0
o) 4e x > 16
p) 5e −x < 1
q) 5 · 3 x > 12 · 5 x
r) 10 2x − 7 · 10 x + 10 < 0
t)
( 1
2
) 2x ( ) 1 x
− 9 · + 8 < 0
2
u) e 2x + 4e x − 5 > 0
v)
e x + 1
2e x − 3 ≥ 1

Kapittel 2
Trigonometri
2.1 Vinkelmål
Gjer følgjande vinklar om til absolutt vinkelmål (radianar):
a) v = 360 ◦
c) v = 180 ◦
e) v = 9 ◦
b) v = 36 ◦ d) v = 18 ◦ f) v = 90 ◦
Gjer disse vinkelmåla om til gradar:
a) v = π/4 b) v = π/3 c) v = π/2 d) v = π
2.2 Trekantar
a) I △ABC er ∠B = 64 ◦ , AB = 8, 5 cm og BC = 6, 4 cm. Finn arealet av trekanten. Normalen
frå A til BC treff BC i D. Finn lengda av AD og BC.
b) Finn arealet av trekanten ABC når
i) ∠A = 120 ◦ , AB = 12 cm og AC = 15 cm.
ii) ∠A = 150 ◦ , AB = 25 cm og AC = 8, 5 cm.
c) I △PQR er PQ = 10, PR = 14 og arealet er 35, 3. Finn ∠P
d) I △ABC er ∠A = 62 ◦ , BC = 9, 0 cm og AC = 6, 5 cm. Finn ∠B og ∠C. Finn arealet av
trekanten.
e) I △ABC er ∠A = 125 ◦ , AC = 22 m og BC = 48 m. Finn først ∠B og deretter ∠C. Finn
arealet av trekanten.
f) I △ABC er ∠A = 60 ◦ , AB = 6 og AC = 8. Finn BC og dei to andre vinklane ved hjelp av
cosinussetninga.
g) I △ABC er ∠A = 43, 5 ◦ og AB = 7, 7. Sida BC = a. For kva verdiar av a kan vi få
i) ein trekant
ii) to trekantar
Rekn ut ∠C og AC når a = 5, 6.
5

6 Oppgåver – Trigonometri Repetisjonskurs 2011
2.3 Likningar – del 1
Finn x ut frå disse likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):
a) cos x = 0, 5
b) cos x = 0, 8
c) sin x = 0, 3
d) sin x = −0, 4
e) 2 tan x = 11
f) 4 sin x = 1
g) 12 cos x = 5
h) tan x = 9
i) sin x 2 = 0, 5
2.4 Likningar – del 2
Finn dei fire løysingane til kvar likning (x ∈ [0, 2π〉):
a) cos x(1 − 3 cos x) = 0 b) sin 2 x = 1 4
Finn x frå likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):
l) 5 sin x = −3
m) 3 sin x + 2 = 5
n) 4 sin x + 3 = 0
o) 2 − 5 cos x = 0
p) 3 tan x − 7 = 0
q) 13 cos x + 12 = 0
r) sin x(sin x + 1) = 0
s) cos x(2 cos x − 5) = 0
t) tan x(tan x + 5) = 0
2.5 Likningar – del 3
Løys likningane:
( π
)
a) sin
4 x = 0, x ∈ [0, 8]
( π
)
b) 2 cos
2 x = 1, x ∈ [0, 4]
c) √ 3 tan(πx) = 1, x ∈ [−2, 2]
√
3
d) + 2 = 0, x ∈ [−1, 1]
sin(2πx)
Løys likningane (x ∈ [0, 2π〉 og det kan vere fleire løysingar):
e) 4 sin x + sin x = 0
f) 6 sin x + sin x − 1 = 0
g) 4 cos x − 9 cos x + 2 = 0
h) tan + tan x − 6 = 0
2.6 Likningar – del 4
a) Vis at vi kan skrive om sin x − cos x = 0 til tan x − 1 = 0 (når cos x ̸= 0, dvs. når x ̸= π/2
og x ̸= 3π/2). Løys denne likninga.
b) Løys likninga √ 3 sin x + cos x = 0 ved ei tilsvarande omskriving som i a).
c) Løys likninga sin 2 x − 2 sin x · cos x + cos x = 0 ved ei tilsvarande omskriving som i a). Hint:
du må først skrive om uttrykket ved hjelp av ei av kvadratsetningane!

Kapittel 3
Derivasjon
3.1 Fart–veg–tid
Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er
a) s(t) = 2t + 3 b) s(t) = − 1 2 t + 4 c) s(t) = t2 + 2t
Ein bil starter å køyre. Etter t sekund har bilen køyrt s(t) = 2t 2 meter.
d) Finn farten etter 3s.
e) Kor lang tid tar det før farten er 20 m/s
f) Finn akselerasjonen a(t) = v ′ (t). Kva er akselerasjonen etter 3s
Vi kastar ein stein rett opp. Etter t sekund er steinen s(t) = 20t − 5t 2 meter frå utgangspunktet.
g) Finn farten etter 1) 0 s 2) 2 s
h) Finn akselerasjonen a(t) = s ′′ (t)
Ein skiløper renn utfor ein bakke. Etter t sekund (frå starten ved toppen av bakken) har skiløparen
tilbakelagt strekninga s(t) = 6t + 0, 5t 2 .
i) Finn farten etter 1) 3 s 2) 5 s
j) Bakken er 80 m lang. Kor stor er farten ved botn av bakken
k) Finn akselerasjonen.
3.2 Kjerneregelen
Finn f ′ (x) ved hjelp av kjerneregelen.
a) f (x) = (3x + 1) 2
f) f (x) = (1 − 3x) 12
b) f (x) = (5x − 1) 2
g) f (x) = (3x 2 + 1) 2
c) f (x) = (2x − 1) 3
h) f (x) = (1 + √ x) 3
d) f (x) = (1 − x) 3
i) f (x) = (1 + x + x 2 ) 6
e) f (x) = (2x + 1) 10 j) f (x) = √ x 2 − 4
k) f (x) = √ 2x − x 4
l) f (x) = √ 1 + (1 + x) 2
m) f (x) = √ 2 + √ x
7

8 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
3.3 Logaritmer og eksponentialfunksjonen
Finn f ′ (x).
a) f (x) = x 2 + ln 3x
g) f (x) = e −x
m) f (x) = e x2 −1
e) f (x) = 2 + ln x − 1 2 x k) f (x) = x 0,5
f) f (x) = 2e x l) f (x) = e 2x+1 q) f (x) = 1 + x2 + x 6,7
x
b) f (x) = 2 + x + x 2 + ln x
c) f (x) = ln(kx)
d) f (x) = x − ln x
h) f (x) = e 2x
i) f (x) = e −3x
j) f (x) = x 1,5
n) f (x) = e √ x
o) f (x) = x 2 + ln x + e x2
p) f (x) = 2x 2,2 + 3x 2,7
3.4 Brøken 1 x n
Finn f ′ (x).
a) f (x) = − 1 e) f (x) = 3
h) f (x) =
x
2x
b) f (x) = x + 2 x
c) f (x) = x 2 − 2x − 3 f) f (x) = 1 x + 1
2x
x
d) f (x) = x 2 − 1 x 2 g) f (x) = 1 x (x − 1) j) f (x) =
1
(x + 1) 2
i) f (x) = 2 x + 1
x 3 − 1
1
√ x + 1
3.5 Produktregelen
Finn f ′ (x).
d) f (x) = xe −x
a) f (x) = x 2 e x
c) f (x) = (1 − x)e x f) f (x) = x ln(2x)
b) f (x) = 2x ln x
e) f (x) = x 2 e 2x
g) f (x) = e x ln x
3.6 Brøkfunksjonar
Finn f ′ (x).
a) f (x) = x + 1
x
b) f (x) = x − 1
x
c) f (x) = x
x − 1
d) f (x) = 2x
2x + 1
e) f (x) = x − 1
x − 2
f) f (x) = x 2 − 5
x − 5
g) f (x) = x + 1
x − 2
h) f (x) = 2 − x
1 − 2x
i) f (x) = x e x
j) f (x) = x
ln x

9 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
k) f (x) = ln x
e x
l) f (x) = e3x
x
m) f (x) = ln x + x
ln x − x
3.7 Utseende til ein graf
Undersøk for kvar funksjon om grafen til f (x) har topp- eller botnpunkt, og vis i kva intervall
grafe veks eller avtar (monotonieigenskaper). Teikn ei skisse av grafen.
a) f (x) = 2
x + 2
b) f (x) = 5
x 2 + 5
c) f (x) = (x − 1) · ln x
d) f (x) = (x − 1) · e x
3.8 Såpeboblar
Henta frå coSinus 2mx, utgitt av J.W.Cappelens Forlag AS, 2001
Lille Vigleik blåser såpebobler. Vi forutsetter at såpeboblene er kuleformet, slik at volumet
V er gitt ved V = 4 3 πr3 der radien r er en voksende funksjon av tiden t. Bruk kjerneregelen til
å vise at
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)
Tenk deg at Vigleik blåser luft med en fart på 10 cm 3 /s, slik at vekstfarten til V er 10 cm 3 /s.
Finn vekstfarten til r når r = 1 cm og når r = 5 cm.
3.9 Bakteriekultur
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.
På eit gitt tidspunkt er det i ein bakteriekultur 15 milliardar bakteriar. Det kjem noko gift
opp i kulturen, og ein kan rekne at talet på bakteriar t timar etter dette er gitt ved
f (t) = −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar.
Denne funksjonen gjeld i tidsrommet frå ein time til 17 timar etter at gifta kom opp i kulturen,
det vil seie for t ∈ [1, 17].
a) Kor stor er tilveksten av bakteriar etter 3 timar Etter 8 timar Og etter 12 timar
b) Når er det flest bakteriar i kulturen
c) Når er tilveksten av bakteriar størst
d) Kor lang tid tar det før talet på bakteriar er redusert til 5 milliardar
3.10 Geometri
Henta frå Tala talar, utgitt av Universitetsforlaget, 1994.
Gavlen i eit hus har form som ein likebeint trekant med høgd 6 m og grunnlinje 10 m. Vi
skal setje inn eit rektangulært vindauge i gavlen, og ønskjer at vindauget skal ha størst mogleg
flateinnhald.

10 Oppgåver – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
Figuren viser gavlen (i svart) og vindauget (i raudt), og alle nødvendige mål. Oppgåva vert
altså: finn den verdien av x som gjev størst mogleg flateinnhald av vindauget.
6 m x
y
10 m

Kapittel 4
Integrasjon
4.1 Antiderivert
Vis at ein mogleg antiderivert til f (x) er gitt ved F(x) i kvart tilfelle.
a) f (x) = 2x + 3, F(x) = x 2 + 3x
b) f (x) = 2 cos 2x − 1, F(x) = sin 2x − x
c) f (x) = 1
2 √ x + ex , F(x) = √ x + e x + 2
d) f (x) = 2x 3 − x 2 , F(x) = 1 2 x4 − 1 3 x3 − 1
Finn alle antideriverte til f (x):
h) f (x) = 3x 2 − 2e x
e) f (x) = 1
2 √ x
g) f (x) = 2x + 4x 3 j) f (x) = 2 − sin x
f) f (x) = e x + x
i) f (x) = cos x + 2x
4.2 Ein bestemt antiderivert
Finn den bestemte antideriverte til f (x) som oppfyller kravet.
a) f (x) = 2x + 2 og f (2) = 10
b) f (x) = 3x 2 − 3 og f går gjennom punktet (−1, 6).
4.3 Ubestemte integral – del 1
Finn det ubestemte integralet i kvart tilfelle:
a) ∫ 3 dx
b) ∫ (1 + x) dx
c) ∫ (6x − 2) dx
d) ∫ (1 + x + x + x) dx
e) ∫ (3x − 1) dx
f)
g)
h)
11
∫ (
x + 1 )
dx
x
∫
∫
3
x dx
6
t dt

12 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
i)
∫ (
1 − 1 )
dx
x
k) ∫ e 4x dx
j) ∫ e 2x dx
l) ∫ (e x + e −x ) dx
Vis ved derivasjon at
m) ∫ ln x dx = x · ln x − x + K
Finn dei ubestemte integrala:
n) ∫ sin 2x dx
o) ∫ cos 3x dx
p) ∫ (sin x − cos x) dx
q) ∫ (cos x − sin x) dx
r) ∫ 2 sin x dx
s) ∫ −3 cos 2x dx
4.4 Bestemte integral
a) Teikn grafen til f (x) = x + 1 frå x = 0 til x = 5. Bruk trekantar til å finne arealet mellom
grafen og x-aksen. Finn så ved integrasjon det bestemte integralet
∫ 5
(x + 1) dx
0
Finn dei bestemte integrala. I ein del tilfeller kan du kontrollere svaret ved å teikne ei skisse av
grafen. Prøv det!
b) ∫ 4
0 (x2 + 1) dx
h) ∫ 1
0 (3x2 − 2x dx
c) ∫ ∫
1
4
(
2x dx
1
0 i)
d) ∫ 0 2 x − 1 dx
4)
3
0 x2 dx
j) ∫ 2
(x + 4) dx
e) ∫ 1
4
0 3 dx
k) ∫ 4
2 (4x − 9x2 ) dx
g) ∫ 3
0 (1 − 2x) dx m) ∫ 5
2 4x3 dx
f) ∫ 2
(2x − 1) dx
0 l) ∫ 3
(6 − x) dx
1
Finn dei bestemte integrala (NB! Hugs å bruke radianer!). I ein del tilfeller kan du kontrollere
svaret ved å teikne ei skisse av grafen. Prøv det!
n) ∫ π
0
o) ∫ π
0
sin x dx
cos x dx
p) ∫ 2π
0
sin x dx
q) ∫ 2π
0
cos x dx
4.5 Ubestemte integral – del 2
Finn det ubestemte integralet i kvart tilfelle
r) ∫ π
0
s) ∫ π
0
sin 2x dx
2 sin x dx
t) ∫ 2π
0
(sin x + cos x) dx
u) ∫ 2π
(cos x − sin x) dx
π

13 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
a) ∫ (x 2 + 1) dx
b) ∫ (x + 1) 2 dx
c) ∫ √ x dx
d) ∫ ( √ x + 1) 2 dx
∫ ( ) 2
e)
x 2 dx
∫
f)
(− 1 )
x 3 dx
g)
h)
∫ ( 1
2x 4 )
dx
∫ ( ) 1
x 5 dx
i) ∫ 2 x dx
j) ∫ 3 2x dx
4.6 Bestemte integral – del 2
Finn disse bestemte integrala:
a) ∫ 4
0 x1,5 dx
b) ∫ e
c) ∫ 2
1
1 xe dx
(x 3 + 1 )
x 3 dx
d) ∫ 2
−2 2x dx
e) ∫ ln 3
0
e 3x dx
f) ∫ 3
0 2x+1 dx
4.7 Substitusjon – skifte av variabel
Finn integrala ved å skifte variabel frå x til u
a) ∫ cos 4x dx, u = 4x
b) ∫ sin(2x + 1) dx, u = 2x + 1
c) ∫ cos(2x − π) dx, u = 2x − π
d) ∫ sin(x/6) dx, u = x/6
e) ∫ e 2x+1 dx, u = 2x + 1
f) ∫ e 1−2x dx, u = 1 − 2x
g)
h)
∫
∫
1
x − 3 dx, u = x − 3
2
dx, u = 4 − 3x
4 − 3x
4.8 Bestemte integral
Finn dei bestemte integrala.
a) ∫ 1
0
2
2x + 1 dx
b) ∫ 1
0 3e3x dx
c) ∫ 2
0
d) ∫ 4
0
1
2 √ x + 2 dx
2x
√
x2 + 2 dx
4.9 Delvis integrasjon
Finn disse integrala. Dersom dei to delane u = u(x) og v ′ = v ′ (x) er oppgitt kan du bruke
disse.

14 Oppgåver – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
a) ∫ (x + 1)e x dx, u = x + 1, v ′ = e x
b) ∫ (x − 1) sin x dx, u = x − 1, v ′ = sin x
c) ∫ 2 ln x dx, u = ln x, v ′ = 2
d) ∫ (x − 2) cos x dx, u = x − 2, v ′ = cos x
e) ∫ xe 2x dx
f) ∫ x sin(3x) dx
g) ∫ x 2 ln x dx
h) ∫ x sin(ax) dx
i) ∫ x 2 cos x dx
j) ∫ (x 2 + x)e x dx
k) ∫ π
0
x(sin x + cos x) dx
l) ∫ ln x
x dx, u = ln x, v′ = 1 1
m) ∫ ln x dx, u = ln x, v ′ = 1

Kapittel 5
Vektorar
5.1 Vektoralgebra
Trekk saman disse uttrykka så mykje som råd:
a) 2 · (⃗a +⃗ b) + 3 · (⃗a − 2 ⃗ b)
b) −3 · (⃗a − 2⃗ b) − (2⃗a + 6 ⃗ b)
c) 4 · (−⃗a +⃗ b) − 2 · ( ⃗ b − 2⃗a)
d) 2 · (3⃗a − 2⃗ b +⃗c) − 3 · (2⃗a − 3 ⃗ b +⃗c)
La ⃗a og ⃗ b vere to vektorar som ikkje er parallelle. Undersøk om vektorane ⃗u og ⃗v er parallelle
når:
e) ⃗u = ⃗a +⃗ b ⃗v = 2⃗a + 2 ⃗ b
f) ⃗u = ⃗a − 2⃗ b ⃗v = 2⃗a − 6 ⃗ b
g) ⃗u = ⃗a −⃗ b ⃗v = −⃗a + ⃗ b
h) ⃗u = 2⃗a + 3⃗ b ⃗v = 4⃗a − 6 ⃗ b
5.2 Skalarprodukt/vinklar
La ⃗a og⃗ b vere to vektorar, der |⃗a| = 2 og | ⃗ b| = 4. La u vere vinkelen mellom vektorane. Finn
skalarproduktet når
a) u = 45 ◦ b) u = 60 ◦ c) u = 90 ◦ d) u = 120 ◦
La no |⃗a| = 3 og |⃗ b| = 5, og vinkelen u mellom vektorane ligg i intervallet 0 ≤ u ≤ 90 ◦ . Finn
vinkelen mellom vektorane når skalarproduktet er
e) 10 f) 12 g) 15 h) 6
15

16 Oppgåver – Vektorar Repetisjonskurs 2011
5.3 Delingspunkt / trekantar
a) I △ABC er AB = 6, BC = 4 og ∠B = 90 ◦ . Vi set −→ AB = ⃗a og −→ BC = ⃗ b. Eit punkt D er bestemt
ved at −→ AD = 2⃗ b.
i) Teikn trekanten, og teikn så inn punktet D.
ii) Finn −→ BD uttrykt ved⃗a og⃗ b.
iii) Finn | −→ BD|.
iv) Kva slags firkant er ABCD Du kan velje mellom kvadrat, rektangel, trapes, parallellogram,
rombe eller berre «firkant» dersom det ikkje er nokon av disse.
b) I △ABC er AB = 3, BC = 4 og AC = 5. Vi set −→ AB = ⃗a og −→ BC =⃗ b.
i) Teikn trekanten. Bruk Pythagoras’ setning til å forklare at ∠B = 90 ◦ .
ii) Finn ∠A.
iii) Eit punkt D er bestemt ved at −→ AD = 2⃗a +⃗ b. Kva slags firkant er ABCD
c) I △ABC set vi −→ AB = ⃗a og −→ AC = ⃗c. Midtpunktet på sida BC kaller vi M.
i) Forklar for deg sjølv (gjerne med ei enkel skisse) at −−→ AM = 1 2 ⃗a + 1⃗ 2b.
ii) På linja gjennom B og C ligg eit punkt D slik at −→ BD = − 2 −→ −→
3 BC. Finn AD uttrykt ved⃗a og
⃗ b.
d) I △ABC set vi −→ AB = ⃗a og −→ AC = ⃗
−→ b. Punkta P og Q er bestemt ved at BP =
3−→ −→ BC og AQ =
1
4−→ AB. I tillegg set vi S som skjæringspunktet mellom linjene AP og CQ.
i) Finn −→ AP uttrykt ved⃗a og⃗ b.
ii) Finn −→ CQ uttrykt ved⃗a og⃗ b.
iii) Forklar at det finst ukjente tal x og y slik at
−→ AS = x · −→ AP og
−→ AS =
−→ AC + y · −→ CQ
iv) Bruk oppgåve iii) til å finne −→ AS uttrykt ved⃗a og⃗ b.
4

Kapittel 1
Algebra
1.1 Potensar
a) 2 10 = 1024, a 3 , a 3n+1
b) 3 2 = 9, a 4 , a 4 · b 2 , a 1−n · b 1−2n
c) 2a n , 0
1.2 Rotuttrykk og faktorisering
a) 2 √ 2, 3 √ 2, 8 √ 2, 19 √ 2, 45 √ 3
b) 3 √ 2
c) 18 √ 6
d) √ 3 − √ 2
1.3 Potensar og rotuttrykk
a) 3, ( 3√ 27) 2 = 9, ( 4√ 81) 3 = 27
b)
√
1
√
9
= 1 3 , √
9 = 3,
( 3√ 27) 2
( 3√ 64) 2 = 32
4 2 = 9
16
c) (2 3 ) 1/2 · (2 −5 ) 1/2 = √ 2 3 ·
1
√
2 5 = 2√ 2 ·
1
4 √ 2 = 1 2 ,
8 8/6
8 10/6 = 88/6−10/6 = 8 −2/6 = 8 −1/3 = 1
3√
8
= 1 2 ,
a (−1)·(−1/2)·(1/2)·(−4) = a −1 = 1 a
1.4 Faktorisering av polynom/polynomdivisjon
a) (x + 7)(x − 2)
c) (x − 5)(x + 3)
b) (x + 3)(x − 6)
d) (x − 8)(x + 8)
1

2 Fasit – Algebra Repetisjonskurs 2011
e) x 2 + x + 1
f) x + 4
x + 2
g) Kan ikkje forkorte brøken.
h) x + 2
i) x + 1
j) x 2 − 1
k) x − 1
l) x + 4
m) x − 3
n) x + 1 + 2
x + 1
o) x + 2 + 1
x + 2
p) x − 3 − 18
x − 3
1.5 Likningar
a) x = 2
b) x = ± √ 3
c) x = 3, x = −1
d) x = −1
e) x = 6, x = 2
f) x = 2
1.6 Ulikskapar
a) x ∈ 〈−1, 2〉 ∪ 〈5, →〉
1
b) x ∈ 〈−3,
2
〉 ∪ 〈3, →〉
c) x ∈ 〈←, 1] ∪ 〈2, →〉
d) x < 2
e) x ∈ 〈−1, 0]
f) x ∈ 〈−1, 0〉 ∪ 〈2, →〉
g) x ∈ 〈←, −3〉 ∪ 〈−2, 3〉
1.7 Logaritmar
a) 2 log(a)
b) 3 log(x) + 3 log(3) eller 3 log(3x)
c) −4 log(2) + log(x)
d) log(5) + log(2) + log(x) eller log(10x)
e) 2 log(x)
f) 0
g) −2 ln x + 3 ln y
h) 2 ln y
i) x = 10 2 = 100
j) x = 10 −3 = 0, 001
k) x = 10 2 = 100
l) x = 10 −2 = 0, 01
m) x = 10 −2 = 0, 01, x = 10 2 = 100.
n) x = 10 −3 = 0, 001, x = 10 5 = 100000
o) x = 10 1/2 = √ 10, x = 1
p) x = 2. Det er fristande å bruke x = −4
også, men då får du 2 log(−4) på høgre
side i likninga, og det går ikkje!
q) x = 2. Det er fristande å bruke x = −2
også, men då får du log(−1) + log(−3) på
venstre side i likninga, og det går ikkje!
r) x = 1

3 Fasit – Algebra Repetisjonskurs 2011
1.8 Eksponentialverdiar
a) x = 2
b) x = 2
c) x = −1
d) x = ln(5)
e) x = − ln(4) = −2 ln(2)
f) x = 2 ln(3)
g) x = − ln(6)
h) x = 0
i) x = ln(6), x = ln(8)
j) x = ln(5)
ln(2)
k) x = ln(5)
ln(3)
l) x = ln(2)
ln(3)
m) x > ln(5)
ln(3)
n) x > ln(3)
ln(2)
o) x > ln(4)
p) x > ln(5)
q) x < ln(12/5) ≈ −1, 7138
ln(3/5)
Kommentar: hugs at når du ganger/deler
på begge sider av eit ulikskapsteikn med
ein faktor mindre enn 1, så vil ulikskapsteiknet
skifte retning!

4 Fasit – Algebra Repetisjonskurs 2011

Kapittel 2
Trigonometri
2.1 Vinkelmål
a) v = 2π
b) v = π/5
c) v = π
d) v = π/10
e) v = π/20
i) v = 90 ◦
f) v = π/2
j) v = 180 ◦
g) v = 45 ◦
h) v = 60 ◦
2.2 Trekantar
a) Arealet: 24 cm 2 ; AD = 7, 6 cm, BD = 3, 7 cm.
b) i) 78 cm 2 ii) 53 cm 2
c) ∠P = 30, 3 ◦
d) ∠B = 39, 6 ◦ , ∠C = 78, 4 ◦ , arealet er 28,7 cm 2
e) ∠B = 22, 1 ◦ , ∠C = 32, 9 ◦ , arealet er 1 2
AC · BC · sin C = 287, 2 cm2
( AC
f) BC = 7, 2, ∠B = cos −1 2 − BC 2 − AB 2 )
= 73, 9 ◦ , ∠C = 46, 1 ◦ .
−2 · BC · AB
g) For a = 5, 3 og a > 7, 7 er det berre råd å lage ein trekant; for 5, 3 < a < 7, 7 kan du lage to.
For a = 5, 3 får vi ein rettvinkla trekant.
2.3 Likningar – del 1
a) x = 60 ◦ , x = 300 ◦
f) x = 14, 5 ◦ , x = 165, 5 ◦
e) x = 79, 7 ◦ , x = 259, 7 ◦ i) x = 60 ◦ , x = 300 ◦
b) x = 36, 9 ◦ , x = 322, 1 ◦
g) x = 65, 4 ◦ , x = 294, 6 ◦
c) x = 17, 5 ◦ , x = 162, 5 ◦
d) x = 203, 6 ◦ , x = 336, 4 ◦
h) x = 83, 7 ◦ , x = 263, 7 ◦
5

6 Fasit – Trigonometri Repetisjonskurs 2011
2.4 Likningar – del 2
Nummereringa i denne oppgåva er heilt rar, men det er samsvar mellom oppgåva og fasiten
. . .
a) x = π/2, x = 3π/2, x = 1, 23, x = 5, 05
b) x = π/6, x = 5π/6, x = 7π/6, x = 11π/6
l) x = 3, 79, x = 5, 64
m) x = π/2, x = 3π/2
n) x = 3, 99, x = 5, 44
o) x = 1, 16, x = 5, 12
p) x = 1, 17, x = 4, 31
q) x = 2, 75, x = 3, 54
r) sin x = 0 : x = 0, x = π, sin x + 1 = 0 : x = 3π/2
s) cos x = 0 : x = π/2, x = 3π/2, 2 cos x − 5 = 0 : ingen løysingar
t) tan x = 0 : x = 0, x = π, tan x + 5 = 0 : x = 1, 77, x = 4, 91
2.5 Likningar – del 3
a) x = 0, x = 4, x = 8
b) x = 2/3, x = 10/3
c) x = −11/6, x = −5/6, x = 1/6, x = 7/6
d) x = −2/3, x = −1/6, x = 2/3, x = 5/6
e) sin x = 0 : x = 0, x = π sin x = −0, 25 : x = 3, 39, x = 6, 03
f) sin x = −0, 5 : x = 3, 67, x = 5, 76 sin x = 1/3 : x = 0, 34, x = 2, 80
g) cos x = 0, 25 : x = 1, 32, x = 4, 97 cos x = 2 : ingen løysingar
h) tan x = −3 : x = 1, 89, x = 5, 03 tan x = 2 : x = 1, 11, x = 4, 25
2.6 Likningar – del 4
a) Del på cos x i alle ledd i likninga:
sin x
cos x − cos x
cos x = 0
og bruk at sin x/ cos x = tan x:
tan x − 1 = 0
som har løysingane x = 45 ◦ , x = 225 ◦ , x = 405 ◦ , . . .
b) Oppgåva er dårleg formulert; du kan godt sjå vekk frå denne!
c) x = 5π/6, x = 11π/6

Kapittel 3
Derivasjon
3.1 Fart–veg–tid
a) v(t) = 2 b) v(t) = − 1 2
c) v(t) = 2t + 2
d) v(t) = 4t, altså er v(3) = 12 m/s.
e) v(t) = 20 ⇒ 4t = 20 ⇒ t = 5 s
f) a(t) = 4. Den er konstant lik 4 (m/s 2 )
g) v(t) = 20 − 10t v(0) = 20 v(2) = 0
(Steinen har altså nådd toppen av kulebana etter 2 sekund.)
h) a(t) = −10 m/s 2
i) v(t) = 6 + t v(3) = 9 v(5) = 11.
j) Finn først tida det tar å nå botnen av bakken:
s(t) = 80 ⇒ 6t + 0, 5t 2 = 80 ⇒ t = 8
som gjev at v(8) = 14 m/s er farten i botnen av bakken. t = −20 er også ei løysing av
likninga, men denne kan vi ikkje bruke!
k) a(t) = v ′ (t) = 1 m/s 2
3.2 Kjerneregelen
a) f ′ (x) = 6(3x + 1)
g) f ′ (x) = 12x(3x 2 + 1)
b) f ′ (x) = 10(5x − 1)
h) f ′ (x) = 3(1 + √ x) 2
c) f ′ (x) = 6(2x − 1) 2
2 √ x
d) f ′ (x) = −3(1 − x) 2 i) f ′ (x) = 6(1 + x + x 2 ) 5 (1 +
2x)
e) f ′ (x) = 20(2x + 1) 9
f) f ′ (x) = −36(1 − 3x) 11 j) f ′ x
(x) = √
x2 − 4
k) f ′ (x) = 2 − 4x3
2 √ 2x − x 4
l) f ′ (x) =
1 + x
√
1 + (1 + x) 2
m) f ′ 1
(x) =
4 √ 2 + √ x √ x
3.3 Logaritmer og eksponentialfunksjonen
7

8 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
a) f ′ (x) = 2x + 1 x
g) f ′ (x) = −e −x
m) f ′ (x) = 2xe x2 −1
f) f ′ (x) = 2e x l) f ′ (x) = 2e 2x+1 q) f ′ (x) = − 1 + 1 + 5, 7x4,7
x2 b) f ′ (x) = 1 + 2x + 1 h) f ′ (x) = 2e
x
n) f ′ (x) = 1
c) f ′ (x) = 1 i) f ′ 2 √ x e√ x
(x) = −3e −3x
x
d) f ′ (x) = 1 − 1 x
e) f ′ (x) = 1 x − 1 2
j) f ′ (x) = 1, 5x 0,5
k) f ′ (x) = 0, 5x −0,5
o) f ′ (x) = 2x + 1 x + 2xex2
p) f ′ (x) = 4, 4x 1,2 + 8, 1x 1,7
3.4 Brøken 1 x n
Finn f ′ (x).
a) f ′ (x) = 1 x 2
e) f ′ (x) = − 3
2x 2
h) f ′ 2
(x) = −
(x + 1) 3
b) f ′ (x) = 1 − 2 x 2
c) f ′ (x) = 2x − 2 + 3 f) f ′ (x) = − 1 x 2 − 1
i) f ′ (x) = − 2 2x 2
x 2 − 3x2
(x 3 − 1) 2
x 2
d) f ′ (x) = 2x + 2 x 3 g) f ′ (x) = − 1 j) f ′ 1
(x) = −
x 2 2( √ x + 1) 3
3.5 Produktregelen
d) f ′ (x) = e −x − xe −x
a) f ′ (x) = 2xe x + x 2 e x
c) f ′ (x) = −e x + (1 − x)e x f) f ′ (x) = ln(2x) + 1
b) f ′ (x) = 2 ln x + 2
e) f ′ (x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x
g) f ′ (x) = e x ln x + ex
x
3.6 Brøkfunksjonar
a) f ′ (x) = − 1 x 2
f) f ′ 5
(x) = 2x +
(x − 5) 2 j) f ′ (x) = ln x − 1
(ln x) 2
b) f ′ (x) = 1 x 2
g) f ′ 3
(x) = −
c) f ′ 1
(x − 2) 2 k) f ′ (x) = 1 − x ln x
xe x
(x) = −
(x − 1) 2
d) f ′ 2
h) f ′ 3
(x) =
(x) =
(2x + 1) 2
(1 − 2x) 2
l) f ′ (x) = e3x (3x − 1)
x 2
e) f ′ 1
(x) = 1 +
(x − 2) 2 i) f ′ (x) = ex − xe x
m) f ′ (x) = 2 ln x − 2
e 2x (ln x − x) 2

9 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
3.7 Utseende til ein graf
a) f ′ 2
(x) = −
(x + 2) 2 har ingen nullpunkt, altså har grafen ikkje topp- eller botnpunkt. f ′ (x)
er alltid negativ, difor er grafen avtar grafen alltid.
b) f ′ (x) = − 10x
(x 2 + 5) 2 har eitt nullpunkt i x = 0. f ′ (x) er positiv for x < 0 og negativ for x > 0,
altså har grafen eit toppunkt i x = 0.
c) f ′ (x) = ln x + 1 − 1 har eitt nullpunkt i x = 1 (det er ikkje mogleg å finne ved symbolsk
x
rekning; du kan berre finne det ved «prøving og feiling»). Den deriverte er negativ for x < 1
og positiv for x > 1, så det er eit botnpunkt.
d) f ′ (x) = xe x har eitt nullpunkt (i x = 0), og er negativ for x < 0 og positiv for x > 0. Altså er
det eit botnpunkt.
3.8 Såpeboblar
Dersom r er ein funksjon av t kan vi setje V(t) = 4 3 πr(t)3 , og den deriverte vert
V ′ (t) = 4πr 2 r ′ (t)
Vi veit at V ′ (t) = 10, og då vert
r ′ (t) = V′ (t)
4πr 2 = 10
4πr 2
Vi får då r ′ (1) = 10/(4π1 2 ) = 0, 80 (cm/s) og r ′ (5) = 0, 03 cm/s.
3.9 Bakteriekultur
a) Tilveksten er bestemt av den deriverte: f ′ (t) = −0, 072t 2 + 0, 72t. Vi får då f ′ (3) ≈ 1, 512,
f ′ (8) ≈ 1, 152 og f ′ (12) ≈ −1, 728.
b) Det er flest bakteriar når tilveksten er 0 (etter det vert tilveksten negativ, og det vert færre
bakteriar), altså når f ′ (t) = 0. Vi løyser likninga:
−0, 072t 2 + 0, 72t = 0 ⇒ −0, 72t(0, 1t − 1) = 0 ⇒ t 1 = 0 ∨ t 2 = 10
Ut frå føresetnadane i problemformuleringa kan vi berre ha t mellom 1 og 17, så t 2 = 10 er
einaste løysing.
NB! Vi kan også argumentere for at det er færrast bakterier når tilveksten er lik 0. Vi manglar
difor eitt viktig poeng for at argumentasjonen ovanfor er rett. Kva poeng er det
c) Tilveksten er størst når den deriverte av tilveksten er lik 0, altså når f ′′ (t) = −0, 144t + 0, 72 =
0, eller når t = 5. Dette er også ein «lovleg» verdi for t, så vi kan bruke den.
d) No må vi løyse likninga −0, 024t 3 + 0, 36t 2 + 15 milliardar = 0. Dette kan vi (innanfor vårt
pensum) ikkje gjere for hand; vi må bruke kalkulator / datamaskin. Teikn til dømes ein graf
Uansett korleis du gjer det får du t ≈ 16, 53 timar, altså litt over 16 timar og 31 minutt.
«Seksten og ein halv time» er presist nok svar.

10 Fasit – Derivasjon Repetisjonskurs 2011
3.10 Geometri
Først må vi finne ein samanheng mellom x og y. Det kan vi gjere ved å teikne inn nokre hjelpelinjer
og -bokstavar i figuren:
C
6 m x
y
E
A
10 m
D
B
Ut frå teorien om formlike trekantar ser vi no at DE
AC = DB , eller med x og y:
AB
y 5 − 0, 5x
=
6 5
⇒ y = 6 − 0, 6x.
Arealet av vindauga er A(x) = x · y = x · (6 − 0, 6x) = 6x − 0, 6x 2 , og vi kan no derivere A(x)
og setje denne lik 0 for å finne størst areal:
A ′ (x) = 6 − 1, 2x og A ′ (x) = 0 ⇒ x = 5 (og y = 3)

Kapittel 4
Integrasjon
4.1 Antiderivert
Vis a)–d) ved å derivere kvar funksjon F(x).
e) F(x) = √ x + K
f) F(x) = e x + 1 2 x2 + K
g) F(x) = x 2 + x 4 + K
h) F(x) = x 3 − 2e x + K
i) F(x) = sin x + x 2 + K
j) F(x) = 2x + cos x + K
4.2 Ein bestemt antiderivert
a) F(x) = x 2 + 2x + 2
b) F(x) = x 3 − 3x + 4
4.3 Ubestemte integral – del 1
a) 3x + K
b) x + 1 2 x2 + K
c) 3x 2 − 2x + K
d) x + 1 2 x2 + 1 3 x3 + 1 4 x4 + K
e) x 3 − x + K
f) 1 2 x2 + ln x + K
g) 3 ln x + K
h) 6 ln t + K
i) x − ln x + K
j) 1 2 e2x + K
k) 1 4 e4x + K
l) e x − e −x + K
m) Bruk produktregelen for derivasjon, og trekk saman svaret så mykje som råd.
n) − 1 2
cos 2x
o) 1 3
sin 3x
p) − cos x − sin x
q) sin x + cos x
r) −2 cos x
s) − 3 2
sin 2x
11

12 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
4.4 Bestemte integral
a) Du skal få same svaret ved trekantrekning eller integrasjon: 17,5 ☺
b) 76/3 ≈ 25, 333 . . .
c) 1
d) 9
e) 12
f) 2
g) −6
h) 0
i) 3
j) 5, 5
k) −144
l) 8
m) 609
n) 2
o) 0
p) 0
q) 0
r) 0
s) 4
t) 0
u) 2
4.5 Ubestemte integral – del 2
a) 1 3 x3 + x
g) − 1
6x 3
b) 1 3 x3 + x 2 + x
c) 2 3 x3/2
h) − 1
4x 4
d) 1 2 x2 + 4 3 x3/2 + x
2 x
i)
e) −2/x
ln 2
1
3 2x
f)
2x 2 j)
2 ln 3
4.6 Bestemte integral – del 2
a) 64/5 = 12, 8
b) ee+1 − 1
e + 1
c) 33/8 = 4, 125
≈ 10, 80971199307218
d)
15
≈ 5, 41
4 ln 2
e) 26/3 ≈ 8, 67
f)
14
≈ 20, 20
ln 2
4.7 Substitusjon – skifte av variabel
d) −6 cos(x/6)
a) 1 4 sin(4x)
c) − 1 2 sin(2x − π) f) − 1 2 e1−2x
b) − 1 2
cos(2x + 1)
e) 1 2 e2x+1

13 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011
g) ln(x − 3) h) − 2 3
ln(4 − 3x)
4.8 Bestemte integral
a) ln 3
b) e 3 − 1
c) 2 − √ 2
d) 4 √ 2
4.9 Delvis integrasjon
a) xe x
sin(ax) − ax cos(ax)
h)
a 2
b) sin x + (1 − x) cos x
i) (x 2 − 2) sin x + 2x cos x
c) 2x ln x − 2x
j) (x
d) (x − 2) sin x + cos x
2 − x + 1)e x
e) 1 4
(2x − 1)e2x
k) π − 2
f) 1 9
(sin 3x − 3x cos 3x)
l) 1 2
(ln x)2
g) 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 m) x ln x − x

14 Fasit – Integrasjon Repetisjonskurs 2011

Kapittel 5
Vektorar
5.1 Vektoralgebra
a) 5 −→ a − 4 −→ b b) −5 −→ a c) 2 −→ b d) 5 −→ b − −→ c
e) Parallelle: −→ v = 2 −→ u
f) Ikkje parallelle
g) Parallelle: −→ v = − −→ u
h) Ikkje parallelle
5.2 Skalarprodukt/vinklar
a) 4 √ 2
b) 4
c) 0
d) −4
e) 48, 19 ◦
f) 36, 87 ◦ g) 0 ◦
h) 66, 42 ◦
5.3 Delingspunkt / trekantar
a) ii) 2 −→ b − −→ a
iii) 10
iv) Trapes (dei to sidene AD og BC er parallelle; dei andre sidene kan vere kva som helst).
b) i) Dei tre sidene oppfyller likninga 3 2 + 4 2 = 5 4 , og det gjeld berre for rettvinkla trekantar.
I tillegg er B hjørnet mellom dei to katetane, difor er det ∠B som er 90 ◦ .
ii) 53, 13 ◦
iii) Parallellogram (to og to sider er parallelle).
c) ii) 5 3−→ a −
2
3−→ b
d) i) −→ AP = 1 4−→ a +
3
4−→ b
ii) −→ CQ = 1 4−→ a −
−→ b
iii) Linjene −→ AS og −→ AP er parallelle, og då må −→ AS = x · −→ AP for ein eller annan verdi x.
Tilsvarande argument for det andre uttrykket, men der må du først gå frå A til C.
15

16 Fasit – Vektorar Repetisjonskurs 2011
iv) Dersom du set inn for −→ AP og CQ −→ i uttrykka i iii) får du dei to likningane −→ AS = x · 1
4−→ a +
x · 3 −→ −→
4 b og AS = y · 1
−→ −→
4−→ a + (1 − y) b . Sidan begge to har AS på ei side av likhetsteiknet
kan du setje høgresidene like kvarandre, og du får
x · 1
4
−→ a + x · 3
4
−→ 1 b = y ·
−→ −→ a + (1 − y) b
4
Ser du no på det som høyrer til −→ a på begge sider, og det som høyrer til −→ b på begge
sider, får du dei to likningane
og
x · 1
4 = y · 1
4
x · 3 = (1 − y)
4
Frå disse finn du så at x = 4 7 (du treng ikkje y-verdien, men den er også y = 4 7 dersom
du lurte på det). Set du så dette inn i den første likninga −→ AS = x · 1 −→
4 a + x · 3
4−→ b får du
−→ 1 AS =
−→ 3−→ a + b
7 7