Litt av matematikken bak solur - Nordnorsk vitensenter

Anne BruvoldLitt av matematikken bak solur9. Utregning av deklinasjonskurver ved bruk av kjeglesnitt.Dette kapittelet presenterer en lite praktisk fremgangsmåte, men tas likevel med da det tar for segkjeglesnitt som er årsaken til at jeg oppdaget solurenes fascinerende verden.Hvis vi tar utgangspunkt i et horisontalt solur medpolrettet eller loddrett viser, vil solstålene tegne endobbelkjegle i løpet av et døgn, med toppunkt iviserens topp. Aksen til dobbelkjeglen peker mothimmelens nordpol. Dobbeltkjeglen snittes avhorisontalplanet (urskiva) slik at toppen av viserensskygge beskriver en kurve formet som et kjeglesnitt iløpet av døgnet. Deklinasjonskurvene i solur medhorisontal urskive (og alle med plan urskive) er medandre ord formet som kjeglesnitt.Vi skal nå se på hvordan vi kan bruke teorien frakjeglesnitt for å beregne deklinasjonskurvene.Med et koordinatsystem x", y", z", hvor z" erdobbelkjeglens akse, og x" peker mot øst, paralleltmed horisontalplanet, vil kjegles flate beskrives avformelenz"x =2 2 2" + y"k z"22 1hvor k = og δ ∈ 0°, 23, 5°] er solas2tan δdeklinasjon. Deklinasjonen varierer egentlig mellom-23,5° og 23,5°, men positive og negative verdier vilgi sammenfallende løsninger. δ = 0° gir ingen kjegleog vil bli behandlet i eget punkt senere. Herkonsentrerer vi oss om de positive verdiene.δy"Et koordinatsystem x', y', z', er rotert en vinkel φ i forhold til x", y", z", slik at z' er parallell medhorisontalplanet og peker mot nord, y' loddrett ned i bakken og x' parallell med x".Transformasjonen kan beskrives med følgende likninger:x"= x'y"= ay'+ bz'z"= az'−by'hvor a = cosφ, = sinφnordlige bredde.b og ∈ [ 0°, 90°]φ er stedetsδφz"z'Kjegleformelen blir med denne transformasjonen slik:2 2 22 2 2 2 2 2x ' + a y'+ 2aby'z'+ b z'= k a z'−2kaby'z'+k2b2y'2y'y"22. februar 2004 Side 16