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a Matemática ea Música

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mente comprazer-se nestas quimeras especulativas, e encará-las<br />

como a alma e a vida da astronomia), numa significativa<br />

apreciação de 1821.<br />

Álgebra dos tons<br />

A cultura grega clássica baseou o seu sistema musical<br />

na lira, tal como os chineses o haviam bas<strong>ea</strong>do na<br />

flauta de bambu. No entanto, não dispunham dos instrumentos<br />

técnicos ou conceptuais que lhes permitissem<br />

o domínio completo do fenómeno vibratório ou<br />

da análise da frequência dos sons, para além da simples<br />

observação empírica da relação inversa entre a frequência<br />

do som fundamental emitido pela corda vibrante<br />

(lira) ou pelo tubo longo (flauta) e o seu<br />

comprimento, ficando apenas pelas primeiras quatro<br />

harmónicas. As escalas pitagóricas baseiam-se assim nos<br />

intervalos “racionais” elementares (oitava, quinta e quarta)<br />

e respectivas sucessões alternadas, i.e., partindo de<br />

um som f 0 = f e do som f 1 = 3/2f situado uma quinta acima<br />

na escala, o som f 2 = 3 / 4f 1 = 9 / 8f situar-se-á uma quarta<br />

abaixo de f 1 , o som f 3 uma quinta acima da f 2 e assim<br />

sucessivamente. Deste modo, tem-se<br />

f 2n = 9 n<br />

e f 2n+1 = 3 9 n<br />

, n inteiro,<br />

8 2 8<br />

e podermos construir, a partir de f 0 = f, a sucessão f do<br />

seguinte modo:<br />

f n+1 = 3 f n se 3 f n < 2f<br />

2 2<br />

f n+1 = 1 3 f n se 3 f n ≥ 2f.<br />

2 2 2<br />

Obtemos assim o "ciclo das quintas" na forma<br />

La#<br />

Sol#<br />

Mi#<br />

Sib<br />

Lab<br />

Do#<br />

Fa<br />

Reb<br />

Dob b<br />

Re# Mib Fab b<br />

Solb b<br />

Si#<br />

Reb b<br />

Solb<br />

Fal#<br />

Lab b<br />

Mib b<br />

Sib b<br />

Fig. 9 - Uma espiral de quintas e um relógio cromático de 12 tons.<br />

Do<br />

Dob<br />

Sol<br />

Fab<br />

Si<br />

Re<br />

Mi<br />

La<br />

22<br />

f n = 3 n<br />

1 p<br />

2 2<br />

sendo p o inteiro tal que f n [ f, 2f [, que não é obviamente,<br />

um verdadeiro ciclo, pois se assim fosse teriam<br />

de existir dois inteiros n e p tais que 3 n = 2 n+p , que<br />

é impossível visto que o primeiro é sempre um número<br />

ímpar e o segundo par. No solfejo clássico, quando<br />

se afirma que “12 quintas correspondem a 7 oitavas” tal<br />

não é matematicamente certo, pois correponderia a dizer<br />

que “3 12 = 2 19 ”. Isso apenas traduz, quanto muito,<br />

uma certa tolerância do ouvido àquela afinação pois,<br />

de facto, 3 12 /2 19 = 531441/524288 1.<br />

Esta diferença, a chamada coma pitagórica, está essencialmente<br />

relacionada com a impossibilidade, encontrada<br />

já pelos gregos, de medir a diagonal do quadrado<br />

através de uma fracção exacta do seu lado e,<br />

portanto, também com a irracionalidade do número 2.<br />

Tal impossibilidade explica também o facto de não poder<br />

existir uma gama musical “perfeita” ou “bem temperada”,<br />

i.e., cujas razões dos tons ao tom de referência<br />

sejam sucessivamente 1, τ, τ 2 , …,τ 12 = 2, apenas bas<strong>ea</strong>das<br />

nos números racionais 3/2 e 4/3. Com efeito, não há<br />

nenhum modo “natural” de calcular o número irracional<br />

f,<br />

τ = 12 2 = 1,059463094...<br />

que está na base do semi-tom do intervalo elementar da<br />

gama temperada de doze notas formando um “circulo<br />

perfeito”.<br />

É interessante observar que a incongruência resultante<br />

da coma pitagórica, que acumula dissonâncias à<br />

medida que se sobe ou desce na escala musical, tem uma<br />

analogia com as incongruências dos calendários antigos.<br />

Os três relógios astronómicos, a sucessão dos dias, das<br />

La#-Sib<br />

La<br />

9<br />

Sol#-Lab<br />

10<br />

8<br />

Do<br />

Si 0<br />

11<br />

Sol<br />

7<br />

6<br />

Fa#-Solb<br />

Do#-Reb<br />

1<br />

5<br />

Fa<br />

2<br />

4<br />

3<br />

Re<br />

Mi<br />

Re#-Mib

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