Texto sobre Matrizes e Sistemas de Equaçõs Lineares.

12 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
de A, então L1 L L¡1 L L+1 L são as linhas de b A. Logo, b = = b
e det( b A) = det(A), para todo . Em particular, det( b A) = 0, pois b A tem duas linhas
iguais. Assim,
=
X
b(¡1) + det( b A) = det( b (
A) =
=1
isto é, A ¢ adj A = (det A)I. Como (adj A) = adj A temos que
Logo,
Portanto,
det A se =
0 se 6=
(det A)I = (det A )I = A ¢ adj A = (adj A ¢ A)
adj A ¢ A = ((det A)I) = (det A)I
A ¢ adj A = adj A ¢ A = (det A)I
Teorema 1.9 (Regra de Cramer) Sejam A 2 R£ e C1 C as colunas da matriz
A. Se existirem 1 2 R tais que B = 1C1 + ¢ ¢ ¢ + C, então
h
i
det A = det C1 ¢ ¢ ¢ C¡1 B C+1 ¢ ¢ ¢ C
Em particular, se det A 6= 0, então
h
i
det
=
C1 ¢ ¢ ¢ C¡1 B
det A
C+1 ¢ ¢ ¢ C
= 1
Prova. Aplicando, indutivamente, os itens (1) e (3) da Proposição 2.14, obtemos
h
i
h
det
det
C1 ¢ ¢ ¢
C1 ¢ ¢ ¢ C¡1 B
P C¡1 =1
C+1 ¢ ¢ ¢ C =
C C+1 ¢ ¢ ¢ C
i
=
X h
i
det
= det A
=1
C1 ¢ ¢ ¢ C¡1 C C+1 ¢ ¢ ¢ C
pois as outras matrizes têm duas colunas iguais quando 6= . ¥
Uma matriz A = [] 2 R £ é invertível ou não-singular se existir uma matriz
B = [] 2 R £ tal que
AB = BA = I
Caso contrário, A é não-invertível ou singular. Vamos denotar a matriz inversa de A por
A ¡1 . A inversa de matrizes possui as seguintes propriedades:
1. Se A, B 2 R £ são invertíveis, então AB é invertível e (AB) ¡1 = B ¡1 A ¡1 .
¥