Eureka! 22 - OBM

EUREKA! N°22, 2005
Sociedade Brasileira de Matemática
PROBLEMA 5:
Considere a seqüência ( an ) n∈N
com a = a = a = a = 1 e a a a a
2
+ a .
Mostre que todos os termos dessa seqüência são números inteiros.
0
34
1
2
3
n
n−
4 = n−1
n−3
n−2
PROBLEMA 6:
Sejam a e b números reais. Considere a função f a,
b : R 2 → R 2 definida por
2
2
0
( x;
y)
= ( a − by − x ; x)
. Sendo P = ( x;
y)
∈ R , definimos ( P)
= P
f a,
b
f
k + 1
a , b
k
( P)
= f a,
b ( f a,
b ( P))
, para k inteiro não negativo.
f a , b e
O conjunto per(a; b) dos pontos periódicos da função f a,
b é o conjuntos dos pontos
P de R 2 para os quais existe um inteiro positivo n tal que f P P
n
( ) =
a , b .
Fixado o real b, prove que o conjunto Ab = { a ∈ R | per(
a,
b)
≠ 0/
} tem um menor
elemento. Calcule esse menor elemento.
SOLUÇÕES – NÍVEL 1
PROBLEMA 1: SOLUÇÃO DE DIANA VAISMAN (RIO DE JANEIRO - RJ)
Números ímpares que são quadrados perfeitos Soma dos quadrados dos algarismos
121 1 + 4 + 1 = 6
169 1 + 36 + 81 = 118
225 4 + 4 + 25 = 33
289 4 + 64 +81 = 149
361 9 + 36 + 1 = 46
441 16 + 16 + 1 = 33
529 25 + 4 + 81 = 110
625 36 + 4 + 25 = 65
729 49 + 4 + 81 = 134
841 64 + 16 + 1 = 81
961 81 + 36 + 1 = 118
Resposta: 841