Løsningsforslag eksamen R2 - itslearning

c) Anta at x er et toppunkt for f . Da er funksjonsverdien i dette punktet
f (x) = 5e −0,2x (sin x + cos x)
Vi så i oppgave 4d) at det neste topppunktet vil forekomme ved x + 2π slik at
funksjonsverdien her er
f (x + 2π) = 5e −0,2(x+2π) (sin(x + 2π) + cos(x + 2π))
= 5e −0,2x e −0,4π (sin x + cos x)
= e −0,4π · 5e −0,2x (sin x + cos x)
= e −0,4π · f (x)
= 0,2846 · f (x)
Setter vi k = e −0,4π = 0,2846 ser vi at funksjonsverdien i et hvilket som helst
toppunkt er akkurat k ganger funksjonsverdien i det foregånde. Toppunktene
utgjør dermed en geometrisk følge.
Det femte leddet i følga blir
a 5 = a 1 · k (5−1) = 6,164 · 0,2846 4 = 0,04043
d) I oppgave c) fant vi at k = 0,2846. Siden dette oppfyller
konvergerer rekka. Summen blir da
Oppgave 6
Alternativ I
−1 < k < 1
s = a 1
1 − k = 6,164
1 − 0,2846 = 8,616
a) Setter v = y ′ og a = v ′ = (y ′ ) ′ = y ′′ inn i likningen
−b · v − k · y = m · a
−b · y ′ − k · y = m · y ′′
my ′′ + by ′ + ky = 0
y ′′ + b m y′ + k m y = 0
10