Texto sobre Matrizes e Sistemas de Equaçõs Lineares.

26 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
1. Se posto(A) = posto(A 0 ) e posto(A) = , então o sistema tem uma única solução.
Em particular, se = , então para determinar a solução do sistema basta transformar
a matriz
na matriz
[ A . I
[ I
. B ]
. A ¡1 . X ]
2. Se posto(A) = posto(A 0 ) e posto(A) , então o sistema tem in…nitas soluções.
Neste caso, existem
variáveis livres.
nul(A) = ¡ posto(A)
3. Se posto(A) posto(A 0 ), então o sistema não tem solução.
4. Uma maneira alternativa de resolver o sistema AX = B é considerando a matriz
A-associada
2
6
4
A ¢ ¢ ¢
.
.
3
I
7
¢ ¢ ¢
7
5
¡B . O
Assim, o sistema AX = B tem uma solução particular X se, e somente se,
2
6
4
A . I
¢ ¢ ¢
. ¢ ¢ ¢
¡B . O
3
2
7 6
7
5 ! ¢ ¢ ¢ ! 6
4
R . S
¢ ¢ ¢
. ¢ ¢ ¢
O . X
onde R é a matriz linha reduzida à forma em escada de A . Portanto, a solução
geral do sistema é X = X + X, onde
X =
X
=+1
s 2 R
= posto(A ) e s, = + 1 , são as linhas da matriz S. Note que X é a
solução do sistema homogêneo AX = O.
Exemplo 1.27 Resolva o sistema
8
><
>:
+ 2 ¡ 2 = 1
2 + ¡ 2 = 6
+ 8 ¡ 6 = ¡7
3
7
5