Modelo de Hubbard bidimensional: rede hexagonal desordenada e ...

4.1 O método 31
onde A e B são operadores quaisquer não-comutantes e ∆τ é uma constante real.
No caso em questão, definindo β = ∆τM, a decomposição nos leva a reescrever a
função de partição grande-canônica como:
onde,
e,
K = −t
,σ
Z∆τ Tr
(c †
M
l=1
e −∆τK e −∆τV , (4.4)
iσcjσ + c †
jσciσ) − µ
i
(ni↑ + ni↓) , (4.5)
V =
Uini↑ni↓. (4.6)
i
Pode-se notar que a decomposição se torna exata no limite em que ∆τ → 0. Numeri-
camente, o tamanho de cada intervalo ∆τ deve ser escolhido tal que tU(∆τ 2 ) < 1/10, a
fim de minimizar os erros oriundos dessa decomposição. A introdução da discretização
em β, nos sugere, em analogia com a formulação de integral de caminho na Mecânica
Quântica, reescrever a função de partição da seguinte forma:
Z∆τ = M
〈i1|
=
i1
i1,i2,...,iM
l=1
e −∆τK e −∆τV |i1〉
〈i1|e −∆τK e −∆τV |i2〉〈i2|e −∆τK e −∆τV |i3〉 . . .
. . . 〈iM|e −∆τK e −∆τV |i1〉, (4.7)
onde na última passagem utilizamos a relação de fechamento dos estados no espaço de
Hilbert e |in〉 representam estados deste espaço. Esse formalismo induz uma interpretação
para ∆τ: ele representa intervalos de “tempo” (imaginário) discretos. Ou seja, para uma
dada temperatura T (β = 1/kbT ), temos então M fatias “temporais”, M = β/∆τ.
Logo, de acordo com a Eq. 4.7, o operador e −∆τH introduz uma correlação entre os
estados na direção temporal, fazendo com que a dimensão efetiva do sistema seja d + 1.