Eureka! 22 - OBM

EUREKA! N°22, 2005
Sociedade Brasileira de Matemática
veja só que se b t > 1 ele ainda será dividido em mais pilhas, ou seja quando ele
2 2 2
2 2 2
bx −bt −by
bt −bz −bw
aparecer será:
mas se é b t > 1aparecerá
também
. Assim, os
2
2
2
b t terão soma 0, a não ser quando b t = 1 e, como a pilha inicial tem 100 pedras, no
fim são 100 pilhas com 1 pedra cada, e teremos:
2 2 2 2
100 −1 −1 −... −1
2
100 vezes 10000 −100⋅19900 S = = = .
2 2 2
9900
S = ⇒ S = 4950 e esta é a única possibilidade.
2
PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE HENRIQUE PONDÉ DE OLIVEIRA PINTO (SALVADOR - BA):
Seja uma Rodada definida como a jogada de cada jogador assim na 1ª Rodada
Arnaldo escolheu o número 2 e na 2ª Rodada Bernaldo será obrigado a escolher um
número maior que 2 e menor que 2 × 2 = 4 logo na 2ª Rodada será escolhido o
número 3. Sejam os dois jogadores do enunciado os jogadores X e Y.
1. Suponha que o jogador X escolhe 2004 e ganha na Rodada n.
2. Para isso Y teria que ter escolhido qualquer número entre 1003 e 2003 na
Rodada n – 1 e isso é visto facilmente.
3. A jogada de X na Rodada n – 2 teria que ser 1002, pois se fosse maior ou
menor que 1002 Y não seria obrigado a escolher um número entre 1003 e
2003 na Rodada n – 1.
4. Para X ter escolhido 1002 na Rodada n – 2 Y teria que ter escolhido um
número entre 502 e 1001 na Rodada n – 3.
5. A jogada de X na Rodada n – 4 teria que ser 501, pois se fosse maior ou
menor que 501, Y não seria obrigado a escolher um número entre 502 e 1001
na Rodada n – 3.
6. Para X ter escolhido 501 na Rodada n – 4, Y teria que ter escolhido um
número entre 251 e 500 na Rodada n – 5.
7. A jogada de X na Rodada n – 6 teria que ser 250, pois se fosse maior ou
menor que 250, Y não seria obrigado a escolher um número entre 251 e 500
na Rodada n – 5.
Agora que o raciocínio da questão já foi monstrado podemos continuar sem escrever
tanto.
Rodada n – 6: (X): 250 (Como 7. mostrou)
Rodada n – 7: (Y): Entre 126 e 249
Rodada n – 8: (X): 125
40