Texto sobre Matrizes e Sistemas de Equaçõs Lineares.

30 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
13. Sejam A 2 R £ e B 2 R £1 . Mostre que se o sistema AX = B tem uma solução
X 2 C £1 , então ele tem também uma solução X 2 R £1 .
14. Considere a matriz
A =
2
6
4
1 ¡1 1
2 0 1
3 0 1
3
7
5
Determine matrizes elementares E1 E tais que
15. Mostre que
2
6
det 6
4 .
1 1 2 1 ¢ ¢ ¢ ¡1
1
1 2 2 2 ¢ ¢ ¢ ¡1
2
.
.
...
1 2 ¡1
.
E ¢ ¢ ¢ E1A = I3
3
7 Y
7 =
5
1··
( ¡ ) =
¡1 Y
=1 =+1
Y
( ¡ )
Esse determinante é conhecido como o determinante de Vandermonde. (Sugestão:
Use indução em e considere as operações elementares sobre colunas +1 ! +1¡
, = 1 ¡ 1.)
16. Mostre que
2
6
det 4
0 1 2
1 2 3
2 3 4
onde = + + , = 0 1 2 3 4.
3
7
5 = [( ¡ )( ¡ )( ¡ )] 2
17. Seja A 2 R £ . Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) A é invertível;
(b) O sistema AX = O tem somente a solução nula X = O;
(c) O sistema AX = Y tem uma solução X, para toda Y 2 R £1 .
18. Seja A 2 R £ . Mostre que se existir B 2 R £ tal que BA = I ou AB = I,
então A é invertível.