Condução de Experimentos Computacionais com Métodos ...

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2.1 Definições Preliminares 21 Problemas de Programação Convexa Problemas de Programação Linear Problemas de Programação NãoLinear Problemas de Fluxo em Redes e Matching Problemas de Programação Inteira (NPCompletos) Figura 2.1: Classes de problemas consideradas neste trabalho. Retirada de [85]. Problemas de otimização podem ser modelados por meio de um conjunto de variáveis com seus domínios e restrições relativas às definições das variáveis. Eles podem ser divididos em três categorias: os que têm exclusivamente variáveis discretas; os que têm exclusivamente variáveis contínuas; e os que possuem variáveis contínuas e discretas. Nos problemas que envolvem variáveis contínuas, geralmente procura-se um conjunto de números reais de uma dada função; já nos problemas que envolvem variáveis discretas procura-se por um objeto de um conjunto finito ou possivelmente infinito, e este objeto pode equivaler a um inteiro, um conjunto, uma permutação ou um grafo. As técnicas descritas neste capítulo, trabalham sobre o domínio das variáveis discretas, que resolvem problemas que pertencem à classe de problemas de otimização combinatória [4]. As definições desta seção estão baseadas em [4, 72, 85, 109]. A seguir, são apre- sentadas as definições básicas de otimização, necessárias para compreensão do trabalho. As definições estão considerando sempre um problema de minimização. Definição 2.1 Um problema de otimização Π é especificado por um conjunto I de instâncias de um problema que pode ser um problema de minimização ou maximização. Definição 2.2 Uma instância de um problema de otimização é um par (S,c), onde S é o domínio de soluções factíveis; c é o custo de uma solução, um mapeamento que pode ser representado por c : S −→ R, ou seja, uma função de custo que associa a cada solução pertencente a S um valor real. Definição 2.3 O tamanho de uma instância corresponde ao total de códigos (numéricos e alfanuméricos) necessários para sua identificação, considerando o tipo e a estrutura dos dados utilizados.
2.1 Definições Preliminares 22 Definição 2.4 Uma solução s ∈ S é uma solução ótima global (ótimo global) se c(s) ≤ c(s ′ ), ∀ s ′ ∈ S. O ponto c é chamado de solução ótima global para uma dada instância, ou simplesmente solução ótima. Este tipo de solução será indicada por s ∗ . Definição 2.5 Na resolução de um problema de otimização combinatória, o objetivo é encontrar uma solução ótima s ∗ ∈ S. Em relação à algoritmos que tentam resolver problemas de otimização combi- natória, uma característica importante é a função de vizinhança. Esta função especifica para cada solução, quais soluções estão mais próximas dela. A função de vizinhança é geralmente definida em termos de pequenas mudanças que podem ser aplicadas à solução para obter uma solução vizinha. Definição 2.6 Uma função de vizinhança N : S → 2 S , onde 2 S corresponde ao conjunto {V | V ⊆ S}. A vizinhança especifica para cada solução s ∈ S um conjunto N(s) ⊆ S chamado vizinhança de s. A cardinalidade de N(s) é chamada de tamanho da vizinhança de s. De maneira simples, a vizinhança pode ser entendida como um conjunto N(s) de pontos que estão próximos aos pontos s ∈ S. Em vários problemas combinatoriais, a escolha de N pode depender criticamente da estrutura de S. Definição 2.7 Cada solução s ′ ∈ N(s) é chamada de vizinha de s. Definição 2.8 Um movimento é uma modificação m que transforma uma solução s em outra, s ′ , que esteja em sua vizinhança. Representa-se esta operação por s ′ ← s ⊕ m. Definição 2.9 O grafo de vizinhança de uma instância (S,c) de uma problema de otimi- zação combinatória, associado a uma função de vizinhança N, é um grafo direcionado G = (S,A), onde S representa um conjunto de vértices que equivale ao conjunto S de soluções, e o conjunto de arcos A é definido de tal forma que (s,s ′ ) ∈ A se e somente se s ′ ∈ N(s). O peso de um nó é o custo da solução correspondente. Se a função de vizi- nhança for simétrica, então o grafo pode ser simplificado em um grafo não-direcionado, substituindo-se os arcos (s,s ′ ) e (s ′ ,s) pela aresta {s,s ′ }. Encontrar uma solução ótima global de uma instância para alguns problemas pode ser difícil, mas geralmente é possível encontrar uma solução s ′ que é a melhor da vizinhança N(s). Definição 2.10 Uma solução s ′ é dita alcançável a partir de uma solução s se o grafo de vizinhança G contiver um caminho de s até s ′ .
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