Texto sobre Matrizes e Sistemas de Equaçõs Lineares.

24 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
+ (¡1)1 ( ! + (¡1)1)), obtemos uma matriz da forma
2
1
6 0
6
4 .
0
22
.
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
...
0
2
.
3
7
5
0 2 ¢ ¢ ¢
Se todos = 0, acabou. Se algum 6= 0, então o processo acima pode ser repetido
com a submatriz ( ¡ 1) £ ( ¡ 1) []. E assim sucessivamente. ¥
Sejam A uma matriz £ e R uma matriz £ linha reduzida à forma em escada
de A. O posto (linha) de A, em símbolos posto(A), é igual ao número de linhas não-nulas
de R. A nulidade de A, em símbolos nul(A), é igual a
Em particular,
nul(A) = ¡ posto(A)
posto(E
) = onde · minf g
Exemplo 1.23 Determine o posto e a nulidade da matriz
2
1
6
A = 4 ¡1
2
0
1
3
3
0
7
5 5
1 ¡2 1 1
Solução. Reduzindo a matriz A à forma em escada
2
1
6
A = 4 ¡1
2
0
1
3
3
2
0
7
6
5 5 ¡! ¢ ¢ ¢ ¡! R = 4
1 ¡2 1 1
temos que o posto(A) = 3 e a nul(A) = 4 ¡ 3 = 1.
1 0 0 ¡ 7
8
0 1 0 ¡ 1
4
0 0 1 11
8
Proposição 1.24 Seja A 2 R £ . Então as seguintes condições são equivalentes:
1. O posto de A é igual a ;
2. A é equivalente por linha a I;
3. A é invertível;
4. A é um produto de matrizes elementares.
Prova. (1 ) 2) Suponhamos que posto(A) = e que R seja uma matriz linha reduzida
à forma em escada de A. Então, por de…nição, R = I. Logo, A é equivalente por linha
a I.
3
7
5