Educação Matemática em Revista (Rio Grande do Sul), v. 7 ... - Unifra

In: Educação Matemática em Revista (Rio Grande do Sul), v. 7, p. 33-41, 2006
ANÁLISE DE RESOLUÇÕES DE QUESTÕES EM MATEMÁTICA:
AS ETAPAS DO PROCESSO
Helena Noronha Cury *
Beatriz Konzen **
Resumo: Neste artigo, temos como objetivo apresentar uma metodologia de análise de
resoluções de questões de Matemática, fazendo uma analogia com as etapas da análise de
conteúdo. São indicados os passos do processo, com um exemplo detalhado de análise e
classificação de respostas a uma questão de Álgebra do Ensino Fundamental. A seguir, os
dados são interpretados com o apoio de teorias que abordam o sentido de estrutura e os
registros de representação semiótica. Finalmente, são sugeridas algumas atividades gerais
que podem levar os alunos a desenvolver o pensamento algébrico.
Palavras-chave: Análise de conteúdo. Análise de erros. Pensamento algébrico.
Introdução
Os trabalhos que analisam respostas de alunos a questões de Matemática, em provas
ou em exames oficiais, têm se fundamentado em diversos autores para discutir as soluções
apresentadas pelos estudantes. Da mesma forma, têm variado os métodos empregados para
realizar as análises, sendo, muitas vezes, criações dos pesquisadores, em uma tentativa de dar
conta do material de suas investigações. Trabalhando com análise de erros desde 1989, temos
desenvolvido uma metodologia que tem se mostrado adequada, possibilitando que, após a
análise das respostas, tenhamos um conjunto de dados que podem ser abordados sob diversos
enfoques teóricos, pois sua interpretação vai depender dos objetivos da pesquisa e dos
teóricos que a embasam.
Para exemplificar o trabalho que vimos desenvolvendo, trazemos, neste artigo, um
exemplo de análise de uma questão de Álgebra do Ensino Fundamental, que fez parte de um
teste aplicado a alunos calouros de várias Instituições de Ensino Superior gaúchas. São
*
Professora da Faculdade de Matemática da PUCRS. Avenida Ipiranga, 6681, CEP 90619-900-Porto Alegre,
RS. E-mail: curyhn@pucrs.br
**
Aluna do Curso de Licenciatura em Matemática da PUCRS, bolsista de Iniciação Científica da FAPERGS

apresentados os fundamentos da metodologia que utilizamos, os passos da análise das
respostas e, ao final, uma tentativa de interpretação dos dados.
A Análise de Conteúdo
A análise de conteúdo é uma metodologia de análise de dados empregada na área de
Comunicação, de Ciências Sociais, de Educação, enfim, em todos os campos em que é
possível interpretar mensagens produzidas por seres humanos, tanto orais como escritas. Uma
das principais referências para a análise de conteúdo é Bardin (1979), que a define como:
Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por
procedimentos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens,
indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de
conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis
inferidas) destas mensagens. (p. 42).
Ainda que alerte sobre certos cuidados na transposição da técnica para comunicações
não-lingüísticas, a autora cita Henry e Moscovici (1968), que afirmam: “tudo o que é dito ou
escrito é susceptível de ser submetido a uma análise de conteúdo.” (apud Bardin, 1979, p. 33).
Assim, é possível utilizar essa técnica para compreender o conteúdo de trabalhos escolares,
entre eles as soluções apresentadas em provas de verificação da aprendizagem ou em testes
específicos de Matemática.
A intenção da análise de conteúdo é a inferência de conhecimentos. Bardin (1979)
comenta que o analista é “como um arqueólogo” (p.39), que busca, a partir de vestígios,
reconstituir toda a estrutura do objeto encontrado. Da mesma forma, na análise das respostas
dos alunos, o objetivo é compreender, a partir dos erros, quais são as suas dificuldades de
aprendizagem e como podemos auxiliá-los a superá-las.
A análise de conteúdo, originalmente empregada para detectar mensagens de
propaganda durante as guerras mundiais do século XX, usava métodos quantitativos, para
contagem da freqüência de determinadas palavras, por exemplo. Mas, ao avaliarmos as
produções dos alunos, se nos restringirmos apenas às contagens de determinados tipos de
respostas ou ao uso de técnicas estatísticas – importantes para estabelecer correlações, sem
dúvida – estaremos perdendo a possibilidade de aprofundar os conhecimentos sobre suas
dificuldades específicas, sobre os detalhes que apenas a análise do conteúdo pode nos revelar.
Se há uma solução escrita para a questão, podemos verificar como o aluno encadeou
os passos para resolver o problema. Nesse caso, a partir dessa produção escrita, podemos
detectar as dificuldades e classificar os erros cometidos. Em seguida, aprofundando a análise,

é possível elaborar estratégias de ensino que venham contemplar as necessidades dos
estudantes, em uma tentativa de qualificar o processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, em qualquer nível de ensino.
Vamos, a seguir, apresentar as etapas da análise de conteúdo, para, posteriormente,
estabelecer uma analogia entre essa metodologia e a que empregamos para fazer análise do
conteúdo das respostas a questões de Matemática.
Para indicar as fases da análise de conteúdo, nos apoiamos em alguns autores que
discorrem sobre o tema. Bardin (1979) considera que há três fases principais: pré-análise,
exploração do material e tratamento dos resultados, com inferência e interpretação. Triviños
(1987) as renomeia como: pré-análise, descrição analítica e interpretação inferencial. Moraes
(1999) indica cinco etapas para o processo: preparação das informações; unitarização;
categorização; descrição; e interpretação. Consideramos que esta última proposta detalha mais
as fases apontadas pelos outros autores e vamos nos apoiar nela para explicitar os passos do
processo.
O material utilizado pelo investigador pode ser obtido por meio de questionários,
entrevistas, documentos, relatos de observações, etc. Ao fazer uma leitura “flutuante” sobre
esse material, em que se deixa impregnar pelos dados, o pesquisador determina o corpus da
pesquisa, ou seja, o campo no qual vai ser focalizada a atenção. (TRIVIÑOS, 1987). A
preparação do material envolve, assim, a escolha e organização dos dados, etapa em que o
investigador precisa estar certo de que não foram descartadas informações; de que os
documentos são homogêneos, ou seja, são todos referentes a um mesmo tema; de que são
adequados para a análise. A preparação inclui, também, uma parte mais técnica, que consiste
na disponibilização do material em algum meio físico: transcrição de gravações, elaboração
de fichas, cópias xerográficas de documentos, etc.
Em seguida, todo o material é lido novamente e inicia-se o processo de unitarização,
consistindo em determinar as unidades de significado, que podem ser “palavras, frases, termos
ou mesmo documentos em sua forma integral.” (MORAES, 1999, p. 16). Ao estabelecer as
unidades, a elas são atribuídos códigos, que podem ser letras, números ou uma combinação de
ambos.
Toda pesquisa qualitativa envolve a percepção do investigador; nesse caso, a
unitarização e a codificação serão feitas de acordo com os pressupostos teóricos da
investigação e as concepções de seu autor. No entanto, sempre precisamos cuidar para que as
unidades possam “ser interpretadas sem auxílio de nenhuma informação adicional”
(MORAES, 1999, p. 17), pois serão agrupadas e interpretadas fora do contexto inicial.

A categorização consiste em agrupar os dados codificados, a partir de critérios
previamente definidos ou que tenham emergido durante o processo. Esta etapa pode – e deve
– ser feita em mais de um processo de agrupamento, pois o retorno periódico ao corpus faz
com que as categorias sejam refinadas. Entre as qualidades apontadas por Bardin (1979) para
definir um conjunto de “boas” categorias, estão:
a) exclusão mútua: um mesmo elemento não pode pertencer a duas classes distintas;
b) homogeneidade: as classes devem ser determinadas segundo um mesmo critério;
c) pertinência: todas as categorias devem ser significativas para o estudo e adequadas
aos fundamentos teóricos que o subsidiam;
d) objetividade: quando as regras de classificação são definidas com suficiente
clareza, é possível que diferentes pesquisadores cheguem às mesmas classes
quando categorizam as mesmas unidades de conteúdo. Patton (1980) sugere que,
se houver mais de um investigador trabalhando sobre um conjunto de dados, é
interessante que cada um produza sua classificação e que essas sejam depois
comparadas, para refinar as classes.
A etapa seguinte do método consiste na descrição das categorias. Esta fase pode
envolver, inicialmente, a elaboração de quadros ou tabelas, com as categorias emergentes e o
número de ocorrências de cada uma delas. A parte qualitativa consiste em produzir um texto-
síntese que descreva os elementos presentes em cada classe, com o apoio de citações diretas
dos dados.
Finalmente, a última etapa consiste na interpretação, em que, a partir do conjunto de
categorias, o investigador vai refletir sobre os dados e, com base no referencial teórico e em
suas concepções sobre o tema, vai buscar respostas às suas questões de pesquisa. Nessa fase
final, em que se busca atingir a “compreensão mais aprofundada do conteúdo das mensagens
mediante inferência e interpretação” (MORAES, 1999, p. 24), o pesquisador vai ter elementos
para utilizar os resultados da pesquisa com fins teóricos – como a elaboração de
fundamentações sobre o tema – ou fins práticos, em que se abrem perspectivas para um
trabalho melhor qualificado com os participantes da pesquisa que responderam aos
questionários ou foram entrevistados.
Tendo apresentado de forma resumida as etapas da análise de conteúdo, vamos, a
seguir, exemplificar a metodologia que temos desenvolvido, com apoio de elementos de uma
pesquisa em andamento.
A Análise da Questão de Álgebra

Docentes de nove Instituições de Ensino Superior gaúchas vêm desenvolvendo um
projeto de pesquisa, com apoio do CNPq, denominado “Análise de erros em disciplinas
matemáticas de cursos superiores”, com os seguintes objetivos: a) analisar e classificar erros
cometidos por alunos ingressantes em disciplinas matemáticas de cursos superiores; b)
elaborar e desenvolver atividades para explorar as dificuldades detectadas; c) avaliar os
resultados da experiência, por meio de questionários e entrevistas aplicados a alunos e
professores. Inicialmente, foi elaborado um teste de múltipla escolha, a ser aplicado a alunos
calouros, versando sobre conteúdos de Matemática da Educação Básica. Ao lado de cada
questão, havia um espaço em branco para que o estudante pudesse desenvolver a solução.
Para uma apresentação detalhada do processo de análise que indicamos acima, escolhemos
uma questão de Álgebra, em geral trabalhada na 7ª série do Ensino Fundamental, cujo
enunciado é o seguinte:
O conjunto-solução, em ℜ , da equação
a) {-4 , -5 } b) { - 5 } c) { - 4 } d) { 4 } e) { 5 }
1 1 2
+ = 2
x + 5 2x
+ 9 2x
+ 19x
+ 45
Dos 368 alunos respondentes, 63 acertaram a alternativa correta, 171 erraram e 134
não assinalaram qualquer opção. No entanto, o número de alunos que resolveram – ou
tentaram apresentar alguma solução – no espaço em branco correspondente é de 78 alunos,
sendo que, destes, apenas 13 mostraram uma resolução correta. Dessa forma, pode-se supor
que os 50 alunos restantes que acertaram a questão, ou fizeram uma resolução mental – o que
não é muito provável, pois o problema exige, pelo menos, que o aluno exiba a equação de
primeiro grau correspondente - ou fizeram mentalmente substituições dos valores
apresentados nas alternativas, até encontrar a solução, ou, ainda, “chutaram” a resposta.
Para a análise específica dos erros em Álgebra, contamos com o auxílio da bolsista de
Iniciação Científica da FAPERGS que é co-autora deste artigo. Na fase de preparação dos
dados, primeiramente separamos as 78 soluções e fizemos cópia xerográfica, para ter um
corpus sobre o qual focalizamos a atenção. Relendo cuidadosamente as respostas dos
estudantes, fomos atribuindo uma letra a cada ocorrência distinta de solução. Primeiramente,
indicamos com C as soluções totalmente corretas; a seguir, fomos destacando os erros e
codificando. Às vezes, em uma mesma resposta, encontramos dois ou mais tipos de erros; em
outras, somente uma parte da solução foi escolhida por nós para atribuir uma letra. De
qualquer forma, nossas percepções, ao realizar a unitarização, estavam relacionadas ao
é:

“como”, ou seja, queríamos saber como o aluno determina o denominador comum das frações
do primeiro membro, como considera a igualdade entre os membros e como estabelece uma
equação que permita determinar o valor de x.
Feita a codificação, retomamos o conjunto das soluções para verificar se todas as
ocorrências de erros estavam contempladas, e se, ao agrupá-las, compreendíamos o
significado do erro. A categorização inicial deu origem a 19 classes, descritas a seguir, com
alguns exemplos para elucidar certos casos.
A: o aluno soma numeradores e denominadores para adicionar as frações algébricas do
primeiro membro.
B: a partir da igualdade (incorretamente obtida, pois somou os denominadores do
primeiro membro) de denominadores dos dois lados da equação, o aluno “passa” termos para
um dos lados e encontra uma expressão polinomial de segundo grau, usando a fórmula de
Baskhara para tentar encontrar raízes.
Exemplo: 3x +14 = 2x 2 - 19x + 45 = -3x – 14 + 2x 2 - 19x + 45 = 31 - 22x + 2x 2
Neste exemplo, há, ainda, erros de linguagem matemática, pois o aluno, ao “passar”
termos para o segundo membro, encadeia todas as expressões com sinais de igualdade.
D: o aluno multiplica corretamente os denominadores do lado esquerdo, mas depois
tenta encontrar as raízes do polinômio encontrado, usando a fórmula de Baskhara.
E: o aluno tenta encontrar as raízes da expressão do denominador da fração do lado
direito da equação, usando a fórmula de Baskhara
F: o aluno tenta encontrar as raízes da expressão do denominador da fração do lado
direito da equação, usando a fórmula de Baskhara, mas erra a aplicação da fórmula, em algum
passo.
Exemplo:
−19
±
x =
2
19 −
4
4.
2.
45
− 19 ±
=
364 − 360 − 19 ±
=
4
2
G: o aluno inicia corretamente a adição das frações do lado esquerdo da equação
(ainda que utilize o produto de todos os denominadores), mas erra a propriedade distributiva
da multiplicação em relação à adição, além de “perder” a igualdade.
= 2x
3
Exemplo:
( 2x
+ 9)(
2x
2
+ 19x
2
+ 19x
+
45)
( x + 5)(
2x
+ 9)(
2x
+ 4x
+ 10x
+ ( x + 5)(
2x
2
2
+ 19x
+
+ 95x
+ 20
2
+ 19x
+
45)
45)
=
( x +
2(
5)(
2
x +
x +
9)(
2
H: O aluno “cria” uma regra para multiplicar extremos e meios.
Exemplo 1: 2x+10+4x+18-4x 2 -19x-45=0
4
5)(
2x
+ 9)
x
2
+ 19x
+
45)
=

Exemplo 2: 2(x+5+2x+9)=...
No primeiro exemplo, o aluno parece ter multiplicado (erradamente) os meios (o
numerador da fração do lado direito por cada binômio dos denominadores das frações do lado
direito) e os extremos (também erradamente) e depois “passou” os termos para o primeiro
membro e igualou a zero, para tentar resolver a equação.
No segundo exemplo, o aluno multiplicou os meios (erradamente, pois somou os
denominadores das frações do lado direito) e não soube continuar, completando com
pontinhos.
I: No primeiro membro, o aluno soma numeradores e multiplica denominadores.
J: o aluno erra o produto dos denominadores das frações algébricas porque utiliza
incorretamente a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. No exemplo
citado, ainda erra por distração, ao copiar “19” como “9“.
Exemplo: (x+5)(2x+9)(2x 2 +9x+45)=2x 2 +2x 3 +10x 2 +45
K: o aluno soma os denominadores das frações do lado esquerdo e iguala ao
numerador do lado direito, lembrando algo que se expressa em “extremos e meios”.
Exemplo: 2x+9+x+5=2
2x+9+x+5-2=0
3x=2-5-9
3x=12
L: a resolução do aluno é incompreensível; em alguns casos, destacam-se erros graves,
em outros é possível descrever a resolução.
Exemplo 1: 2(-2x 2 +19x+45)=0
-4x 2 +38x+90=0
-38± K
2
( 38)
Neste exemplo, o aluno indica uma multiplicação que não faz sentido, iguala a zero e
tenta aplicar a fórmula de Baskhara para achar raízes. Quando não consegue continuar,
desenha um bonequinho enforcado na ponta do sinal de radiciação.
Exemplo 2: x+5=x+10 x+5
0= x+5 1
x+5
No exemplo acima, o aluno determina, incorretamente, as raízes do denominador do
segundo membro e fatora o polinômio, obtendo 2(x-9)(x+10); após, inexplicavelmente, obtém
x+5=x+10 e “cria” uma operação de divisão.

Exemplo 3: 2x 2 +19x+4
2x+9
x+5
2x 2 +2x+18
x 2 +x+9
Neste caso, o aluno soma (erradamente, tendo, ainda, copiado mal) os três
denominadores e depois divide a expressão obtida por 2, apesar de não ter uma equação para
dividir ambos os membros.
Exemplo 4: 1(x+5)+1(2x+9)=2(2x 2 +19x+45)
Neste último exemplo, o aluno “cria” uma regra para somar frações algébricas.
M: tendo errado o início da solução (por exemplo, somando numeradores), o aluno,
em seguida, aplica (corretamente) a multiplicação de extremos e meios.
N: o aluno tenta a solução apenas substituindo os valores dados como alternativas,
mas não consegue acertar porque erra as operações com frações.
O: o aluno tenta encontrar valores que anulam os denominadores, para eliminá-los,
mas não sabe como continuar o processo.
Exemplo: x+5≠0
P: o aluno indica que os denominadores têm que ser maiores que um valor
determinado, no caso, o oposto da raiz, mas não sabe o que fazer com os dados.
Exemplo:
1 1
+
x > 5
x >
9
2
Q: o aluno utiliza a fórmula de Baskhara para determinar as raízes da expressão do
−18
denominador do lado direito, mas não sabe calcular , errando o valor ou indicando que
4
não existe ( ∃ )
R: o aluno multiplica os numeradores e os denominadores das frações do lado
esquerdo da equação.
direito.
S: o aluno soma os denominadores do lado esquerdo e iguala ao denominador do lado

Feita a classificação, contamos o número de ocorrências em cada classe, obtendo os
dados indicados no quadro 1, a seguir.
Classe Número de ocorrências Classe Número de ocorrências
A 11 K 1
B 1 L 10
C 13 M 3
D 1 N 13
E 14 O 2
F 9 P 1
G 2 Q 6
H 2 R 1
I 1 S 1
J 2
Quadro 1 – Distribuição das classes de respostas
Em uma nova leitura dos dados, notamos que podíamos refinar a categorização, com
classes mais amplas, que responderiam melhor aos objetivos da pesquisa. Sendo assim,
reagrupamos os dados, obtendo as seguintes categorias:
I: o aluno soluciona corretamente a questão;
II: o aluno não sabe adicionar frações algébricas; nesse caso, do lado esquerdo da
igualdade, surgem frações obtidas por:
a) adição de numeradores e de denominadores;
b) adição de numeradores e multiplicação de denominadores;
c) multiplicação de numeradores e de denominadores;
d) adição de denominadores, igualando a soma ao denominador do lado direito.
III: o aluno utiliza a fórmula de Baskhara para obter as raízes de um polinômio de 2º
grau. Nessa classe, agrupamos as anteriores B, D, E, F e Q;
IV: o aluno não sabe multiplicar polinômios, especialmente porque não emprega
corretamente a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Nessa classe,
agrupamos as anteriores G e J;
V: o aluno tenta resolver a equação empregando a igualdade do produto dos extremos
e meios. Nessa classe, estão agrupadas as anteriores H, K e M;

VI: o aluno tenta resolver a questão apenas por substituição dos valores dados como
alternativas mas não sabe operar com frações. Em alguns casos, mesmo não tendo concluído o
processo, tenta encontrar valores que anulam os denominadores, para eliminá-los, ou então
indica que o denominador tem que ser maior que um determinado valor. É o caso das classes
N, O e P;
VII: nesta última classe, colocamos as soluções que são incompreensíveis, não sendo
possível descrevê-las indicando uma dificuldade em um tópico específico; em geral, cada
exemplo representa um caso à parte, como vimos nos exemplos da categoria L.
Após esse reagrupamento e obtidas sete classes, podemos indicar, no quadro 2, o
número e percentagem de ocorrências em cada uma delas.
Classes Ocorrências
nº %
I 13 14
II 14 15
III 31 33
IV 4 4
V 6 6
VI 16 17
VII 10 11
Total 94 100
Quadro 2 – Distribuição das classes após reagrupamento
Tendo apresentado as classes em quadros e em textos-síntese, podemos, então,
interpretar os resultados. Vemos que o maior número de erros concentrou-se na classe III.
Consideramos que os alunos apresentam uma tendência a aplicar a fórmula de Baskhara
sempre que vêem uma expressão polinomial de segundo grau, não importando qual é a
pergunta e nem como a expressão foi obtida. E mais, não importando, sequer, se a expressão é
igual a um determinado valor numérico, o que permitiria, efetivamente, pensar em equação de
segundo grau. Este erro aparece seguidamente em provas de Cálculo Diferencial e Integral,
em questões envolvendo limites ou derivadas (CURY, 2003), contribuindo para as
dificuldades em Cálculo, relatados por docentes de várias Instituições de Ensino Superior.
(CABRAL, 1998; NASCIMENTO, 2002; SAUER, 2004; AZAMBUJA et al., 2004, entre
outros).

Os outros erros que tiveram alta ocorrência foram os do tipo VI, do tipo II e do tipo
VII. Este último engloba as soluções em que não conseguimos compreender o pensamento do
aluno e seus exemplos são casos únicos. O tipo VI envolve uma estratégia bastante comum
em provas de múltipla escolha, que é a testagem das alternativas, e não podemos considerar
que seu uso é um erro, pois, se o objetivo é assinalar uma alternativa correta, muitos alunos
acertaram a questão dessa forma. No entanto, ao tentar fazer as substituições, alguns
estudantes mostraram não saber adicionar frações numéricas, ocorrendo muitos dos
procedimentos para adição de frações algébricas já indicados na classe II, ou seja, somar
numeradores e denominadores, multiplicar numeradores e denominadores, etc.
É interessante apontar que alguns dos erros cometidos pelos alunos, especialmente os
relacionados com a falta de conhecimento sobre adição de frações, já foram detectados por
Carry, Lewis e Bernard em 1980, sendo atribuídos nomes para cada tipo de erro. Por exemplo,
o que nós chamamos de “somar numeradores e multiplicar denominadores” (classe I da
primeira categorização), foi chamado de “combinação de frações”. (Apud Mayer, 1986).
Consideramos que a dificuldade com as operações no conjunto dos racionais é um
problema que se reproduz em outros conteúdos, pois o estudante que não entendeu o processo
de adição de frações numéricas, também não vai entender a adição de frações algébricas e,
toda vez em que aparecer uma operação com frações, em qualquer outro conteúdo, novamente
vão surgir as dúvidas e os erros. Este fato também é origem de dificuldades em qualquer
resolução de problemas, não só de Matemática, mas de Física e Química, no Ensino Médio ou
Superior.
Considerações Finais
A última etapa da análise de conteúdo envolve a interpretação dos dados, com apoio
de fundamentação teórica, para dar conta dos objetivos da pesquisa. Neste exemplo por nós
apresentado, de análise de uma questão que envolve resolução de equação com frações
algébricas, ao classificar as respostas e verificar quais os erros mais freqüentes, notamos que
os problemas parecem se concentrar em duas fontes: o reconhecimento de padrões não
adequados à solução da questão e as dificuldades relacionadas às operações com frações.
Hoch e Dreyfus (2004) apresentam resultados de uma pesquisa envolvendo estudantes
do ensino médio, com o objetivo de investigar o efeito do uso de parênteses na utilização,

pelos alunos, do que chamam de “sentido da estrutura” 1 . Primeiramente, os autores explicam
que uma estrutura algébrica pode ser definida em termos de forma ou ordem, acrescentando
que qualquer expressão ou sentença algébrica representa uma estrutura algébrica. Em seguida,
perguntam: se duas expressões ou sentenças algébricas são equivalentes, elas possuem a
mesma estrutura? E respondem com o exemplo das expressões 30x 2 –28x+6 e (5x-3)(6x-2),
que são equivalentes mas cujas interpretações – que preferimos chamar de “registros”,
segundo a terminologia usada por Duval (2003) – são diferentes, pois a primeira é uma
expressão quadrática, enquanto que a segunda é um produto de dois fatores lineares. No
entanto, as duas têm a mesma estrutura e, saber qual delas utilizar em um determinado
contexto, é parte do que Hoch e Dreyfus (2004) definem como “sentido de estrutura”:
Sentido de estrutura, como se aplica na álgebra do ensino médio,
pode ser descrito como uma coleção de habilidades. Essas habilidades
incluem: ver uma expressão ou sentença algébrica como uma entidade;
reconhecer uma expressão ou sentença algébrica como uma estrutura
previamente encontrada; dividir uma entidade em sub-estruturas, reconhecer
conexões mútuas entre estruturas, reconhecer quais manipulações são
possíveis de realizar e quais manipulações são úteis para realizar. (p. 51).
Duval (2003) menciona a grande variedade de representações semióticas usadas em
Matemática: figuras geométricas, escritas algébricas, linguagem natural, entre outras. Para
transformar uma representação em outra, pode-se realizar “tratamentos” e “conversões”. Os
tratamentos são transformações dentro de um mesmo registro. Por exemplo, passar de
y=2x 2 -8x-10 para y=2(x-5)(x+1). As conversões são transformações que consistem em mudar
o registro de representação, conservando-se o objeto denotado. Por exemplo, passar de
y=2x 2 -8x-10 para o gráfico cartesiano correspondente a uma parábola que corta o eixo dos x
nos pontos de abscissas 5 e –1.
Nas idéias desses autores aqui citados, notamos que estão subjacentes as resoluções
em que o aluno parte de uma determinada representação, correta, para outra, também correta
ou que apresenta algum erro facilmente justificável pela própria teoria por eles apresentada.
No entanto, em nossos exemplos de tipos de erro na questão que envolve resolução de uma
equação com frações algébricas, vemos alguns detalhes que extrapolam os conceitos de
sentido de estrutura e de transformações de registros de representação.
Por exemplo, na resolução do tipo III, os alunos reconhecem uma estrutura, no
denominador da fração do segundo membro, ou na (incorreta) operação com os
1 Structure sense, no original. Em nosso entender, uma outra tradução possível seria “percepção da estrutura”,
mas conservamos a palavra “sentido” porque já a temos lido em outros textos em língua portuguesa. Por
exemplo, Ponte (2005) traduz symbol sense por “sentido do símbolo”. (p. 37).

denominadores das frações do primeiro membro, a saber: uma expressão quadrática, que é
automaticamente associada à fórmula de Bhaskara. Podemos dizer que há falta do sentido de
estrutura? Os alunos reconheceram uma expressão algébrica previamente estudada, a
expressão quadrática, e relembraram uma manipulação a ser realizada com tal expressão, o
uso da fórmula de Bhaskara para determinar as raízes do polinômio. No entanto, não era este
o objetivo da questão, ou seja, faltou, em nosso entender, antes de tudo, o reconhecimento de
que havia uma equação, em que a solução estava a exigir uma operação com frações
algébricas. E, neste ponto, falhou o reconhecimento da estrutura da adição, em que as partes
são duas frações algébricas e a operacionalização dessa adição se faz por meio da
determinação do denominador comum.
Faltou, também, em nosso entender, a visualização de uma outra estrutura, que é a
multiplicação de fatores lineares; ou seja, como passar do registro de representação
(x+5)(2x+9) para o registro 2x 2 +19x+45. Duval (2003) aponta, de certa forma, essas
dificuldades dos alunos, ao dizer:
Numerosas observações nos permitiram colocar em evidência que os
fracassos ou bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino aumentam
consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou
que a mobilização simultânea de dois registros é requerida. (p. 210).
Concordamos, ainda, com o mesmo autor, quando ele cita Vygotsky para denunciar o
engano de considerar que todas as representações de um mesmo objeto matemático têm o
mesmo conteúdo. Efetivamente, vimos que os alunos não reconheceram, na expressão do lado
esquerdo da equação, uma adição de frações cujos denominadores poderiam ser multiplicados
para obter o denominador da fração do lado direito, o que simplificaria extremamente a
resolução. Ou seja, os estudantes não reconheceram o registro
equivalente a
1 1
+
x + 5 2x
+ 9
como sendo
3x
+ 14
, o que lhes permitiria igualar os dois membros e obter uma
2
2x
+ 19x
+ 45
simples equação de primeiro grau.
O que fazer para ensinar os alunos a “ver” uma estrutura algébrica e reconhecer as
possibilidades de trabalhar sobre ela? Pode-se ensinar “sentido de estrutura”? Essas são
perguntas pertinentes, quando se busca, como na pesquisa que estamos realizando,
desenvolver atividades para explorar as dificuldades detectadas. Hoch e Dreyfus (2004),
depois de mostrar a professores de ensino médio as mesmas questões aplicadas aos estudantes
participantes de sua pesquisa, constataram que apenas 50% tinham o “sentido da estrutura”,
resolvendo rapidamente a questão. Aqueles que não têm esse “sentido”, provavelmente não

encorajam seus alunos a usá-lo, fazendo com que estes, tediosamente, realizem operações
sempre da mesma forma, sem procurar ver o todo antes das partes, sem entender o que estão
fazendo. Assim, parece-nos que, neste exemplo da resolução de equação com frações
algébricas, temos que planejar atividades que auxiliem o aluno a desenvolver o pensamento
algébrico que, segundo Ponte (2005), “diz respeito ao estudo das estruturas, à simbolização, à
modelação e ao estudo da variação.” (p. 37).
Consideramos que atividades como juntar os pontos para visualizar uma determinada
figura, colorir regiões do plano, descobrir elementos escondidos em uma figura, que são
próprios da Educação Infantil, são as primeiras possibilidades de acostumar a criança a ver
um todo que está fragmentado em partes. Nas séries iniciais do ensino fundamental, pode-se
trabalhar com a descoberta de padrões geométricos ou numéricos, a partir de atividades
simples, como desenhar os elementos seguintes de uma determinada seqüência de pontos ou
figuras. Mais tarde, quando os alunos já começam a trabalhar com a simbologia algébrica, é
interessante partir de situações contextualizadas, para que o aluno possa modelar a solução e
generalizar a solução. De qualquer forma, antes de operar com as expressões algébricas, o
aluno deve entendê-las como formas de representar uma determinada situação, ou seja, como
registros de representação. Acreditamos que somente uma aprendizagem com significado
pode levar os estudantes à aquisição da habilidade de manipular símbolos e reconhecer a
estrutura subjacente.
Nosso objetivo, ao escrever este artigo, é apresentar uma visão geral sobre a
metodologia de análise de respostas a questões matemáticas, em analogia com a análise de
conteúdo. Dessa forma, buscamos, ao final, uma interpretação dos dados da nossa pesquisa
sobre a resolução de uma equação com frações algébricas, encerrando-se o ciclo de
procedimentos da análise de conteúdo das respostas. As sugestões de trabalho buscam atender
ao segundo objetivo da pesquisa, que é a elaboração de atividades para explorar as
dificuldades apontadas. A forma de implementação vai depender de uma série de fatores e as
tentativas que forem realizadas serão investigadas, por meio de instrumentos variados, como
questionários, observações de sala de aula ou entrevistas, conforme o último objetivo da
pesquisa referida.
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