Texto sobre Matrizes e Sistemas de Equaçõs Lineares.

8 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
onde é o conjunto de todas as permutações do conjunto
f1 2 g
e sgn = (¡1) , com igual ao número de inversões (transposições) necessárias para
trazer de volta o conjunto
f(1) (2) ()g
a sua ordem natural. Assim, det A é a soma de ! termos, onde o sinal está bem de…nido,
e qualquer termo tem elementos, um e somente um, de cada linha e coluna de A.
Uma permutação 2 pode ser escrita sob a forma
=
Ã
1 2 ¢ ¢ ¢
(1) (2) ¢ ¢ ¢ ()
onde a ordem das colunas não importa. Por exemplo, para = 3, temos que os seis
elementos de 3 são:
à ! à !
=
1
1
2
2
3
=
3
1 2
2 3
3
1
2 Ã !
à ! Ã
= ± =
!
1
3
2
1
3
2
=
1
1
2
3
3
2
± =
1
2
2
1
3
3
2 Ã !
± =
1
3
2
2
3
1
e
det A = (¡1) 0 112233 + (¡1) 2 122331 + (¡1) 2 132132
+(¡1) 1 112332 + (¡1) 1 122133 + (¡1) 3 132231
= (112233 + 122331 + 132132)
!
¡(132231 + 112332 + 122133)
Observação 1.4 Uma maneira alternativa para determinar o número de inversões de
uma permutação
à !
=
1
2
2
3
3
1
2 3
é ilustrado no esquema da Figura 11. Neste caso, o número de cruzamentos corresponde
ao número de inversões de .
Figura 1.1: Número de inversões de .
Portanto, admite duas inversões. Esse procedimento vale para .