a Matemática ea Música

mente comprazer-se nestas quimeras especulativas, e encará-las
como a alma e a vida da astronomia), numa significativa
apreciação de 1821.
Álgebra dos tons
A cultura grega clássica baseou o seu sistema musical
na lira, tal como os chineses o haviam baseado na
flauta de bambu. No entanto, não dispunham dos instrumentos
técnicos ou conceptuais que lhes permitissem
o domínio completo do fenómeno vibratório ou
da análise da frequência dos sons, para além da simples
observação empírica da relação inversa entre a frequência
do som fundamental emitido pela corda vibrante
(lira) ou pelo tubo longo (flauta) e o seu
comprimento, ficando apenas pelas primeiras quatro
harmónicas. As escalas pitagóricas baseiam-se assim nos
intervalos “racionais” elementares (oitava, quinta e quarta)
e respectivas sucessões alternadas, i.e., partindo de
um som f 0 = f e do som f 1 = 3/2f situado uma quinta acima
na escala, o som f 2 = 3 / 4f 1 = 9 / 8f situar-se-á uma quarta
abaixo de f 1 , o som f 3 uma quinta acima da f 2 e assim
sucessivamente. Deste modo, tem-se
f 2n = 9 n
e f 2n+1 = 3 9 n
, n inteiro,
8 2 8
e podermos construir, a partir de f 0 = f, a sucessão f do
seguinte modo:
f n+1 = 3 f n se 3 f n < 2f
2 2
f n+1 = 1 3 f n se 3 f n ≥ 2f.
2 2 2
Obtemos assim o "ciclo das quintas" na forma
La#
Sol#
Mi#
Sib
Lab
Do#
Fa
Reb
Dob b
Re# Mib Fab b
Solb b
Si#
Reb b
Solb
Fal#
Lab b
Mib b
Sib b
Fig. 9 - Uma espiral de quintas e um relógio cromático de 12 tons.
Do
Dob
Sol
Fab
Si
Re
Mi
La
22
f n = 3 n
1 p
2 2
sendo p o inteiro tal que f n [ f, 2f [, que não é obviamente,
um verdadeiro ciclo, pois se assim fosse teriam
de existir dois inteiros n e p tais que 3 n = 2 n+p , que
é impossível visto que o primeiro é sempre um número
ímpar e o segundo par. No solfejo clássico, quando
se afirma que “12 quintas correspondem a 7 oitavas” tal
não é matematicamente certo, pois correponderia a dizer
que “3 12 = 2 19 ”. Isso apenas traduz, quanto muito,
uma certa tolerância do ouvido àquela afinação pois,
de facto, 3 12 /2 19 = 531441/524288 1.
Esta diferença, a chamada coma pitagórica, está essencialmente
relacionada com a impossibilidade, encontrada
já pelos gregos, de medir a diagonal do quadrado
através de uma fracção exacta do seu lado e,
portanto, também com a irracionalidade do número 2.
Tal impossibilidade explica também o facto de não poder
existir uma gama musical “perfeita” ou “bem temperada”,
i.e., cujas razões dos tons ao tom de referência
sejam sucessivamente 1, τ, τ 2 , …,τ 12 = 2, apenas baseadas
nos números racionais 3/2 e 4/3. Com efeito, não há
nenhum modo “natural” de calcular o número irracional
f,
τ = 12 2 = 1,059463094...
que está na base do semi-tom do intervalo elementar da
gama temperada de doze notas formando um “circulo
perfeito”.
É interessante observar que a incongruência resultante
da coma pitagórica, que acumula dissonâncias à
medida que se sobe ou desce na escala musical, tem uma
analogia com as incongruências dos calendários antigos.
Os três relógios astronómicos, a sucessão dos dias, das
La#-Sib
La
9
Sol#-Lab
10
8
Do
Si 0
11
Sol
7
6
Fa#-Solb
Do#-Reb
1
5
Fa
2
4
3
Re
Mi
Re#-Mib