Ficha Preparação Exame

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TEMA1: NÚMEROS E CÁLCULO
1. Assinala com um V ou F:
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2. Na tabela abaixo, estão definidas as proporções em que se deve misturar composto (adubo
resultante da transformação de matéria orgânica) na terra, para alguns tipos de plantas.
O clube de Jardinagem da escola da Margarida está a renovar os espaços verdes. Construiu um
Canteiro circular no jardim e colocou plantas novas em vasos, para pôr no átrio da escola.
2.1. Quantos litros de composto devem utilizar no canteiro circular?
2.2. Para envasar as novas plantas, os alunos escolheram 6 vasos como os da figura. Quantos
Metros cúbicos de composto, terra e areia são necessários?
3. O Carlos anda 6 km por dia. Cada passo do Carlos corresponde a 52 cm. Numa semana (7 dias)
o Carlos anda aproximadamente:
(A) 8,0769×10 4 passos (B) 8,0760×10 5 passos (C) 2,184×10 8 passos (D) 1,153×10 3 passos
4. O Ponto A tem de abcissa:
Ficha Extra– Matemática 9º ANO
- PREPARAÇÃO PARA O EXAME NACIONAL -
5. O Fernando e a irmã vivem à beira de uma estrada que conduz a um Castelo situado a 5 km de
distância. Ambos trabalham no Castelo, ela no período da manhã e ele no período da tarde.
Cruzam-se sempre no caminho para que ela lhe possa entregar a chave do Castelo. Ele sai da casa
às 12 horas e demora 15 minutos a fazer cada quilómetro. À mesma hora a sua irmã sai do Castelo
e dirige-se para casa demorando 20 minutos para percorrer cada quilómetro.
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a. A que horas se cruzam?
b. Quando se cruzam, a que distância está o Fernando do Castelo?
c. Qual te parece ser o horário de visita do Castelo?
6. Considera o conjunto A = [ − 7 ; 9[ ]− 3 ; + [ .
a. Assinala com um X, qual dos intervalos representa A.
(A) [ 7 ; + [ (B) [ − 3 ; 9 [ (C) ]− 3 ; 9] (D) ]− 3 ; 9[
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b. Assinala com um X, qual dos números seguintes pertence ao conjunto A. Apresenta todos os
cálculos que efectuares.
7. Considera o intervalo ]− 7; 17[.
7.1. Indica o maior número natural pertencente a este conjunto.
7.2. O número designado pela expressão pertence ao intervalo dado?
8.
9.
10. Indica um valor aproximado, por defeito e outro por excesso com erro inferior a 0,001 dos
seguintes números:
11. A qual dos intervalos de números reais, que se apresentam a seguir pertence o número
representado pela expressão
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12. A fracção corresponde a uma dízima:
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(A) infinita periódica de período do 75. (B) finita.
(C) infinita periódica de período 4. (D) infinita não periódica.
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13. Indica um valor aproximado, por defeito e outro por excesso com erro inferior a 0,001 dos
seguintes números:
a) b)
14.
15.
16. Sabe-se que . Qual dos intervalos seguintes poderá ser o intervalo
I?
17. No estudo para o teste de Matemática, o Pedro e Ana, depararam-se com um item no qual
ambos tiveram dificuldades. Ajuda-os a chegar às soluções nas alíneas seguintes, indicando todas
as etapas e cálculos efectuados.
17.1. Será que o número dado pela expressão pertence ao intervalo
17.2. Indica maior número inteiro pertencente ao intervalo A.
17.3. Sabendo que indica em intervalos de números reais A B e indica um número irracional não
positivo que lhe pertença. Mostra como chegaste à resposta.
18. O Manuel faz colecção de berlindes. Um dia levou-os todos para a praia. Contou-os e
entreteve-se a construir triângulos. Contou 175 berlindes e construiu uma sequência de
triângulos equiláteros, tal como estão representados nas figuras.
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18.1. Com os 175 berlindes, quantos triângulos da sequência conseguia o Manuel
construir? Explica a tua resposta, indicando o número de berlindes do último triângulo e
o número de berlindes que sobravam.
18.2. Se tivesse decidido construir um só triângulo equilátero, qual seria o número
máximo de berlindes que devia colocar em cada lado? Explica a tua resposta.
19. Na revista Visão de 5
de Junho de 2008 foi
publicada a seguinte
notícia:
“ Entre 28 de Abril e 25
de Maio, 70% dos
pedidos de portabilidade
(mudança de rede,
mantendo o número de
telefone) feitos pela ZON foram rejeitados. A situação arrasta-se desde o início do ano.”
Tendo em atenção a informação apresentada na notícia, responde às seguintes questões:
19.1. Qual foi a média diária do número de pedidos rejeitados entre 28 de Abril e 25 de
Maio?
19.2. Quantos pedidos foram rejeitados por falta de capacidade entre 28 de Abril e 25 de
Maio?
19.3. Em relação aos pedidos efectuados, qual foi a percentagem de pedidos rejeitados
por problemas relacionados com erros na morada e/ou na identificação do titular?
20. O Pedro e o seu irmão mais novo recebem uma mesada. Actualmente a mesada do
Pedro é superior à do irmão em 50 euros. Como partiram o vidro de uma janela quando
estavam a jogar à bola, a mãe decidiu penalizá-los retirando 15% das suas mesadas, até
totalizar o valor gasto com a substituição do vidro.
20.1. Durante os meses em que estão a pagar a substituição do vidro, a diferença em
euros entre a mesada do Pedro e a do irmão mantém-se? Justifica a tua resposta.
20.2. O Pedro e o irmão vão estar a pagar a substituição do vidro ao longo de 6 meses.
Se tivessem decidido prescindir das mesadas um mês, teriam pago o valor total da
reparação e ainda sobravam 9 euros. Qual era o valor da mesada do Pedro e da do irmão
antes da penalização? Apresenta todos os cálculos que efectuares.
21. O número de glóbulos vermelhos existentes num litro de sangue do João é de 5100
000 000 000. Após duas semanas de estágio de futebol, o número de glóbulos vermelhos
existentes num litro de sangue do João aumentou 5%.
Qual é o número de glóbulos vermelhos existentes num litro de sangue do João?
Escreve o resultado em notação científica.
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22. Uma companhia de seguros levantou dados sobre o número de carros roubados
numa determinada cidade. Constatou-se que são roubados cerca de 150 carros por ano.
O número de carros da marca A é o dobro da marca B. Juntas, as marcas A e B são 60%
do número total de carros roubados. Quantos carros da marca B foram roubados?
23. A Rita comprou umas calças e duas camisolas iguais por 110 euros. Passados uns
dias, a Rita entrou na mesma loja e verificou que o preço das calças tinha um desconto
de 50% e cada camisola tinha um desconto de 20%. Fez as contas e verificou que podia
ter economizado 34 euros se tivesse aproveitado a época de descontos. Determina o
preço das calcas e de cada camisola que a Rita comprou.
24. O Fernando e a irmã vivem à beira de uma estrada que conduz a um Castelo situado
a 5 km de distância. Ambos trabalham no Castelo, ela no período da manhã e ele no
período da tarde. Cruzam-se sempre no caminho para que ela lhe possa entregar a chave
do Castelo. Ele sai da casa às 12 horas e demora 15 minutos a fazer cada quilómetro. À
mesma hora a sua irmã sai do Castelo e dirige-se para casa demorando 20 minutos para
percorrer cada quilómetro.
a) A que horas se cruzam?
b) Quando se cruzam, a que distância está o Fernando do Castelo?
c) Qual te parece ser o horário de visita do Castelo?
25. Considera o conjunto A = [-7 ; 9[ ]-3 ; + [ .
a) Assinala com um X, qual dos intervalos representa A.
(A) [ - 7 ; + [ (B) [ - 3 ; 9 [ (C) ] 3 ; 9] (D) ] 3 ; 9[
b) Assinala com um X, qual dos números seguintes pertence ao conjunto A. Apresenta
todos os cálculos que efectuares.
26. Considera a sequência:
a. Desenha a figura seguinte.
b. Determina uma expressão geradora para o número de:
(A) Quadrados verdes;
(B) Quadrados brancos;
(C) O número total de quadrados.
27.
Uma grande comitiva acompanhará os jogadores durante este Campeonato. Sabe-se que
no avião da TAP fretado para levar e trazer a Selecção, 2/3 dos ocupantes são pessoas
ligadas ao futebol português,1/5 são elementos da equipa técnica e médica e os
restantes 24 são os jogadores convocados.
Quantas pessoas viajarão para África do Sul?
(A) 36 pessoas ligadas ao futebol (B) 120 pessoas ligadas ao futebol
(C) 120 médicos e técnicos (D) 156 pessoas no total
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TEMA2: GEOMETRIA
28. No dia 20 de Maio de 2005, mulheres de
todos os cantos do país formaram "A mais Bela
Bandeira do Mundo", no Estádio Nacional, para
manifestarem o seu apoio à selecção nacional no
Mundial de Futebol 2006. Esta iniciativa, em que
participaram cerca de 18 700 mulheres, deu
origem à maior bandeira humana mundialmente
constituída, facto de que resultou uma nova
entrada no Guiness Book of Records. O campo
relvado de futebol do Estádio Nacional tem de
dimensões 105 X 68, em metros, e foi
completamente ocupado. Se tencionássemos fazer outra bandeira humana
geometricamente semelhante a esta, mas com o dobro do número de pessoas, isto é, com
o dobro da área ocupada, quais seriam as medidas aproximadas da nova bandeira?
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29.1.
29.2.
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35. O esquema abaixo representa parte da grua da figura. Sabe-se que BD= 4m
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35.1. Justifica que o triângulo [CDE] é isósceles.
35.2. Apresenta, em metros, o valor de BC , arredondado às décimas.
35.3. Para reparar uma avaria na grua, é necessário ligar os pontos D e E através de um
cabo de aço. Para o efeito existe um cabo com 5 metros de comprimento. Verifica se esse
cabo tem comprimento suficiente para ligar os pontos D e E.
36.
Na figura está representado um cilindro inscrito num cone.
Sabe-se que: = 25 cm, = = 3 dm
a) Determina a área da superfície lateral do cilindro.
Apresenta o resultado em centímetros quadrados.
b) Mostra que o volume do cilindro é 37,5% do volume do
cone.
37.
Na figura está representado um reservatório para armazenar
combustível. Uma parte do reservatório é cilíndrica e a outra tem a
forma de um tronco de cone. Atendendo às dimensões indicadas na
figura, determina:
a) o diâmetro da parte superior do reservatório;
b) a capacidade, em litros, da parte do reservatório
correspondente ao tronco de cone. Apresenta o resultado aproximado
às unidades.
c) Determina a quantidade de combustível, em litros, que há no
reservatório se a superfície de combustível estiver a 30 cm da base
do reservatório. Apresenta o resultado arredondado à unidades.
38.
Na figura estão representados um cubo e uma pirâmide.
Sabe-se que:
- os vértices da base da pirâmide são os pontos médios
das arestas do cubo a que pertencem;
- o vértice V da pirâmide coincide com o centro da face
[EFGH] do cubo;
- a área da base da pirâmide é 2 18 cm .
38.1. Mostra que a área de cada uma das faces do cubo é
o dobro da área da base da pirâmide.
38.2. Determina a altura da pirâmide;
38.3. Determina o volume do cubo que não faz parte da
pirâmide.
38.4. Utiliza as letras da figura e indica:
(A) dois planos concorrentes, não perpendiculares;
(B) uma recta perpendicular ao plano QRS.
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39.
Na figura A podes observar um suporte de uma
estátua que se encontra na escola da Ana. Na figura
B, está representado um cone de revolução que
suporta a estátua.
12.1. Mostra que x = 1,8 m.
12.2. Mostra que, com duas casas decimais, a altura
do tronco do cone é igual a 0,85m.
12.3. Determina, com duas casas decimais, o volume
do tronco do cone.
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40. O é o centro da circunferência. As rectas XP e XQ são tangentes
à circunferência nos pontos P e Q, respectivamente.
Qual é a amplitude dos ângulos a , b e c ? Indica todos os cálculos
que efectuares e todas as justificações necessárias.
41. Calcula a área que se pode gravar num
disco compacto (CD) e indica a percentagem da área total do disco
que é utilizada para esse efeito.
42. A caixa da figura tem a forma de um prisma octogonal. As
bases foram construídas a partir de quadrados com 12 cm de lado, sendo-lhes retirados
os triangulas dos cantos, como é sugerido na figura. A altura do prisma é de 10 cm.
a)Qual a área da base da caixa?
b) Pretende-se forrar a caixa com papel autocolante colorido. Qual a quantidade de
papel necessária para o fazer?
c) Qual é a capacidade da caixa?
43.
Considera um jardim com a seguinte forma ( a
figura não está construída à escala). Determina a
área total do jardim, apresentando o resultado
aproximado às centésimas.
Figura A Figura B
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44. Observa a figura seguinte. Sabendo que Q=15º
e que o raio da circunferência é de 1 cm, determina:
a) a altura do triângulo [OPQ];
b) a amplitude do ângulo x ;
c) a área pintada a vermelho.
45.
46. Um castelo está cercado por um fosso, cheio de
água, sendo a entrada possível através de uma ponte
levadiça com 4 m de comprimento (que na horizontal
tapa o fosso). Observa a figura e calcula:
(a) A profundidade do fosso.
(b) (b) A altura h da muralha do castelo.
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Observa a piscina que tem a forma de
um prisma recto.
(a) Calcula o número de litros de água
que tem a piscina.
(b) Entraram na piscina 16 nadadores
cujo «peso» médio é de 60 kg. Se o
volume da água deslocada pelos
nadadores for igual ao seu «peso» em
quilogramas, diz quantos centímetros
subiu a água na piscina.
47.
Sendo x um ângulo agudo e cos x = 0,5, determina, sem utilizar a calculadora:
(a) sen x (b)2 tg x (c) 2 cos x + 3 tg x
48.
O topo de um prédio com 25 metros de
altura é visto dos pontos A e B segundo
ângulos de elevação de 36º e 27º.
Qual é a distância entre os pontos A e
B? (Apresenta o resultado aproximado às
centésimas e nos cálculos intermédios
conserva três c.d.)
49. O quadrado [ABCD] representado na figura tem 236 cm2
de área. Determina o valor exacto:
49.1. do perímetro do círculo inscrito no quadrado;
49.2. do raio do círculo circunscrito ao quadrado;
49.3. da área da região colorida.
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50.
Na figura estão representadas duas pirâmides
quadrangulares regulares e um cubo. Uma das faces do
cubo está contida na base da pirâmide maior e o vértice T
da pirâmide menor coincide com o centro de uma das faces
do cubo, como é sugerido pela figura.
50.1. Utiliza as letras da figura e indica:
a) uma recta estritamente paralela à recta JH;
b) um plano perpendicular ao plano NPQ;
c) uma recta perpendicular ao plano FGH;
d) uma recta concorrente com o plano ABV;
e) uma recta concorrente com o plano GHI, mas não
perpendicular;
f) uma recta não complanar com a recta EJ.
50.2. Em relação à pirâmide maior sabe-se que o
perímetro da base é 40 cm e a altura é 15 cm. Determina
com duas casas decimais o perímetro e a área do triângulo
[BCV].
51. Em homenagem aos agricultores de uma localidade foi
colocado numa rotunda um espigueiro, como mostra a
fotografia da Fig.1. Na Fig. 2 está um esquema do espigueiro
fotografado. As medidas de comprimento assinaladas na Fig.2
estão expressas em metros.
51.1. A parte do espigueiro para armazenar
cereais corresponde ao tronco de uma
pirâmide rectangular recta, conforme é
representado na figura 2.Determina o
volume desse tronco de pirâmide.
51.2. Utilizando as letras da Fig. 2, indica:
(A) um plano perpendicular ao plano que contém a face [ABCD] ;
(B) uma recta paralela ao plano que contém a face [ADEF];
(C) uma recta que não intersecte o plano CDE.
52.
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53. Considera um triângulo [ABC], rectângulo em B e cujos catetos
são [AB] e [BC]. Admite que se tem AB =1 e x designa a amplitude do
ângulo BAC (ângulo agudo).
Mostra que o perímetro do triângulo é dado por
54.
55.
d)
56.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
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TEMA3: FUNÇÕES E ÁLGEBRA
57.
Observa o gráfico que relaciona o
comprimento real com o comprimento visto
ao microscópio.
57.1. O gráfico representa uma situação
de proporcionalidade directa? Qual a
constante de proporcionalidade?
57.2 Escreve a expressão analítica da
função f.
57.3 Indica:
(a) A imagem de 1,5.
(b) O objecto que tem por imagem 180.
57.4. Traduz em linguagem corrente a expressão: f (2) = 120.
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58.
Considera a função g: Q Q, na qual cada objecto é multiplicado por 3 e somado
com 1.
58.1. Escreve a expressão analítica de g
58.2 Calcula
(a) g(-1) (b)
58.3 Calcula x de modo que g(x) = 2.
58.4 Representa graficamente a função.
59.
Escreve a expressão analítica e representa graficamente a função afim cujo gráfico é
uma recta que:
59.1 tem declive -2 e ordenada na origem 5.
59.2 tem declive e contém o ponto de coordenadas (0;2).
60.
Escreve a expressão analítica de uma função:
60.1 de proporcionalidade directa cujo gráfico passe pelo ponto A = (− 2 ; 6).
60.2 cujo gráfico é uma recta paralela à função indicada em 7.1. e cuja ordenada na
origem seja .
61.
Observa o gráfico das funções a, b, c e d.
61.1 Para cada uma das rectas, indica a
ordenada na origem.
61.2 Qual das funções é de proporcionalidade
directa? Justifica.
61.3 Escreve a expressão algébrica das funções
a, b, c e d. Justifica cuidadosamente a tua
resposta.
61.4 O ponto (-10; 20) pertence ao gráfico da
função b? Justifica.
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62.
O aluguer de um tractor implica um custo fixo de 10 euros, mais 12 euros por cada hora
de utilização.
62.1. Completa a seguinte tabela.
62.2. O Sr. Oliveira alugou o tractor por 435
minutos. Quanto pagou o Sr. Oliveira?
62.3. Se tiver de pagar 154 euros, quantas horas o Sr. Oliveira pode utilizar o tractor?
62.4. Representa a função por uma expressão algébrica e diz se traduz uma situação de
proporcionalidade directa. Justifica a tua resposta.
63.
Na confecção de um determinado bolo, a quantidade de farinha, f , é directamente
proporcional à quantidade de açúcar utilizado, a , de acordo com a informação da tabela.
63.1. Indica a constante de
proporcionalidade.
63.2. Escreve uma expressão analítica
que te permita relacionar a quantidade de farinha com a quantidade de açúcar.
63.3. Completa a tabela.
64.
Dois reservatórios A e B têm igual capacidade. O
reservatório A está completamente cheio de água e o
reservatório B está vazio. No mesmo instante, o que está
vazio começa a ser cheio e o que está cheio começa a
esvaziar. Os gráficos das funções f e g da figura
representam a relação entre o tempo e a quantidade de
água em cada um dos reservatórios.
64.1. Qual das funções pode corresponder ao
esvaziamento do reservatório A?
64.2. Qual é a capacidade, em litros, de cada um dos
reservatórios?
64.3. Quanto tempo foi necessário para:
a) encher o reservatório B?
b) esvaziar o reservatório A?
64.4. Nos primeiros 4 minutos, que quantidade de água
foi libertada do reservatório A?
65.
O preço a pagar a um técnico de uma empresa pelo serviço prestado ao domicílio é
calculado da seguinte forma:
- 23,00 € pela deslocação;
- 10,00 € por cada hora de trabalho.
65.1. Escreve uma expressão que relacione o preço, p com o número de horas de
trabalho, t .
65.2. O Sr. Silva necessitou dos serviços do técnico para efectuar uma reparação. No
final fez o pagamento com uma nota de 50 € e recebeu de troco 2 €. Determina
quanto tempo demorou o técnico a fazer a reparação?
66. O par (2, 1) é solução da equação.
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67.
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68. A trajectória descrita por uma atleta, quando salta de uma prancha para uma
piscina, é dada por, sendo x a distância, em metros, na
horizontal, da mergulhadora à extremidade da prancha e
h(x) a altura, em metros, da mergulhadora relativamente ao solo onde está colocada a
prancha.
a. Determina a altura da prancha.
b. Determina h(5) e interpreta o resultado no contexto do problema.
c. Determina a altura máxima atingida pela mergulhadora.
d. Determina a distância, na horizontal, da prancha ao ponto onde a atleta entra na
água. Apresenta o resultado em metros com aproximação às centésimas.
e. Resolve a equação h(x)=10 e interpreta as soluções no contexto do problema.
69.Na figura seguinte, o segmento de recta [CP] representa o
gráfico de uma função cujo domínio é o intervalo [0,4]; B é um
ponto que se desloca ao longo do segmento [CP]; [AB] é paralelo
ao eixo Oy.A unidade de medida considerada no sistema de
eixos é o centímetro.
a. Mostra que a função f é definida analiticamente, no seu
domínio, por f (x) = x + 3.
b. Prova que a área do trapézio [OABC] é dada, em função
da abcissa, x, de B por .
c. Determina analiticamente a imagem de x, por f, para o
qual a área do trapézio é 18 cm2.
70. Numa prova de ciclismo, os concorrentes têm de percorrer
60 quilómetros. O gráfico seguinte representa a
velocidade média, em km/h, e o tempo, em horas, gasto
por cada ciclista.
(a) Justifica que existe proporcionalidade inversa entre
as grandezas v e t.
(b) Qual a constante de proporcionalidade e qual o seu
significado?
(c) Escreve a expressão analítica da função.
(d) Se a velocidade média fosse de 20 km/h, que tempo
demorava o ciclista a fazer o percurso?
(e) Se o ciclista demorou 12 horas a fazer o percurso,
qual a sua velocidade média?
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71. Um automobilista circula a uma velocidade média de 60 km/h, percorrendo a
distância entre duas cidades em três horas. Se na viagem de regresso fizer o mesmo
trajecto, à velocidade média de 48 km/h, quantas horas vai demorar?
(A) 2,5 (B) 5,25 (C) 3,75 (D) 4,5
72. A consagrada marca desportiva Nike, fabricou as chuteiras dos jogadores da
selecção Portuguesa. O processo de fabrico deste tipo de calçado, envolve procedimentos
rigorosos, de modo a que os atletas não sofram lesões durante os jogos. Assim usou a
fórmula 4(n − 7) = 5c que relaciona o número do calçado (n) com o comprimento da
diagonal do pé (c) , em centímetros. Liedson, conhecido por ser portador de “duas armas
de grande porte” tem uma diagonal do péque atinge os 304 mm de comprimento.
72.1. Qual deverá ser o número das chuteiras fabricadas para ele? Indica todos os
cálculos que efectuares.
(A) 45 (B) 43 (C) 39 (D) 41
72.2. Resolve a equação anterior em ordem a n . Indica todos os cálculos que efectuares.
73. Escreve uma expressão analítica de cada uma das funções representadas
graficamente.
74. O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa passa pelo ponto de
coordenadas ( 2, 3 ).
74.1. Qual é a constante de proporcionalidade?
74.2. Escreve uma expressão analítica desta função.
74.3. Indica, através das suas coordenadas, mais 5 pontos que pertençam ao gráfico.
74.4. Faz a representação gráfica desta função, assinalando no gráfico os pontos
determinados.
75. Habitualmente, a quantidade de medicamento (dosagem) que se dá a uma criança
depende do seu peso e idade. A seguinte regra é normalmente usada para determinar a
dosagem correcta para uma criança:
75.1. Resolve a equação dada em ordem a p.
75.2. O médico receitou à Rita, que tem 6 anos, 30 mg de um medicamento em que a
dosagem para um adulto é de 80 mg. Quanto pesa a Rita? Apresenta todos os cálculos
que efectuares.
75.3. Se, para uma criança, a dosagem de um medicamento fosse igual à dosagem para
um adulto, qual seria o peso da criança? Apresenta todos os cálculos que efectuares.
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80. As idades de um padrinho e da sua afilhada somam hoje 72 anos. Daqui por quatro
anos, a idade do padrinho será o triplo da idade da afilhada. Quais as idades do
padrinho e da afilhada?
81.
82.
83. Das seguintes equações, indica um sistema que seja impossível e um que seja
possível e determinado.
84. Numa confeitaria a avó Joana comprou, para os seus netos, 40 gomas e 20
chocolates, pagando 18 euros. Na mesma confeitaria, o avô Pedro comprou 25 gomas e
10 chocolates, pagando 10 euros. Descobre o preço de uma goma e de um chocolate.
85.
76.1
76.2
76.3
76.4
79.1 79.2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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86. Um barco encontra-se perdido no mar e lanca um pedido de socorro atraves de um
foguete de sinalização luminosa. A altura do foguete, em metros, ao fim de t segundos e
dada por:
86.1. A que altura se encontra o foguete ao fim de 2 segundos?
86.2. Qual é a altura máxima atingida pelo foguete no seu percurso?
86.3. Quanto tempo demora o foguete a cair no mar?
86.4. Durante quanto tempo o foguete se encontra a uma altura superior a 30 metros?
87. Resolve os seguintes sistemas e classifica-os.
88. Numa tela com 80 cm do comprimento e 50 cm
de largura fez-se um desenho deixando uma
margem constante de x cm.
88.1. Mostra que a área, A, do desenho, em função
de x, é dada, em cm2, por
88.2. Determina x, sabendo que a área do desenho
é 1800cm2.
89. Para que -1 seja uma das soluções da equação
, é necessário que k seja igual a :
90. Representa, utilizando intervalos de números reais, o conjunto-solução das
condições:
91. Na figura [ABC] é um triângulo isósceles e [CM] é a sua altura
relativamente à base [AB] . De acordo com os dados da figura,
determina:
91.1. o valor de x .
91.2. o perímetro do triângulo;
91.3. a área do triângulo.
92. Representa as seguintes condições sob a forma de intervalo de
números reais:
93. Uma tela rectangular com área de 9600cm 2 tem de largura uma vez e meia a sua
altura. Quais são as dimensões desta tela?
94. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?
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TEMA4: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES
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95. Uma instituição, com base numa ideia do astronauta norte-americano Edwin Aldrin
desenvolveu um projecto para levar turistas ao espaço. Para que o projecto fosse viável, a
instituição promoveu um sorteio e vendeu bilhetes; 90 000 foram vendidos na Península
Ibérica, o equivalente a 22,5%; os restantes foram vendidos nos outros países da União
Europeia.
Calcula a probabilidade, em percentagem, da empresa portuguesa “Astrolábio” ganhar
uma dessas viagens, uma vez que comprou 10 000 bilhetes. Indica todos os cálculos que
efectuares.
96. No roupeiro, a Ana tem duas camisas (uma branca e uma preta), três saias (uma
azul, uma branca e uma preta) e dois casacos (um verde e um branco). Tirando ao acaso
uma camisa, uma saia e um casaco, qual a probabilidade de serem da mesma cor?
97. Lançaram-se dois dados numerados de 1 a 6.
(a) A probabilidade de obter o mesmo número nos dois dados é:
98. Na turma da Inês existem 25 alunos e só oito deles vêem bem. Os outros alunos
usam óculos ou lentes de contacto. Sabe-se que 14 alunos usam óculos e, destes, dois
também usam lentes de contacto.
a) Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que «use apenas óculos»?
b) Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que «use lentes de
contacto»?
99. Um ponteiro está preso no centro de um cartão circular que está
dividido em três partes iguais, como vês na figura ao lado.
99.1. Faz-se rodar o ponteiro duas vezes e somam-se os números
obtidos. Calcula a probabilidade de:
a) «sair soma 15»;
b) «sair soma inferior a 15»;
c) «sair soma que seja número primo».
99.2. Qual a probabilidade do ponteiro ficar no número quatro, numa única rotação?
100. Numa caixa há nove botões pretos e três azuis. Tira-se da caixa, ao acaso, um
botão e em seguida sem repor o primeiro botão, tira-se um segundo botão. Determina a
probabilidade de:
100.1 «saírem dois botões azuis»;
100.2 «sair o primeiro botão preto e o segundo azul»;
100.3 «sair um botão de cada cor».
101. O Tó colecciona postais de Portugal e de Espanha, que guarda numa caixa. Se
tirar, ao acaso, um postal da caixa, a probabilidade de ser de Portugal é de 5/8. Sabendo
que tem 120 postais espanhóis, quantos postais portugueses tem na sua colecção?
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102. Inquiriram-se 500 jovens de uma escola sobre o seu desporto favorito e os
resultados foram:
102.1 Completa a tabela.
102.2 Qual a probabilidade de, escolhendo um aluno ao acaso, ele ter como desporto
favorito o ténis?
102.3 Qual a probabilidade de, escolhendo um destes jovens ao acaso, ele não ter como
desporto favorito nem futebol nem natação?
102.4. Qual é a moda neste inquérito.
102.5. Poder-se-á determinar a média e a mediana deste inquérito.
103. Dos 120 alunos de uma escola do 1.o ciclo sabe-se que:
• 60 praticam natação
• 72 praticam futebol
• 20 não praticam desporto
103.1 Quantos alunos desta escola praticam natação e futebol?
103.2 Escolhido, ao acaso, um aluno desta escola, qual a probabilidade de:
a) «não praticar desporto»? b) «praticar apenas natação»?
104. Numa casa de artigos
desportivos, durante o último
mês de Agosto, houve uma
promoção de sapatilhas. A seguir
é dada a informação sobre os
preços e a distribuição das
vendas.
a) Determina o dinheiro apurado na venda das sapatilhas.
b)Das sapatilhas vendidas, foi escolhido ao acaso, um par. Determina, em percentagem,
a probabilidade do acontecimento: “Ter tamanho pequeno”.
c) Das sapatilhas de tamanho médio que foram vendidas escolheu-se um par, ao acaso.
Qual é a probabilidade do par escolhido ter tamanho 42? Apresenta o resultado em
percentagem arredondado às unidades.
d) Qual a moda e a mediana desta distribuição?
EXERCÍCIOS DE EXAMES NACIONAIS
(I) O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por
uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm
de altura. Com o objectivo de facilitar a entrada na escola a
pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa.
Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de
modo a fazer com o solo um ângulo de 3°, como se pode ver no
esquema que se segue (o esquema não está à escala)
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Determina, em metros, o comprimento, c, da
rampa. Indica o resultado arredondado às décimas
e apresenta todos os cálculos que efectuares.
Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes
a arredondamentos, conserva quatro casas
decimais.
(II) Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica (figura 1).
Como se pode observar no esquema (figura 2):
• a altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera;
• o raio da base do cilindro é igual ao raio de uma esfera.
Mostra que:
O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três
esferas.
(Nota: designa por # o raio de uma esfera.)
(III) Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo [ABC].
O segmento de recta [BC] é perpendicular ao eixo dos xx.
Sabe- se que
1. Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do
perímetro do triângulo [ABC], a menos de 0,1.
2. A imagem do segmento de recta [BC] obtida por meio de uma rotação de
centro em A e amplitude 90° é um segmento de recta ...
(IV)
Numa aula de Matemática, a turma da Marta envolveu-se na procura de propriedades de números.
A certa altura a Marta afirmou:
«Se pensar em dois números naturais consecutivos e subtrair o quadrado do menor ao quadrado do maior, obtenho
sempre um número que não é múltiplo de dois.»
1. Escolhe dois números naturais consecutivos e verifica que, para esses números, a afirmação da Marta é
verdadeira.
2. Designando n um número natural, mostra que
de dois.
(V) Os espigueiros são construções que servem para
guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da
humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre
estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em
contacto directo com o solo. Se o terreno for inclinado, os
pés do espigueiro assentam num degrau, para que o
espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia
(figura A). A figura B é um esquema do espigueiro da
fotografia. Neste esquema, estão também representados os
seis pés do espigueiro, bem como o degrau no qual eles
assentam. O esquema não está desenhado à escala. As
medidas de comprimento indicadas estão expressas em
metros.
é sempre um número que não é múltiplo
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1. O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular recto. As duas bases deste prisma são
triângulos rectângulos. Determina (em metros) a altura, a, do degrau. Apresenta todos os cálculos que efectuares e
indica o resultado, arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos,
conserva quatro casas decimais.
2. O espigueiro é um prisma pentagonal recto, cujas bases são pentágonos não regulares. Cada pentágono pode ser
decomposto num rectângulo e num triângulo isósceles. Determina (em metros cúbicos) o volume do espigueiro.
Apresenta todos os cálculos que efectuares.
(VI) Desenha um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói
a ampliação, de razão 1,5 deste triângulo.
(VII) A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem,
estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de
uma rotação, com centro no ponto S, de amplitude 90º ?
(VIII) Na figura, está representado um esquema da piscina
da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à
escala. No esquema:
• as medidas estão expressas em metros;
• [EFGHIJKL] é um paralelepípedo rectângulo;
• [MNOP] é uma rampa rectangular que se inicia a 0,6 m de
profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda.
1. Utilizando as letras da figura, indica dois planos
concorrentes.
2. Quantos litros de água serão necessários para encher totalmente a piscina? Apresenta todos os cálculos que
efectuares.
(VIII) Na figura, podes ver um cubo e, sombreada a cinzento, uma pirâmide
quadrangular regular. A base da pirâmide coincide com a face [ABCD] do cubo.
O vértice P da pirâmide pertence à face [EFGH] do cubo.
1. Utilizando as letras da figura, indica uma recta que seja complanar com a
recta EG e perpendicular a esta recta.
2. Se a pirâmide da figura tivesse 9cm3 de volume, qual seria o comprimento
da aresta do cubo? Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na tua
resposta, indica a unidade de medida.
(XIX) Diz-se que o ecrã de um televisor tem formato 4:3 quando é semelhante a um rectângulo com 4 cm de
comprimento e 3 cm de largura. O ecrã do televisor do Miguel tem formato 4:3, e a sua diagonal mede 70cm.
Determina o comprimento e a largura do ecrã. Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na tua resposta, indica
a unidade de medida.
(X) Sejam E, F e G três pontos distintos de uma circunferência em que o arco EF tem 180° de amplitude. Justifica a
seguinte afirmação:
«O triângulo ÒEFGÓ não é equilátero.»
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(XI) Na figura, está representada uma circunferência, de centro S, em que:
• A, B, C e D são pontos da circunferência;
• o segmento de recta [BD] é um diâmetro;
• E é o ponto de intersecção das rectas BD e AC;
• o triângulo [ADE] é rectângulo em E;
•
1. Qual é a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a traço mais
grosso)?
2. Sabendo que , determina o comprimento de [ED]. Apresenta os
cálculos que efectuares.
3. Sem efectuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é
verdadeira.
«Os triângulos [ADE] e [CDE] são geometricamente iguais.»
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(XII) Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática,
porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os
raios solares faziam com o chão era de 43°, parte da sombra da antena estava projectada sobre um terreno irregular e,
por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que
as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8m de altura, estava a 14 m de
distância da antena.
Na figura ao lado, não está desenhada à
escala, podes ver um esquema que pretende
ilustrar a situação descrita.
(XIII) Na figura que se segue, os vértices do quadrado [IJKL] são os pontos
médios das semidiagonais do quadrado [ABEF]. A intersecção das
diagonais dos dois quadrados é o ponto O.Os lados [CD] e [HG] do
rectângulo [HCDG] são paralelos aos lados [BE] e [AF] do quadrado [ABEF]
e [CD] mede o triplo de [BC].
1. Qual é a amplitude do ângulo EAB?
2. Sabendo que a medida da área do quadrado [ABEF] é 64, calcula a
medida do comprimento do segmento de recta [OB].Na tua resposta,
escreve o resultado arredondado às décimas. Apresenta os cálculos que
efectuares.
3. Em relação à figura, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Qual é a altura (h) da antena ? Na tua resposta,
indica o resultado arredondado às unidades e a
unidade de medida. Apresenta todos os
cálculos que efectuares. Sempre que, nos
cálculos intermédios, procederes a
arredondamentos, conserva, no mínimo, duas
casas decimais.
(XIV) Na praceta onde mora a família Coelho, estão estacionados automóveis e motos. Cada automóvel tem 4 rodas,
e cada moto tem 2 rodas.O número de automóveis é o triplo do número das motos e, ao todo, há 70 rodas na
praceta. Determina quantos automóveis e quantas motos estão estacionados na praceta. Mostra como chegaste à
tua resposta.
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(XV) Numa Faculdade, realizou-se um estudo sobre o
número de alunos da turma da Beatriz que já doaram
sangue. O gráfico que se segue mostra o número de
doações de sangue, por sexos.
1. Relativamente aos dados do gráfico, qual das
seguintes afirmações é verdadeira?
2. Escolhido ao acaso um aluno de entre todos os
alunos da turma da Beatriz, qual é a probabilidade de
essa escolha ser a de uma rapariga que doou sangue
menos do que duas vezes? Apresenta o resultado na
forma de fracção irredutível.
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(XVI) A família Coelho vai mandar fazer floreiras em cimento. A figura é um
esquema dessas floreiras: a região mais clara é a parte de cimento, e a mais
escura é a cavidade que vai ficar com terra, para as flores.O modelo
geométrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50 cm de aresta.
A cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de um prisma quadrangular
recto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base.
1. Determina, em centímetros cúbicos, o volume da parte de cimento da
floreira. Apresenta os cálculos que efectuares.
2. Utilizando as letras da figura, identifica uma recta perpendicular ao plano
que contém a base da floreira.
(XVII) Na figura abaixo, sabe-se que:
• o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC];
• [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais;
• o ponto O é o centro do círculo;
• .
1. Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB.
2. De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala
a que não completa correctamente a afirmação que se segue. O quadrado [OHDE] é a
imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma:
□ rotação de centro no ponto O e amplitude 180º.
□ rotação de centro no ponto O e amplitude –180º.
□ simetria axial de eixo AC.
□ simetria axial de eixo DB.
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3. Determina o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. Apresenta os cálculos que
efectuares.
Registou-se o número de macacos de um jardim zoológico, com 5, 6, 7 e 8 anos de idade. Na tabela, onde não está
indicado o número de macacos com 7 anos de idade, foi construída com base nesse registo. A mediana das idades
destes animais é 6,5. Determina o número
de macacos com 7 anos de idade. Mostra
como chegaste à tua resposta.
Grande parte destes exercícios foram retirados do site http://planomat.wordpress.com/. Agradeço à equipa
responsável pela disponibilidade dos materiais e os nossos parabéns pelo excelente trabalho.
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