Eureka! 22 - OBM

EUREKA! N°22, 2005
Sociedade Brasileira de Matemática
SOLUÇÕES – PRIMEIRA FASE – NÍVEL UNIVERSITÁRIO
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 1:
⎛−4 0
4 ⎜
Temos A =
⎜
0 0
⎜
⎝0 0
k
0⎞
⎛(4) −
⎟
4k
⎜
0
⎟
, donde A = ⎜ 0
−4⎟
⎠
⎜
⎝ 0
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟.
k
0 ( −4)
⎟
⎠
1002 ⎛−2 2004 ⎜
Em particular, A = ⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
0
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟.
1002
−2
⎟
⎠
Soluções cujo único erro se refere aos sinais:
SEGUNDA SOLUÇÃO DO PROBLEMA 1:
1
Diagonalizando A, temos A XDX −
⎛1 ⎜
= onde X =
⎜
0
⎜
⎝1 Assim,
0
1
0
1 ⎞ ⎛1+ i
⎟ ⎜
0
⎟
, D =
⎜
0
−1⎟
⎜
⎠ ⎝ 0
0
0
0
0 ⎞
⎟
0
⎟
1−i⎟
⎠
2004 ⎛(1 + i)
2004 ⎜
A = X⎜ 0
⎜
⎝ 0
1002
0 0 ⎞ ⎛−2 ⎟ −1⎜ 0 0 ⎟X = X⎜ 0
2004
0 (1 −i) ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
0
0
0
1002
0 ⎞ ⎛−2 ⎟ −1⎜
0 ⎟X = ⎜ 0
1002
−2 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
0
0
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟.
1002
−2
⎟
⎠
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 2:
2004 2004
1 x 1 x
Por substituição, dx dx
1 x
1 1 x
e 1 e −
∫ =
− + ∫ .
− +
Assim
2004 2004 2004
1 x 1⎛ 1 x 1 x ⎞ 1 1
2004 ⎛ 1 1 ⎞
∫ dx =
1 x ⎜ dx + dx x dx
1 2 1 x
1 1 −x ⎟= − 1 2 1
x −x
e − e − e − ⎜ +
1 e 1
⎟
+ ∫ + ∫ + ∫
⎝ ⎠ ⎝ + + e ⎠
1 1 1
2004 2004 1
= .
2 ∫ x dx = x dx
−1
∫ =
0 2005
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3:
4 3
Queremos encontrar a e b tais que, P= 3x −4x −ax− b tenha duas raízes reais
duplas; em particular, P deve ser um quadrado perfeito.
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