Eureka! 22 - OBM

EUREKA! N°22, 2005
Sociedade Brasileira de Matemática
logo se a soma de quatro números da seqüência tiver certa paridade o quinto número
terá a mesma.
Seja agora: i = No. ímpar p = No. par
1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, 8, 7, 0, 2…
i, p, i, p, p, i, p, i, p, p, i, p, i, p, p…
Note que as paridades se repetem de 5 em 5 números. Provemos que de fato ela é
sempre assim.
Por indução: 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8…
Caso inicial: i, pi , , p, pi , , pi , , p, p...
a1 a2
Hipótese: suponha que dá certo até o ak − ésimo período.
Passo indutivo: ... ipipp , , , , a, b, c, d, e…
ak
a ≡ p+ i+ p+ p≡ i( mod10),
logo a é ímpar.
b ≡ i+ p+ p+ a≡ i+ p+ p+ i≡ p( mod10),
logo b é par.
c ≡ p+ p+ a+ b≡ p+ p+ i+ p≡ i( mod10),
logo c é ímpar.
d ≡ p+ a+ b+ c≡ p+ i+ p+ i≡ p( mod10),
logo d é par.
e ≡ a+ b+ c+ d ≡ i+ p+ i+ p≡ p( mod10),
logo e é par.
Assim, a, b, c, d, e = i, pi , , p, p , e logo nunca poderemos chegar a 2, 0, 0, 4, pois não
ak
+ 1
poderemos ter 4 p's seguidos.
b) Veja que, para esta seqüência, a seqüência dos grupos de 4 termos consecutivos
dela não poderá ter infinitos termos diferentes, pois não temos infinitas
possibilidades para a, b, c, d: serão no máximo
4
a , b , c , d = 10 possibilidades (aqui são contadas possibilidades que, assim
10 10 10 10
como vimos no item a), não podem aparecer, mas o que queremos com isso não é
achar um número exato mas sim um máximo e mostrar que as possibilidades são
finitas). Assim, num certo ponto começarão a se repetir os números formando um
período, assim:
38