Løsningsforslag eksamen R2 - itslearning

c) Løser ved integrerende faktor
Initialkravet gir
y ′ − 2y = 3
e −2x (y ′ − 2y) = 3 · e −2x
y ′ e −2x − 2ye −2x = 3 · e −2x
(y · e −2x) ′
= 3 · e −2x
ˆ
y · e −2x = 3 · e −2x dx
y · e −2x = − 3 2 · e−2x + C
y = − 3 2 + C · e2x
y(0) = 2
− 3 2 + C · e2·0 = 2
slik at løsningen blir
C = 2 + 3 2 = 7 2
y = 7 2 · e2x − 3 2
d)
1. Viser fra høyre til venstre
1
2 (cos(u − v) + cos(u + v)) = 1 (cos u · cos v + sin u · sin v + cos u · cos v − sin u · sin v)
2
2. Skriver først om
= 1 (cos u · cos v + cos u · cos v)
2
= 1 (2 cos u · cos v)
2
= cos u · cos v
(cos x) 2 = cos(x) · cos(x)
= 1 (cos(x − x) + cos(x + x))
2
= 1 (cos 0 + cos 2x)
2
= 1 (1 + cos 2x)
2
2