Modelo de Hubbard bidimensional: rede hexagonal desordenada e ...

Modelo de Hubbard bidimensional:
rede hexagonal desordenada
e rede quadrada com superredes
Rubem Mondaini
Orientadora: Thereza Cristina Lacerda Paiva

Modelo de Hubbard bidimensional: rede hexagonal desordenada
e rede quadrada com superredes
Rubem Mondaini
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Física do Instituto de Física da Universi-
dade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências –
M.Sc. – (Física).
Orientador: Thereza Cristina Lacerda Paiva
Rio de Janeiro
Julho de 2008

Mondaini, Rubem.
M741 Modelo de Hubbard bidimensional: rede hexagonal des-
ordenada rede quadrada com superredes / Rubem Mondaini.
Rio de Janeiro: UFRJ/IF, 2008.
xii, 91f.: il.; 29,7cm.
Orientadora: Thereza Cristina Lacerda Paiva
Dissertação (Mestrado) - UFRJ/ Instituto de Física/ Pro-
grama de Pós-graduação em Física, 2008.
Referências Bibliográficas: f. 76-79.
1. Estado Sólido. 2. Sistemas Fortemente Correlaciona-
dos. 3. Modelo de Hubbard 4. Sistemas Bidimensionais.
5. Superredes. 5. Redes Honeycomb 7. Desordem em sis-
temas bidimensionais I. Paiva, Thereza Cristina. II. Univer-
sidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Física, Pro-
grama de Pós-graduação em Física. III. Modelo de Hubbard
bidimensional: rede hexagonal desordenada rede quadrada
com superredes

Resumo
Modelo de Hubbard bidimensional:
rede hexagonal desordenada e rede quadrada com superredes
Rubem Mondaini
Orientadora: Thereza Cristina Lacerda Paiva
Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Física do Instituto
de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Mestre em Ciências – M.Sc. – (Física).
Estudamos dois tipos de sistemas bidimensionais: estruturados (superredes na rede
quadrada) e desordenados (rede hexagonal), ambos dentro da abordagem de férmions
fortemente correlacionados. Para isso, adotamos o modelo de Hubbard no ensemble
grande canônico com as devidas generalizações para simular cada um destes sistemas.
Utilizamos o método numérico de Monte Carlo Quântico Determinantal para extrair as
grandezas físicas necessárias. No sistema das superredes, fazemos a interação eletrônica
U local do modelo sendo nula em determinadas camadas com a finalidade de simular
camadas não-magnéticas e as demais simulam camadas magnéticas. Obtemos o com-
portamento do ordenamento magnético bem como as propriedades de transporte como a
condutividade dc para a banda semi-cheia e fora da banda semi-cheia. Também compara-
mos as duas abordagens mais utilizadas da Hamiltoniana do problema. Fomos capazes
de determinar a razão crítica entre o número de camadas livres e repulsivas que separam
os comportamentos metálicos e isolantes. Já no caso da rede hexagonal simulamos o

efeito da desordem nos níveis de energia locais de cada sítio da rede e vimos como ela
afeta as suas propriedades magnéticas. Mostramos que uma quantidade pequena de de-
sordem é responsável por um aumento da magnetização das subredes via diminuição de
acoplamentos singleto.
Rio de Janeiro
Julho de 2008

Abstract
Two-dimensional Hubbard model:
Disordered Honeycomb Lattice and Square Lattice With Superlattices
Rubem Mondaini
Advisor: Thereza Cristina Lacerda Paiva
Abstract of Thesis presented to Programa de Pós-graduação em Física do Instituto de Física da Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro, as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of
Science – M.Sc. – (Physics).
We study two kinds of two-dimensional systems: structured (superlattices in the square
lattice) and disordered (honeycomb lattice), both in the approach of strongly correlated
fermions. For this, we adopt the Hubbard model in the grand-canonical ensemble with
the necessary generalizations to simulate each one of these systems. We use the Deter-
minantal Quantum Monte Carlo as the numerical method to obtain the desired physical
quantities. In the superlattice system we set the local electronic interaction U = 0 in cer-
tain layers with the purpose to simulate the non-magnetic layers. The magnetic layers are
simulated by considering U = 0. We obtain the behavior of the magnetic ordering as well
as the transport properties like the dc conductivity for the half-filled band and away from
this filling. We also compare the two most used approaches of the Hamiltonian of the
problem. We were able to determine the critical ratio of the number of repulsive layers to
the free ones that separate the insulating and metallic behaviors. In the honeycomb lattice
we simulate the effect of disorder in the local energy levels of each site and observe how

it affects the magnetic properties of the system. We show that a small quantity of disorder
is responsible for an increase in the sublattice magnetization through the decrease in the
singlet couplings.
Rio de Janeiro
July 2008

Feliz o homem que acha sabedoria e o homem que
adquire conhecimento; porque melhor é o lucro que ela dá
que o da prata, e melhor a sua renda do que o ouro mais fino.

A Deus
Agradecimentos
Aos meus pais, Denise e Rubem, por todo o incentivo e apoio que sempre me deram.
Ao meu pai em especial, por ter motivado desde cedo meu interesse pelas ciências, par-
ticularmente, pela física e matemática. A minha mãe pelo carinho e constante dedicação
na minha infância.
Aos meus irmãos, Leonardo, Débora, Felipe e Cecília, pela amizade e carinho.
À Débora Trombetta, pelo carinho, incentivo e compreensão pela falta de tempo e de
atenção.
À professora Thereza C. L. Paiva, pela paciência e orientação.
Aos professores e alunos do grupo de Sistemas de Férmions Fortemente Correlaciona-
dos pelo apoio e pelas sugestões que ajudaram a concretizar esta dissertação.
Aos amigos da IBSFX e da célula que sempre me apoiaram.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.

Índice
1 Introdução 1
1.1 Multicamadas Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Redes Honeycomb - Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 O Modelo de Hubbard em duas dimensões 6
2.1 Simetrias no modelo de Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Transição metal-isolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Rede Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Rede Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Rede Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Rede Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 O Modelo de Hubbard e suas aplicações 21
3.1 Diluição por sítios na Rede Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Multicamadas Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Desordem na Rede Honeycomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 O método de Monte Carlo Quântico 29
4.1 O método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Cálculo de grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Problemas inerentes ao método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 O problema do sinal negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.2 Instabilidades à baixas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Resultados 44
5.1 Superredes magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.1 Resultados para o caso simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido . . . . . . . . . . . 59
5.3 Desordem na rede hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Correlações magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Conclusões 72
Apêndice A 74

Capítulo 1
Introdução
Nesta dissertação, estaremos interessados em estudar dois sistemas físicos: multica-
madas magnéticas e grafeno. O primeiro deles tem atraído muita atenção nos últimos 20
anos. Já o segundo só começou a ter um intenso estudo a partir de sua síntese em 2004.
Ambos exibem propriedades muito interessantes com potenciais aplicações no campo
tecnológico.
1.1 Multicamadas Magnéticas
Multicamadas magnéticas são estruturas formadas pela repetição alternada de ca-
madas de um material ferromagnético (geralmente um metal de transição como Ferro,
Níquel, ou Cobalto) e de camadas de um material não-magnético (como por exemplo
Cu, Ag, Au, Mg e Mn). Elas são crescidas por processos de epitaxia por feixe molec-
ular (MBE), sputtering, deposição por lasers pulsados, etc. em câmaras de ultra-alto
vácuo, separando-se os tipos de átomos que compõem a heteroestrutura, formando assim
um arranjo cristalino em cada camada. No entanto, quando a largura dessas camadas é
pequena, da ordem de alguns átomos, as propriedades da estrutura são bem diferentes
das de cada material isoladamente, dando origem a uma nova classe de fenômenos, al-

1.1 Multicamadas Magnéticas 2
guns dos quais já vêm sendo amplamente explorados em aplicações tecnológicas. Um
dos fenômenos interessantes que ocorre nestes materiais é que o acoplamento entre as
camadas magnéticas, dado pela constante de exchange, possui um comportamento os-
cilatório conforme variamos o tamanho da camada do material espaçador (não-magnético)
e também com a largura do material magnético. Essa oscilação faz com que os átomos
das camadas magnéticas acoplem-se ferromagneticamente ou antiferromagneticamente
dependendo das condições supracitadas. Edwards et al. [1] mostraram que este acopla-
mento decai com o quadrado do inverso do número de camadas do material espaçador
não magnético. Além disso, os períodos de oscilação são determinados pela superfície de
Fermi do material separador, enquanto que a fase e a amplitude de oscilação dependem
do “descasamento” entre as bandas do material espaçador e do material magnético. Na
Fig. 1.1 mostramos o comportamento geral da constante de exchange como função do
número de camadas do material separador.
Figura 1.1: Constante de exchange em unidades arbitrárias como função do número de camadas
do espaçador não-magnético para dois valores de Energia de Fermi deste material, adaptado da
Ref. [1]
O efeito da temperatura neste sistema é apenas de diminuir as amplitudes de oscilação

1.2 Redes Honeycomb - Grafeno 3
do exchange, não afetando as condições de acoplamento ferromagnético ou antiferro-
magnético. Outro ponto interessante a se salientar é que a aplicação de campos magnéticos
induz um fenômeno chamado de magnetorresistência gigante (GMR), que consiste na
diminuição da resistividade das multicamadas a uma fração pequena do valor inicial. Este
efeito tem sido utilizado em dispositivos para a leitura de fitas magnéticas, aumentando a
capacidade de armazenamento de informações.
Com todas estas significativas propriedades, as multicamadas magnéticas constituem
um importante sistema a ser tratado dentro da abordagem de férmions fortemente correla-
cionados. Neste caso, estudaremos sistemas bidimensionais que simulam estas multica-
madas, as chamadas superredes magnéticas, estudando como a presença destas estruturas
afeta o ordenamento magnético e as propriedades de transporte dos sistema.
Isto é motivado pela intensa pesquisa na miniaturização das multicamadas seja em sis-
temas bidimensionais ou unidimesionais que sejam termicamente estáveis para aplicação
em dispositivos de gravação magnéticos [2]. A tentativa de construção de multicamadas
magnéticas bidimensionais é recente com variados trabalhos que mostram a redução na
espessura destas camadas [3, 4] e também na tentativa de crescimento de amostras ultra-
finas que ainda resultam em ilhas destes materiais [5, 6]. Estes sistemas heteroestrutura-
dos também são de grande importância para aplicação em novas áreas como a spintrônica [7].
1.2 Redes Honeycomb - Grafeno
Outro sistema a ser tratado dentro da abordagem de férmions fortemente correlaciona-
dos é o de redes honeycomb. Este sistema é interessante pelo fato de possuir certas sime-
trias poucos estudadas neste campo. A reboque, o interesse advém da recente separação
de uma única camada cristalina de grafite, que convencionou-se chamar grafeno, a qual
consiste em uma rede cristalina hexagonal de átomos de Carbono. O interesse nesse ma-
terial é premente em virtude de suas importantes propriedades. A primeira delas é a sua
própria existência. Há cerca de 70 anos, Landau [8, 9] e Peierls [10] mostraram que

1.2 Redes Honeycomb - Grafeno 4
flutuações térmicas destruiriam ordens de longo alcance, resultando em um colapso da
estrutura cristalina bidimensional a qualquer temperatura finita. Ou seja, estes sistemas
seriam termodinamicamente instáveis. Durante muito tempo experimentos comprovaram
esta afirmação mostrando que filmes muito finos acabavam segregando-se em ilhas ou
decompondo-se. No entanto, embora a teoria não permita cristais perfeitos em um espaço
2D, ela não proíbe cristais 2D quase-perfeitos em um espaço 3D. Isto é, interações
com estruturas 3D podem estabilizar cristais 2D durante o crescimento e, de fato, alguns
cristais 2D foram sintetizados no topo de outros cristais embora fosse necessário que
houvesse um casamento entre as constantes de rede das duas estruturas. Desta forma, o
grafeno pôde ser sintetizado: por meio de um processo de clivagem de grafite e posterior
deposição em um substrato de óxido de Silício, embora ele também possa ser depositado
em um substrato não-cristalino ou ainda em suspensão em um líquido.
De fato, uma análise detalhada do problema de cristais 2D mostra que a interação
entre fônons de longos comprimentos de onda associados ao esticamento e dobramento
pode em princípio estabilizar membranas de espessura atômica através da sua deformação
na terceira dimensão. E isso permite o desenvolvimento de cristais de grafeno suspenso
apoiados apenas em contatos elétricos nas suas extremidades [11]. Este corrugamento,
que numa escala lateral é da ordem de 10 nm enquanto o tamanho de uma amostra de
grafeno pode chegar até 100 µm, leva a um ganho de energia elástica, suprimindo as
vibrações térmicas que acima de uma certa temperatura pode minimizar a energia livre
total.
Outra propriedade importante do material é que ele é um semi-condutor de gap nulo
cuja dispersão é linear nas proximidades da região de contato entre as bandas de valência
e de condução. Esse tipo particular de dispersão imita em parte a física da eletrodinâmica
quântica para férmions sem massa, exceto pelo fato de que no grafeno os férmions de
Dirac movem-se com uma velocidade que é 300 vezes menor que a velocidade da luz.
Outro ponto interessante é que sob certas condições os férmions de Dirac são imunes

1.2 Redes Honeycomb - Grafeno 5
a efeitos de localização observados em elétrons ordinários e tem sido estabelecido ex-
perimentalmente que os elétrons podem propagar sem espalhar por grandes distâncias da
ordem de micrômetros no grafeno, caracterizando um transporte balístico.
No entanto, como as condições em que são sintetizadas as amostras de grafeno não
são perfeitamente controladas, várias fontes de desordem podem ser relevantes. Entre
elas podemos destacar a rugosidade do substrato, a presença de água entre o substrato e o
grafeno, a adsorção de elementos estáveis como o nitrogênio entre outras.
Vários trabalhos vem demonstrando que a desordem tende estabilizar ordens magnéticas
(como o ferromagnetismo) à temperatura ambiente [12, 13, 14] para amostras de grafite
quase-bidimensional irradiado por prótons. Outros trabalhos experimentais e teóricos
mostram que a dopagem eletrônica por metais alcalinos pode fazer emergir correlações
supercondutoras em carbono [15] e também nos sistemas de grafite quase-bidimensional,
as correlações supercondutoras parecem ser relevantes para a descrição de comportamen-
tos metálicos destas amostras. Estas referências salientam que a inclusão das interações
elétron-elétron e também dos possíveis efeitos de desordem (sejam estruturais ou por
adsorção de átomos) podem ser primordiais para a compreensão destes fenômenos. As-
sim o estudo das propriedades destas redes hexagonais desordenadas nas abordagem de
férmions fortemente correlacionados é premente.
Esta dissertação está organizada da seguinte forma: no Capítulo 2 introduzimos o
modelo tight-binding e algumas de suas propriedades e simetrias; no Capítulo 3 mostramos
como generalizar este modelo para os sistemas estudados bem como alguns resultados
conhecidos na literatura para sistemas semelhantes; no Capítulo 4 ilustramos o método
numérico necessário para obtenção das grandezas físicas; no Capítulo 5 mostramos os
nossos resultados para os dois sistemas e no Capítulo 6 finalizamos com as conclusões
deste trabalho.

Capítulo 2
O Modelo de Hubbard em duas
dimensões
O modelo de Hubbard oferece uma das maneiras mais simples de se obter uma boa
compreensão de como a interação entre elétrons pode originar comportamentos isolantes,
magnéticos e supercondutores em sólidos. Ele foi proposto no começo da década de 60
e inicialmente aplicado para se entender o comportamento dos monóxidos de metais de
transição (F eO, NiO, CoO), que são isolantes antiferromagnéticos e haviam sido predi-
tos como metálicos por métodos que tratavam fortes interações menos cuidadosamente.
Ao longo dos anos o modelo de Hubbard tem sido aplicado a muitos sistemas como
férmions pesados [16], supercondutores de altas temperaturas [17], redes óticas [18], en-
tre outros. Nesse trabalho estaremos interessados na sua aplicação a sistemas de multica-
madas magnéticas e redes honeycomb. O modelo consiste em uma Hamiltoniana efetiva
para elétrons fortemente ligados a sítios de uma rede cristalina, que fazem o papel de íons,
H = −t
(c †
〈i,j〉,σ
iσ cjσ + H.c.) + U
i
ni↑ni↓ − µ
(ni↑ + ni↓) , (2.1)
onde o operador de aniquilação ciσ destrói um elétron no sítio i com spin σ e o operador
de construção c †
iσ cria um elétron com spin σ no sítio i. O operador niσ é o operador
i

2.1 Simetrias no modelo de Hubbard 7
número (niσ = c †
iσ ciσ) responsável pela contagem eletrônica em cada sítio com um deter-
minado spin. Portanto, o primeiro termo da Hamiltoniana é responsável pela itinerância
dos elétrons na rede ao destruir um elétron em um sítio e criá-lo em outro com o vínculo
de que estes sítios são primeiros vizinhos (dado por 〈i, j〉). Este termo é freqüentemente
chamado de termo cinético e t é a integral de transferência que no nosso trabalho será
tomada igual a 1, definindo a escala de energia. O segundo termo é referente à energia de
interação Coulombiana. Ele é válido em geral para todos os sítios da rede e adiciona uma
quantidade de energia U quando estes sítios estão duplamente ocupados. O último termo
é referente ao potencial químico responsável por controlar a densidade eletrônica na rede.
Um ponto interessante a se observar é que o modelo de Hubbard é baseado no modelo
simplificado de apenas um nível de energia por átomo, constituindo uma banda s. Logo,
pelo princípio de exclusão de Pauli cada sítio pode comportar no máximo dois elétrons
com spins opostos.
2.1 Simetrias no modelo de Hubbard
O Hamiltoniano na forma como foi escrito na Eq. 2.1 não é simétrico na troca de
elétrons com uma dada polarização por buracos com a mesma polarização. Para verificar
isso façamos a transformação partícula-buraco que consiste na mudança dos operadores
fermiônicos (os til’s representam variáveis de buracos),
c †
iσ → ˜ciσ = (−1) i c †
iσ , ciσ → ˜c †
iσ = (−1)i ciσ. (2.2)
Aplicando-a para os números de ocupação, obtemos:
niσ ≡ c †
iσciσ = ˜ciσ˜c †
iσ = 1 − ˜c† iσ˜ciσ ≡ 1 − ñiσ. (2.3)
Antes de vermos o que acontece com o termo de energia cinética sob uma transformação
partícula-buraco, introduziremos a idéia de uma rede bipartite. Uma rede bipartite é uma
rede que pode ser dividida em duas sub-redes A e B de tal forma que um sítio em A

2.1 Simetrias no modelo de Hubbard 8
somente possui vizinhos que estão em B e vice-versa. Um exemplo de redes bipartites
em duas dimensões são as redes quadradas e hexagonais como veremos ao longo deste
capítulo. Logo, o fator (−1) i na transformação partícula-buraco é dado por −1 em uma
sub-rede e +1 na outra. Portanto, o elemento de matriz do termo cinético nestas novas
variáveis é escrito:
Kij = −t c †
iσcjσ + c †
jσciσ
−→ ˜ Kij = t(−1) i+j
˜c †
jσ˜ciσ + ˜c †
iσ˜cjσ
. (2.4)
Vemos então que ˜ Kij = Kij se i, j são primeiros vizinhos e, além disso, se a rede
em questão for uma rede bipartite. Já o termo de interação e de potencial químico
transformam-se da seguinte maneira:
Uni↑ni↓ − µ
(ni↑ + ni↓) → Uñi↑ñi↓ + [µ − U] (ñi↑ + ñi↓) + [U − 2µ]. (2.5)
i
Logo o Hamiltoniano total transformado se torna,
˜H = −t
,σ
(˜c †
iσ˜cjσ + H.c.) + U
ñi↑ñi↓ + [µ − U]
(ñi↑ + ñi↓) + [U − 2µ]. (2.6)
i
Note que o último termo é uma constante que pode ser absorvida na energia. Assim, ao
compararmos com a Eq. 2.1, o Hamiltoniano total fica invariante pela simetria partícula-
buraco se
−µ = [µ − U] ∴ µ = U
2
i
(2.7)
Esta, portanto, constitui-se em uma condição para a banda semi-cheia (n = 1). Outro
ponto importante a se observar é que no caso de hopping entre segundos vizinhos, por
exemplo, não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia
não é conhecida a priori. Dependendo do método usado para resolver o Hamiltoniano,
em geral, o que se faz é a transformação do modelo de Hubbard para sua forma mais
simétrica,
H = −t
,σ
(c †
iσcjσ+H.c.)+U ni↑ − 1
ni↓ −
2
1
−µ
2
(ni↑ + ni↓) , (2.8)
i
i

2.2 Transição metal-isolante 9
que sob a transformação partícula-buraco se torna,
˜H = −t
(˜c †
iσcjσ +H.c.)+U
ñi↑ − 1
ñi↓ −
2
1
+µ
2
(ñi↑ + ñi↓)−2µNs,
,σ
i
i
(2.9)
fazendo com que a condição de banda semi-cheia seja transferida para o ponto µ = 0.
Assim de maneira mais precisa, o modelo de Hubbard com um dado µ mapeia o modelo de
Hubbard com o sinal do potencial químico mudado, i.e., com µ trocado por −µ. De fato,
isso implica que todo o diagrama de fase do modelo de Hubbard em uma rede bipartite é
simétrico em torno da banda semi-cheia.
2.2 Transição metal-isolante
O modelo de Hubbard possui os ingredientes necessários (como, por exemplo, a
interação eletrônica) capazes de descrever transições metal-isolante. A idéia é simples:
imagine uma rede semi-preenchida na qual cada sítio possui um elétron. A fim de que um
elétron se mova, ele terá de ir a um sítio que já está ocupado. Isto custará uma energia U.
É plausível imaginar que se U for muito grande, os elétrons não irão se mover na rede e
nós teremos um isolante do tipo Mott.
O isolante de Mott pode ser descrito em uma forma um pouco mais sutil, que, no
entanto, conecta-se um pouco mais com o quadro de gaps de energia que dão origem
a isolantes. Imagine uma rede quase vazia e façamo-nos a pergunta de quanto seria o
custo de energia para adicionar um elétron. Este custo não envolverá U já que será fácil
encontrar um sítio vazio. Quando chegarmos à banda semi-cheia, contudo, o custo de
adicionarmos um elétron aumenta por U, já que inevitavelmente um elétron adicionado
deverá ficar em um sítio junto de um outro elétron já presente. Este aumento súbito no
custo de adicionarmos uma partícula é descrito como o gap de Mott e explica o fato de
que o custo de adicionarmos um elétron aumenta de uma determinada quantidade se existe
um gap nas bandas de energia. Isto pode ser também facilmente visto esquematizando o

2.2 Transição metal-isolante 10
diagrama de bandas do modelo de Hubbard (Fig. 2.1)
Figura 2.1: Diagrama de bandas do modelo de Hubbard (a) sem interação (U = 0) e (b) com
U = 0
Na Figura 2.1(a) temos a densidade de estados como função da energia para o modelo
sem interação na banda semi-cheia, i.e., com U = 0 e em (b) na presença da interação. A
distância entre as bandas é proporcional ao valor de U e representa a energia necessária
para preencher a rede além da banda semi-cheia. Vale a pena notar, no entanto, que
apesar de essa analogia ser válida para ilustração, o gap de Mott difere de muitas maneiras
fundamentais dos gaps de banda.
O que vem em questão nesse momento é como caracterizar, do ponto de vista numérico,
quando ocorre essa transição entre os comportamentos metálico e isolante. Uma grandeza
capaz de fazê-lo é a compressibilidade eletrônica definida como a resposta em densidade
no estado fundamental do sistema a uma variação do potencial químico aplicado. Mais
precisamente,
κ = 1
〈n〉 2
∂〈n〉
. (2.10)
∂µ T =0
O sistema será isolante quando este valor for nulo, ou seja, o sistema será incompressível
eletronicamente. Caso contrário, o sistema será metálico.
Outro critério importante para caracterização metal-isolante foi introduzido por Scalapino
et al. [19] e está relacionado ao cálculo da função de correlação corrente-corrente uni-
forme. A partir dela pode-se calcular o peso de Drude e a condutividade dc que são me-

2.2 Transição metal-isolante 11
didas diretas do estado do sistema. Estes critérios serão melhor explorados no Capítulo
5.
2.2.1 Rede Quadrada
Apesar de simples na aparência o modelo não pode ser resolvido exatamente com
exceção do caso uni-dimensional [20]. Para dimensões maiores um grande número de
técnicas aproximativas foram utilizadas para a sua descrição como teorias de Campo
Médio [21], aproximações por princípios variacionais [22] e, mais recentemente, métodos
de Monte Carlo Quântico [23], dentre outras. O caso particular da rede bidimensional
quadrada é interessante como caso de estudo por configurar-se como uma rede bipartite
satisfazendo as condições de simetria descritas na seção anterior. Definiremos a unidade
de distâncias considerando que o parâmetro de rede a0 é igual a 1.
Se fizermos a interação U = 0 e tomarmos a transformada de Fourier dos operadores
de criação e destruição obtemos a energia em função do vetor de onda k,
ɛ( k) = −2t(cos(kx) + cos(ky)) − µ, (2.11)
onde k é um vetor pertencente à primeira zona de Brillouin. A Figura 2.2 mostra a su-
perfície de Fermi para vários preenchimentos de banda em uma rede quadrada infinita.
Observe que no caso da banda semi-cheia, a superfície de Fermi está “encaixada” na 1 a
zona de Brillouin.
Na Eq. 2.11 podemos ver que essa banda de energia possui a propriedade que ɛ( k +
Q) = ɛ( k) para o vetor Q = (π, π) pertencente à rede recíproca. Portanto, o vetor Q
transforma todo ponto da superfície de Fermi em outro ponto da mesma superfície. Essa
propriedade, que está relacionada ao “encaixamento”, possui importantes conseqüências
para as propriedades do modelo como veremos a seguir.
Considerando agora a interação Coulombiana U homogênea em todos os sítios da
rede, alguns resultados são conhecidos, como os provenientes da abordagem de Campo

2.2 Transição metal-isolante 12
Figura 2.2: Superfícies de Fermi para elétrons em uma rede quadrada bidimensional com in-
tegral de transferência de primeiros vizinhos. Os preenchimentos de banda correspondem a
n = 0, 25; 0, 5; . . . ; 1, 5 começando da superfície mais interna. Note que a superfície de Fermi
no caso da banda semi-cheia (n = 1) está “encaixada”. Adaptado da Ref. [23].
Médio e de Monte Carlo Quântico. Estas técnicas oferecem resultados qualitativos con-
flitantes para o diagrama de fases, como pode ser visto na Figura 2.3. O método de
Campo Médio (Hartree-Fock) exibe soluções paramagnéticas (P), ferromagnéticas (F)
e antiferromagnéticas (A) para o estado fundamental dependendo da interação U e do
preenchimento de banda 〈n〉, enquanto o método de Monte Carlo Quântico só indica
soluções paramagnéticas e antiferromagnéticas. Note também que para U grande e den-
sidades eletrônicas próximas a 1, a ocorrência do ferromagnetismo é predita no método
de Campo Médio (CM), no entanto, no método de Monte Carlo Quântico (MCQ) não
existe nenhuma indicação da existência deste tipo de ordenamento. O fato de a teoria
de CM mudar um problema de muitos corpos para um problema de uma partícula é re-
sponsável por exibir tais discrepâncias em comparação com o método exato de MCQ.
Ademais, no método de MCQ, para banda semi-cheia, o sistema exibe ordem de longo
alcance antiferromagnética para todos os valores finitos da interação U. Isso não é óbvio,

2.2 Transição metal-isolante 13
Figura 2.3: Diagramas de Fase para o modelo de Hubbard bi-dimensional com aproximação de
Campo Médio (a) e Método de Monte Carlo Quântico (b), adaptado da Ref. [23]
já que a princípio poderíamos esperar que existisse um valor finito crítico Uc abaixo do
qual não existiria este tipo de ordenamento. No limite de acoplamento forte, i.e., para
valores U ≫ t, o modelo de Hubbard é equivalente (em teoria perturbativa de segunda
ordem em t) ao modelo de Heisenberg antiferromagnético na banda semi-cheia, definido
pela Hamiltoniana
Heff = + 4t2
U
Si · Sj
(2.12)
que apresenta ordem de longo alcance antiferromagnética. Já no caso U = 0 não há or-
dem, portanto, o resultado do método de MCQ nos diz que há uma transição magnética a
qualquer valor finito diferente de zero da interação eletrônica. Este resultado está intrin-
secamente relacionado ao encaixamento da superfície de Fermi para a banda semi-cheia
descrito anteriormente. Uma interação U arbitrariamente fraca gera uma distorção dos
vetores Q abrindo um gap na superfície de Fermi, o que leva a um estado fundamental
isolante, mostrando que de fato para redes quadradas o Uc é igual a zero. Observa-se,
portanto, que para banda semi-cheia, a transição metal-isolante do tipo Mott e a transição
magnética ocorrem conjuntamente neste tipo de rede.

2.2 Transição metal-isolante 14
A caracterização dessa transição pode ser feita, como vimos, a partir da compressibili-
dade eletrônica. Podemos ver na Figura 2.4 o comportamento da transição metal-isolante
para o caso da rede quadrada bidimensional calculado por meio do método de MCQ, cujo
resultado apresenta-se de acordo com o diagrama de fases apresentado anteriormente.
Figura 2.4: Densidade eletrônica na rede quadrada bi-dimensional em função do potencial
químico µ, calculada pelo método de MCQ para inverso da temperatura β = 6 com U = 0 e
U = 4 t em uma rede 8x8; as linhas tracejadas indicam a imcompressibilidade eletrônica na banda
semi-cheia para o caso com U = 0
2.2.2 Rede Hexagonal
A Hamiltoniana de Hubbard Bi-dimensional tem sido amplamente estudada como
modelo para transições metal-isolante e transições magnéticas. No caso da rede quadrada,
na banda semi-cheia, vimos que qualquer valor finito da interação U é capaz de induzir
ambas as transições, resultando em um estado fundamental antiferromagnético isolante.
No entanto, é interessante estudar também sistemas em que exista um valor Uc responsável
por induzí-las. De fato, isso é o que ocorre nas redes hexagonais. A rede hexagonal é uma
rede bipartite que não se configura como uma rede de Bravais, mas entretanto pode ser

2.2 Transição metal-isolante 15
vista como uma rede triangular com uma base de dois átomos por célula unitária.
Figura 2.5: Estrutura da rede hexagonal, feita a partir de duas redes triangulares A e B interpen-
etrantes
por:
A energia da Hamiltoniana de Hubbard não-interagente (U = 0) nessa rede é dada
ɛ(
k) = −t 3 + f( k), f( √ √
3
k) = 2 cos 3ky + 4 cos
2 ky
3
cos
2 kx
− µ. (2.13)
Com esta forma na energia, não ocorre o “encaixamento” da superfície de Fermi na 1 a
Z.B., o que faz o valor da interação crítica ser diferente de zero. De fato, cálculos pelo
método de MCQ e Expansão em séries [24], sugerem um valor de Uc no intervalo de
4 − 5 t para ambas as transições: metal-isolante e paramagnetismo-antiferromagnetismo.
Já cálculos pelo método de CM indicam um valor bem menor em torno de Uc = 2, 2 t.
O diagrama de fases do modelo pelos dois métodos está esquematizado na Figura 2.6,
onde para o método de MCQ só se possui dados, até o presente momento, para a banda
semi-cheia.

2.3 Magnetismo 16
Figura 2.6: Diagramas de fase do modelo de Hubbard na rede hexagonal pelo método de CM
(adaptado da Ref. [25]) e método de Monte Carlo Quântico, respectivamente. No método de CM
aparecem fases antiferromagnéticas (AF), ferromagnéticas fracas (FF), espirais e paramagnéticas
(P); já no método de MCQ, não foi observada a existência de ferromagnetismo para a densidade
estudada.
2.3 Magnetismo
Para entendermos melhor o papel das correlações magnéticas nesse sistema é interes-
sante definir a função de correlação spin-spin
〈SiSj〉 = 3
4 〈mimj〉, (2.14)
onde mi ≡ ni↑ − ni↓ é a magnetização líquida no sítio i. Podemos, portanto, calcular
os momentos locais através de 〈S 2 i 〉 que constituem uma medida do grau de itinerância
dos elétrons de um sistema. Para um sistema homogêneo completamente localizado (i.e.
com U = ∞) na banda semi-cheia temos que 〈S 2 i 〉 = 3/4 para T → 0, ao passo que no
limite oposto de completa itinerância (U = 0) obtemos que 〈S 2 i 〉 = 3/8. Com relação
à densidade, o momento local possui o seguinte comportamento: acima de n = 1, ele
decai devido a um aumento da dupla ocupação nos sítios. Ao contrário da magnetização,

2.3 Magnetismo 17
〈mi〉, que morre em um sistema finito devido à falta de quebra espontânea de simetria, o
momento local é sempre diferente de zero, exceto para n = 0 e 2.
Além disso é conveniente definir a tranformada de Fourier dessa função de correlação,
chamada de fator de estrutura,
S(q) = 1
N
e iq·(ri−rj)
〈SiSj〉, (2.15)
i,j
que é uma medida do arranjo magnético relativo entre os sítios. Ele é uma grandeza
que apresenta picos em valores de q correspondedendo ao arranjo magnético dominante.
Por exemplo, como q = 2π/λ, no caso da rede quadrada bidimensional, esta grandeza
apresenta um pico em q = (π, π), denotando um acoplamento antiferromagnético entre
os spins. Caso o acoplamento fosse ferromagnético, este pico se daria em q = (0, 0). Em
geral, o pico no fator de estrutura varia com a temperatura, devido ao comprimento da
correlação variar com a mesma. Ademais, ele também varia com o comprimento linear
do sistema, apresentando um valor constante para temperaturas suficientemente baixas,
dependendo do tamanho da rede. Isso ocorre quando o tamanho do comprimento de
correlação é maior que o tamanho da rede.
A seguir veremos esses comportamentos para duas redes bidimensionais.
2.3.1 Rede Quadrada
Como vimos no diagrama de fases, no caso da banda semi-cheia, o sistema apre-
sentava um estado fundamental antiferromagnético. Isto é comprovado observando que o
valor máximo do fator de estrutura é dado para q = (π, π) para temperaturas T suficiente-
mente baixas. Para outras densidades o sistema é paramagnético apresentando correlações
antiferromagnéticas a valores de q que dependem da densidade. O fato do pico no fator de
estrutura variar com a temperatura está ilustrado na Figura 2.7 onde observamos também
a variação do valor à T = 0 com o tamanho do sistema.
Como predito pela teoria de ondas de spin [26], as correlações magnéticas decaem

2.3 Magnetismo 18
Figura 2.7: Fator de estrutura antiferromagnético como função do inverso da temperatura β para
diferentes tamanhos de rede LxL, por meio do método de MCQ.
como,
onde m z s
|〈Si · Sj〉| − m z2
s ∼ 1
rij
, (2.16)
é a magnetização por spin na direção z em uma das sub-redes da rede bipartite
(no estado fundamental e no limite termodinâmico) e rij é a distância entre os spins i e
j. No caso em que a simetria rotacional é preservada, podemos escrever m z s em termos
da magnetização total por spin ms: m z s → ms/ √ 3. Isso implica que a transformada de
Fourier da correlação magnética para redes bidimensionais finitas de número de sítios N
deve convergir como,
S(q) = m2 s
3 N + a√ N, a = cte. (2.17)
Onde foi feita uma integração no plano bidimensional. Para redes quadradas o número de
sítios N cresce com L 2 , logo o fator de estrutura para redes finitas escala como,
S(q)
N = m2s 3
+ a
L
(2.18)
Na Figura 2.8 está mostrado um escalonamento desse tipo para o caso antiferromagnético,
onde a extrapolação para L → ∞ mostra uma correlação diferente de zero.

2.3 Magnetismo 19
Figura 2.8: Gráficos do fator de estrutura antiferromagnético normalizado pelo número de sítios
como função do inverso do tamanho linear do sistema; a linha representa o ajuste linear dos pontos.
Na fase correspondendo ao paramagnetismo (fora da banda semi-cheia), o fator de
estrutura será independente de N e, portanto, S(q)/N irá a zero conforme N → ∞.
2.3.2 Rede Hexagonal
Analogamente ao caso da rede quadrada, a rede hexagonal também possui o mesmo
comportamento previsto pela Eq. 2.18. Todavia a diferença primordial está no fato de
que existe um valor crítico da interação eletônica U capaz de tornar as correlações anti-
ferromagnéticas a L → ∞ diferentes de zero. De acordo com o diagrama de fases, este
valor corresponde a Uc ∼ 4 − 5 t e é responsável por separar os comportamentos para-
magnéticos e antiferromagnéticos. Isso pode ser visto esquematicamente na Fig. 2.9 que
mostra o comportamento da magnetização da subrede como função do valor da interação
eletrônica U.
Podemos observar também que em virtude da rede hexagonal ser uma rede em que
os vetores que a parametrizam serem obviamente diferentes do caso da rede quadrada, a
sua rede recíproca também o será. Em particular a correlação magnética relacionada ao

2.3 Magnetismo 20
Figura 2.9: Magnetização da subrede em função da interação eletrônica U obtida pelo método de
MCQ. Adaptado de [24]
antiferromagnetismo não estará relacionada ao vetor (π, π) e sim a um mais complicado
que dependerá da parametrização utlizada. Além disso, o número de sítios total da rede
pode ser colocado em termos de um tamanho linear L resultando em Ns = 2
3 L2 .

Capítulo 3
O Modelo de Hubbard e suas aplicações
Além do estudo da aplicação do modelo de Hubbard em redes bidimensionais, pode-
mos ganhar uma boa compreensão a respeito de sistemas físicos reais, supondo que possa
existir algum tipo de estrutura nessas redes. Isso é o que veremos agora para as duas redes
estudadas até então.
3.1 Diluição por sítios na Rede Quadrada
No caso da rede quadrada, um tipo de desordem importante é aquela relacionada à
introdução de impurezas não-magnéticas. Dentro da abordagem do modelo de Hubbard,
podemos interpretar isso de maneira simples: considerando a interação U entre elétrons
no mesmo sítio como sendo dependente dos sítios.
Átomos magnéticos possuem, em geral, um elétron desemparelhado em um dado or-
bital, portanto, sendo magnetizados. Podemos, então, considerar que esta interação U
seja forte nos sítios que representam estes átomos magnéticos, favorecendo o apareci-
mento de momentos localizados. Já os átomos não-magnéticos podem ser mapeados em
sítios onde a interação eletrônica é nula (ou muito baixa comparativamente àqueles em
que é forte), deixando livre a possibilidade de dupla ocupação sem custo de energia. Por-

3.1 Diluição por sítios na Rede Quadrada 22
tanto, a introdução aleatória de impurezas não-magnéticas equivale ao “desligamento” da
interação U em determinados sítios da rede dentro de uma fração f dos sítios totais. Com
isso o termo de interação no Hamiltoniano é mudado
U
ni↑ − 1
ni↓ −
2
1
−→
2
Ui ni↑ − 1
ni↓ −
2
1
. (3.1)
2
i
Vale lembrar que a interação dependente dos sítios não muda o caráter simétrico do
Hamiltoniano em torno de µ = 0. No entanto, na forma como foi escrita ela introduz um
decréscimo de energia local εi para os sítios repulsivos em comparação aos sítios livres.
Isso pode ser visto diretamente expandindo o termo de interação,
Ui ni↑ − 1
ni↓ −
2
1
=
2
Uini↑ni↓ − Ui
2 (ni↑
+ ni↓)
i
i
i
+ cte(Ui), (3.2)
definindo εi = − Ui . Isto, no caso da banda semi-cheia (µ = 0) faz com que além de
2
termos a densidade total igual a 1, tenhamos a densidade nos sítios repulsivos igual a dos
sítios livres.
De fato, este modelo já foi estudado por Ulmke et al. [27] e o que se observou neste
sistema é que os sítios com U = 0 induziam uma ordem de longo alcance antiferro-
magnética no sistema a densidades que eram desordenadas no caso homogêneo, i.e., com
n = 1. Além disso, viu-se que existe uma nova densidade isolante nI correpondendo a
uma transição do tipo Mott transladada no valor do potencial químico µ. Pôde-se então
construir um diagrama de fases (Fig. 3.1) para o ordenamento magnético dependendo da
fração de “impurezas” livres.
3.1.1 Multicamadas Magnéticas
Uma boa compreensão de sistemas de multicamadas magnéticas e superredes pode ser
ganha com o estudo de modelos microscópicos como ponto de partida. Um modelo capaz
de fazer isso é o modelo de Hubbard aqui tratado. Seguindo o raciocínio de associar os
átomos não-magnéticos aos sítios que possuem U = 0, e os magnéticos aqueles com U =

3.1 Diluição por sítios na Rede Quadrada 23
Figura 3.1: Diagrama de fase no método DMFT (Dynamical Mean Field Theory) como função
do preenchimento, n, e fração de sítios com U = 0. Para 0 < f < 0, 4 a região antiferromagnética
(AF) é aumentada com relação ao caso homogêneo (f = 0). Adaptado da Ref. [27].
0, podemos construir camadas magnéticas e não-magnéticas. A Figura 3.2 esquematiza
uma rede desse tipo com a largura da camada magnética LU sendo igual a 2 e a largura
da camada não-magnética L0 também igual a 2.
Figura 3.2: Superrede com LU = 2, L0 = 2 e L = 8
É conveniente definir uma célula como sendo o menor padrão de repetição nessas

3.1 Diluição por sítios na Rede Quadrada 24
multicamadas. A largura dessa célula na direção heterogênea será Lc = LU + L0.
De fato, esse tipo de sistema já havia sido estudado em uma dimensão por Paiva et al.
[28, 29, 30] à temperatura igual a zero por meio de cálculos pelo método de Lanczos [31,
32, 17] resultando em algumas conclusões interessantes. Todavia, o termo de interação
eletrônica não era simetrizado, de forma que não existia o decréscimo de energia para os
sítios repulsivos, como anteriormente mencionado.
Nestas multicamadas unidimensionais, um ponto interessante a se notar é a ocorrência
de uma migração dos momentos locais dos sítios repulsivos para os sítios livres con-
forme diminuímos a densidade eletrônica do sistema, sendo este um efeito persistente a
variações no valor da interação eletrônica U como mostrado na Fig. 3.3. Além disso, o
efeito é o mesmo para diferentes configurações {LU, L0}.
Figura 3.3: Momento local em diferentes sítios da rede i em uma cadeia unidimensional de
tamanho 12 com LU = 1 e L0 = 3 para diferentes densidades: (a) ρ = 5/3; (b) ρ = 1; (c)ρ = 1/2.
Os quadrados referem-se a U = 3 e os triângulos U = 12; símbolos cheios e vazios denotam sítios
livres e sítios repulsivos, respectivamente; adaptado da Ref. [30]
Na banda semi-cheia, a maioria dos padrões de repetição destas cadeias é capaz
de eliminar a onda de densidade de spin (SDW, do inglês spin density wave) antifer-

3.2 Desordem na Rede Honeycomb 25
romagnética presente no caso homogêneo por meio de uma forma fraca de frustração.
Enquanto que acima da banda semi-cheia ocorre uma forte SDW na sub-rede dos sítios
repulsivos, enquanto que no caso homogêneo esta SDW está relacionada a valores de q
incomensuráveis.
Ademais, vê-se também que ocorre uma mudança considerável no comportamento
da densidade correspondente à transição metal-isolante do tipo Mott. Como vimos, no
caso homogêneo, ela correspondia a n = 1 (banda semi-cheia), já no caso das multica-
madas ela dependerá das configurações da superrede. A Figura 3.4 mostra a dependência
do momento local com a densidade nos sítios repulsivos com tamanho da rede igual a
12. Conforme a configuração da superrede é mudada, o valor máximo de 〈S 2 i 〉 ainda se
aproxima de 3
4
aumentando-se o valor de U. No entanto, a sua posição é deslocada para
preenchimentos maiores, sem mostrar nenhuma dependência com U.
Por analogia com o caso homogêneo, somos levados a considerar a posição do pico
com a densidade nI a qual o sistema se torna um isolante. A Fig. 3.4 então mostra que nI
cresce continuamente com L0, para LU fixo. Para vermos como isso é explicado, devemos
nos perguntar como a superrede é preenchida com elétrons de modo a obter um hopping
mínimo e um grande momento localizado nos sítios repulsivos. No acoplamento forte
isso corresponde à pinagem dos elétrons, e é obtida colocando-se dois elétrons em cada
sítio livre e um elétron em cada sítio repulsivo levando a
nI = 2L0 + LU
L0 + LU
. (3.3)
A posição dos picos na figura é perfeitamente descrita por essa expressão assim como os
gráficos das redes com L0 fixo e LU variando.
3.2 Desordem na Rede Honeycomb
É importante observar que este tipo de sistema é particularmente interessante devido a
suas aplicações a folhas de grafite, cristais de MgB2 e Pb e Sn em superfícies de Ge(111).

3.2 Desordem na Rede Honeycomb 26
Figura 3.4: Momento local nos sítios repulsivos pela densidade para cadeias de 12 sítios com
LU = 1 e L0 = 1 (a), L0 = 2 (b), L0 = 3 (c), L0 = 5 (d); quadrados e linhas pontilhadas
representam dados para as redes homogêneas com U = 0 e U = ∞, respectivamente; triângulos
e círculos representam dados para as superredes com U = 3 e U = 12 respectivamente; adaptado
da Ref. [29]
Com respeito aos efeitos das correlações eletrônicas, nestes dois últimos elas são bas-
tante pronunciadas. Já no caso da monocamada de grafite, no entanto, o papel das fortes
correlações é pouco estudado. Existem indicativos sugerindo elas não sejam primordiais
para a explicação de alguns de seus efeitos pouco usuais como o transporte balístico à tem-
peratura ambiente. Entretanto, trabalhos recentes mostram que o magnetismo nesses sis-
temas é preponderante para o entendimento de algumas outras propriedades com possíveis
aplicações à spintrônica. Estudos atuais [33, 34] mostraram que existe uma forte ordem
antiferromagnética nas bordas do tipo zigzag de nanofitas de grafeno.
Além disso, apesar da robustez de suas ligações sigma (responsável pelo grande livre
caminho médio do elétron), o grafeno não é imune a efeitos de desordem. De maneira

3.2 Desordem na Rede Honeycomb 27
extrínseca, essa desordem pode ser oriunda de várias formas: átomos adsorvidos, cargas
aprisionadas entre o grafeno e o substrato, defeitos topológicos como rupturas e bordas, e
cargas no substrato. De forma geral, o efeito de uma desordem extrínseca é uma mudança
local no nível de energia dos átomos aos quais está acoplada. Isto corresponde a adicion-
armos um termo,
εi (ni↑ + ni↓) , (3.4)
i
no Hamiltoniano 3.5 cujo papel é acoplar-se ao potencial químico favorecendo ou não
a ocupação em determinados sítios. Este tipo de desordem local pode ser modelado de
várias maneiras. Uma delas constitui-se em escolher aleatoriamente estes níveis de ener-
gia para cada sítio. O que se faz é definir um intervalo de energia de largura ∆ − ∆
2
onde cada sítio possui sua energia escolhida dentro deste intervalo. Assim, quanto maior
for o valor de ∆ mais desordenado será o sistema.
Esta definição simétrica de desordem é responsável por manter o sistema invariante
sob a transformação partícula-buraco. Vejamos como isso ocorre, aplicando-a ao Hamil-
toniano de Hubbard simétrico com a adição do termo referente à Eq. 3.4,
H = − t
(c
,σ
†
iσcjσ + H.c.) + U
ni↑ −
i
1
ni↓ −
2
1
+
2
(εi − µ) (ni↑ + ni↓) , (3.5)
i
obtemos um Hamiltoniano análogo com a troca dos valores do potencial químico e da
energia intra-sítio ε, i.e.,
˜H = − t
(˜c
,σ
†
iσcjσ + H.c.) + U
ñi↑ −
i
1
+
2
(µ − εi) (ñi↑ + ñi↓) − 2µNs + 2
onde os dois últimos termos são constantes.
i
i
ñi↓ − 1
2
, ∆
2
εi, (3.6)
É válido observar que a troca εi → −εi não resulta em um sistema novo, já que
teremos uma rede análoga à anterior devido ao caráter simétrico da desordem. Isto pode

3.2 Desordem na Rede Honeycomb 28
ser visto diretamente a partir do seguinte raciocínio: no limite termodinâmico teremos um
dado sítio com um deslocamento de energia ε, no entanto, certamente possuiremos um
sítio com seu valor simétrico −ε. Sendo assim, uma mudança no sinal desta energia não
altera o comportamento global do sistema, correspondendo apenas a uma troca de sítios.
Desta forma, o potencial químico µ = 0 reproduz a banda semi-cheia independentemente
do valor da amplitude de desordem ∆.
Com isso, os elétrons são espalhados tanto pela sua interação mútua como pelo de-
sordem local. Estes processos normalmente levam a efeitos bem diferentes ou até mesmo
competitivos. Por exemplo, no caso da rede bipartite na banda semi-cheia, a interação
Coulombiana blindada dos elétrons gera uma ordem antiferromagnética enquanto que a
desordem tende a destruir tais correlações. A presença simultânea de interação e desor-
dem não pode ser considerada em geral como a superposição de ambas as contribuições,
além disso, efeitos interessantes de muitos corpos podem ocorrer como veremos no Capítulo
5.

Capítulo 4
O método de Monte Carlo Quântico
O Hamiltoniano de Hubbard só possui solução exata em uma dimensão através do
Ansatz de Bethe [35]. Em mais dimensões só existem soluções aproximadas para regimes
em que a interação entre elétrons é muito fraca (U ≪ t) ou muito forte (U ≫ t) [36].
O regime intermediário, que representa as regiões de interesse físico, só pode ser calcu-
lado numericamente. Para um sistema que possua um número pequeno de sítios (∼ 6
sítios) podemos diagonalizar numericamente a matriz hamiltoniana. No entanto, isto não
satisfaz as pretensões de simular um sistema físico real. Para sistemas maiores, existem
alguns métodos a se considerar: método de Campo Médio (Hartree-Fock), método de
Monte Carlo Quântico, Grupo de Renormalização da Matriz Densidade (DMRG), Teo-
ria de Campo Médio Dinâmica (DFT), Expansões em Série (SE), entre outros. Faremos
aqui o contraponto apenas dos dois primeiros. O método de Campo Médio, apesar de
indicar muitos comportamentos qualitativos interessantes a respeito do sistema estudado,
não leva em consideração as interações de um sistema de muitos corpos de forma exata.
Por isso a sua descrição falha em predizer regimes de validade para o diagrama de fases
do modelo de Hubbard bidimensional. O segundo, é um método que permite estudar um
número muito maior de partículas em comparação à diagonalização exata. Neste método,
as interações eletrônicas são substituídas por um campo dependente do espaço e do tempo

4.1 O método 30
imaginário. A soma sobre todas as configurações do campo é feita estocasticamente e nos
permite calcular correlações estáticas e dinâmicas a uma dada temperatura.
Neste capítulo discutiremos o formalismo por trás deste método, como proceder com
o cálculo de grandezas, como realizar as simulações numéricas, e ainda os problemas
inerentes ao método de cálculo.
4.1 O método
Como vimos no capítulo 2, a interação entre partículas é fundamental para enten-
dermos o comportamento dos sistemas fermiônicos estudados. No entanto, isto introduz
algumas complicações adicionais. De uma forma geral, os efeitos quânticos se mani-
festam pelo fato de diferentes termos no hamiltoniano não comutarem. Por exemplo, no
modelo de Hubbard, os termos cinético e de interação não comutam, bem como os termos
cinéticos envolvendo o mesmo sítio. Conseqüentemente, as partículas perdem a sua indi-
vidualidade já que estão correlacionadas de uma maneira fundamental. Ao calcularmos a
função de partição grande-canônica
surge uma dificuldade. Para o Hamiltoniano estudado,
H = −t
,σ
(c †
Z = Tr{n}e −βH , (4.1)
iσ cjσ + H.c.) +
i
Uini↑ni↓ − µ
(ni↑ + ni↓) , (4.2)
o operador número (niσ = c †
iσ ciσ) é bilinear em operadores fermiônicos, de modo que o
termo de interação se configura como um termo quártico. Como termos quárticos não são
diagonalizados com facilidade, ao contrário dos demais termos que são bilineares, isso se
torna um problema. Uma maneira de se contornar isso é utilizando a decomposição de
Suzuki-Trotter, dada por:
e ∆τ(A+B) = e ∆τA e ∆τB + O[(∆τ) 2 ][A, B], (4.3)
i

4.1 O método 31
onde A e B são operadores quaisquer não-comutantes e ∆τ é uma constante real.
No caso em questão, definindo β = ∆τM, a decomposição nos leva a reescrever a
função de partição grande-canônica como:
onde,
e,
K = −t
,σ
Z∆τ Tr
(c †
M
l=1
e −∆τK e −∆τV , (4.4)
iσcjσ + c †
jσciσ) − µ
i
(ni↑ + ni↓) , (4.5)
V =
Uini↑ni↓. (4.6)
i
Pode-se notar que a decomposição se torna exata no limite em que ∆τ → 0. Numeri-
camente, o tamanho de cada intervalo ∆τ deve ser escolhido tal que tU(∆τ 2 ) < 1/10, a
fim de minimizar os erros oriundos dessa decomposição. A introdução da discretização
em β, nos sugere, em analogia com a formulação de integral de caminho na Mecânica
Quântica, reescrever a função de partição da seguinte forma:
Z∆τ = M
〈i1|
=
i1
i1,i2,...,iM
l=1
e −∆τK e −∆τV |i1〉
〈i1|e −∆τK e −∆τV |i2〉〈i2|e −∆τK e −∆τV |i3〉 . . .
. . . 〈iM|e −∆τK e −∆τV |i1〉, (4.7)
onde na última passagem utilizamos a relação de fechamento dos estados no espaço de
Hilbert e |in〉 representam estados deste espaço. Esse formalismo induz uma interpretação
para ∆τ: ele representa intervalos de “tempo” (imaginário) discretos. Ou seja, para uma
dada temperatura T (β = 1/kbT ), temos então M fatias “temporais”, M = β/∆τ.
Logo, de acordo com a Eq. 4.7, o operador e −∆τH introduz uma correlação entre os
estados na direção temporal, fazendo com que a dimensão efetiva do sistema seja d + 1.

4.1 O método 32
Podemos assim obter uma seqüência de aproximações para a função de partição Z∆τ a
qual deve, em princípio, ser extrapolada para ∆τ → 0
Trataremos agora os termos quárticos. A fim de utilizar uma identidade de operadores
importante no estudo, primeiramente, transformemo-los em exponenciais de quadrados
de operadores. Para os férmions, n 2 σ = nσ = 0 ou 1, assim sendo, estes termos podem ser
escritos:
ni↑ni↓ = − 1
2 (ni↑ − ni↓) 2 + 1
2 (ni↑ + ni↓)
≡ − 1
2 m2 i + 1
2 ni, (4.8)
onde na última passagem definimos a magnetização local (mi = ni↑ − ni↓) e a carga local
(ni = ni↑ + ni↓). Portanto, o termo de interação, na função de partição é reescrito como:
e −∆τUini↑ni↓ = e ∆τU i
2 m2 i − ∆τU i
2 ni . (4.9)
Agora podemos lançar mão de uma transformação denominada de Hubbard-Stratonovich
(HS), a qual basicamente, transforma a exponencial do quadrado do operador em uma ex-
ponencial do próprio operador:
e 1
2 A2
≡ 1
∞
1
− √ dxe 2
2π −∞
x2−xA , (4.10)
que pode ser imediatamente demonstrada completando quadrados no integrando. No en-
tanto, esta transformação introduz um campo auxiliar x que se acopla linearmente ao
operador original A. Aplicando-a ao caso estudado, reescrevamos a Eq. 4.9 como:
e −∆τUini↑ni↓ e
= −∆τUi ni ∞
2
1
− √ dxe 2
2π −∞
x2− √ Ui∆τxmi . (4.11)
Todavia, para simulações numéricas é mais conveniente que a transformação HS seja
discreta, i.e., dx →
s=±1 , onde s corresponde a uma variável de spin de Ising. Desta
forma, é fácil ver que usando o fato de que s 2 ≡ 1, o termo na função de partição corres-
pondente à interação se torna [vide [37]]

4.1 O método 33
e −∆τUini↑ni↓ = 1
2 e− U i ∆τ
2 ni
= 1
2
s=±1 σ=↑,↓
e sλmi
s=±1
e −(σsλ+ U i ∆τ
2 )niσ , (4.12)
onde na última igualdade fatoramos as contribuições de spin para cima e spin para baixo
nos termos de carga local e magnetização local. Além disso, definimos a grandeza λ tal
que cosh λ = e U∆τ/2 . Essa identidade pode ser verificada explicitamente enumerando as
4 possíveis escolhas para ni↑, ni↓.
Observando-se a Eq. 4.12 em detalhes, pode-se concluir que a transformação HS
permite o mapeamento de um problema de férmions interagentes em um problema de
férmions não-interagentes acoplados a um campo externo flutuante s. Com isso, podemos
aplicar esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo) e assim reescrever a função
de partição grande-canônica como,
onde,
Z =
LdM 1
Tr{s}Tr{n}
2
M
l=1 σ=↑,↓
−∆τ
e i,j c†
iσKijcjσ −∆τ
e
i c†
iσVσ i (l)ciσ (4.13)
V σ i (l) = 1
∆τ λσsi(l)
+ µ − Ui
2
(4.14)
que são os elementos de uma matriz diagonal V σ (l) de tamanho Ns×Ns . Note que embu-
timos o termo referente ao potencial químico nessa nova definição do termo de interação
já bilinearizado em termos dos operadores fermiônicos. O outro termo na exponencial
corresponde aos elementos de matriz da matriz cinética, K, cujos elementos satisfazem
Kij =
⎧
⎨
⎩
−t i, j primeiros vizinhos
0 demais
(4.15)
Por exemplo, no caso unidimensional e com condições de contorno periódicas temos

4.1 O método 34
uma matriz L × L,
⎛
⎞
−0
⎜ −t
⎜
K = ⎜ 0
⎜ .
⎝
−t
0
−t
.
0
−t
0
.
· · ·
· · ·
· · ·
.
0
0
0
.
−t
⎟
0 ⎟
0 ⎟ .
⎟
. ⎟
⎠
(4.16)
−t 0 · · · 0 −t 0
Tendo escrito a função de partição em uma forma bilinear, podemos simplificá-la cal-
culando o traço fermiônico (Tr{n}). Isso será feito em duas partes. Primeiro considerando
a seguinte identidade – que será demonstrada no Apêndice :
e −c†
i Aijcj e −c †
i Bijcj = e −
ν −c† νlνcν , (4.17)
onde λν = e −lν são os autovalores da matriz e −A e −B . Segundo, como estamos na base
que diagonaliza o operador e −A e −B podemos reescrever o traço nas variáveis fermiônicas
na forma de um determinante:
−
Tr{n}e ν −c†
νlνcν −
= Tr{n}e ν nνlν = Tr{n}
e −nνlν
= −lν 1 + e
ν
ν
= det 1 + e −A e −B . (4.18)
Aplicando estes resultados ao nosso caso e generalizando-o para operadores que de-
pendam do tempo imaginário, podemos escrever,
Z =
LdM 1
Tr{s}
2
det 1 + B σ MB σ M−1 . . . B σ 1 , (4.19)
σ
onde definimos B σ
l ≡ e −∆τK e −∆τVσ (l) . Introduzindo o operador O σ (s) ≡ 1+B σ
MB σ
M−1 . . . B σ
1,
chegamos à forma final da função de partição grande-canônica:
Z =
LdM 1
Tr{s} det O
2
↑ ({s}) · det O ↓ ({s}). (4.20)

4.2 Cálculo de grandezas 35
Este resultado nos mostra que a função de partição quântica grande-canônica foi agora
expressa na forma de uma função de partição clássica: precisamos somar sobre todas as
possíveis configurações das variáveis reais (clássicas) si(l) com o “peso de Boltzmann”,
que é o produto de dois determinantes. Note que a variável clássica a ser somada, possui
um índice l rotulando o tempo imaginário. Esta interpretação do produto dos determi-
nantes como sendo o peso de Boltzmann pode ser falha já que a princípio esta não é uma
quantidade positivamente definida. Assim, o produto deles pode ser até mesmo nega-
tivo para algumas configurações gerando o problema do sinal negativo que será abordado
posteriormente.
4.2 Cálculo de grandezas
Agora estamos aptos a mostrar como se calculam os valores médios de grandezas den-
tro do formalismo de Monte Carlo Quântico Determinantal, como, por exemplo, funções
de correlação. Sejam dois operadores A e B quaisquer; de acordo com a seção anterior, a
função de correlação entre eles será:
〈AB〉 =
Tr{s}Tr{n}
AB
l σ
e−∆τ i,j c†
iσKijcjσ −∆τ e
i c†
iσV σ
i (l)ciσ
onde calculamos esta correlação para tempos imaginários (l) iguais.
Z
, (4.21)
É conveniente definir uma média fermiônica – chamada de Função de Green – nessa
correlação, fazendo-a depender somente do campo flutuante de Ising:
〈AB〉{s} =
Tr{n}
Tr{n}
AB
l
l
σ
e−∆τ i,j c†
iσKijcjσ −∆τ e
i c†
iσV σ
i (l)ciσ
σ
e−∆τ i,j c†
iσKijcjσ e−∆τ
i c†
iσV σ
i (l)ciσ
. (4.22)
Lembrando da forma mais fechada da função de partição (Eq. 4.20), podemos rees-
crever a função de correlação na forma:

4.2 Cálculo de grandezas 36
〈AB〉 = 1
Z Tr{s}〈AB〉{s} det O ↑ ({s}) · O ↓ ({s}). (4.23)
Logo a função de correlação é escrita em termos do traço da configuração do campo
de Ising do sistema em um dado tempo imaginário l com peso dado pelo “novo” peso de
Boltzmann. Isto posto, podemos calcular algumas Funções de Green (FG) importantes,
como aquela relacionada a uma partícula:
〈ciσc †
jσ 〉{s} =
Tr{n}
Tr{n}
l
l
Definindo a representação matricial
Dl =
σ
σ
e−∆τ i,j c†
iσKijcjσ −∆τ e
i c†
iσV σ
i (l)ciσciσc †
σ
e−∆τ i,j c†
iσKijcjσ e−∆τ
i c†
iσV σ
i (l)ciσ
podemos reescrever a FG de uma partícula como:
jσ
. (4.24)
−∆τ
e i,j c†
iσKijcjσ −∆τ
e
i c†
iσV σ
i (l)ciσ , (4.25)
〈ciσc †
jσ 〉{s} = Tr{n}DM . . . D1ciσc †
jσ
Tr{n}DM . . . D1
. (4.26)
A fim de calcular o traço fermiônico, passemos para a base em que o Hamiltoniano é
diagonalizado – Apêndice,
〈ciσc †
jσ 〉{s} =
ν,ν ′
〈i|ν ′ 〉〈ν ′′ |j〉 Tr{n}cν ′ σc †
ν ′′ σDM . . . D1
Tr{n}DM . . . D1
. (4.27)
Quando tomamos o traço na base diagonal, cνσc †
ν ′′ σ , age no bra à esquerda, assim uma
contribuição não-nula só ocorre para ν ′ = ν ′′ . Então, todos os termos com exceção de |ν ′ 〉
contribuem para o produto com 1+e −∆τεν , (veja Eq. 4.18 com a substituição lν → ∆τεν)
que acabam por cancelar com o mesmo termo no denominador. Portanto, isto resulta em
〈ciνc †
jσ 〉{s} =
ν ′
|ν ′ 1
〉〈i|
1 + e−∆τε′ |j〉〈ν
ν
′ |
1
=
= [g]ij, (4.28)
1 + BM . . . B1
ij

4.3 Simulações 37
que é o elemento ij de uma matriz Ns × Ns.
Além disso, com o auxílio do teorema de Wick [38], podemos calcular a FG de duas
partículas em termos da FG de uma partícula:
〈c † †
ci2c i1 i3ci4〉{s} = 〈c †
†
ci2〉{s}〈c i1 i3ci4〉{s} + 〈c †
†
ci4〉{s}〈c i1 i2ci3〉{s}. (4.29)
Com o formalismo desenvolvido, podemos calcular quantidades físicas de interesse,
como o número de ocupação n dado por:
n = 1
MNs
i,l
σ
〈c †
iσ (l)ciσ(l)〉, (4.30)
e também correlações magnéticas. Como a magnetização no sítio i na direção z é dada
por m z i ≡ ni↑ − ni↓, podemos escrever a correlação entre dois spins na direção z como:
〈m z i m z j〉 = 〈ni↑nj↑〉 − 〈ni↑nj↓〉 − 〈ni↓nj↑〉 + 〈ni↓nj↓〉 (4.31)
que escrita em termos dos operadores de criação e destruição fermiônicos pode ser sim-
plificada de acordo com Eq. 4.29.
4.3 Simulações
As simulações possuem uma certa analogia com o caso clássico de Monte Carlo com duas
modificações importantes: temos um novo peso de Boltzmann (det O ↑ ({s}) · O ↓ ({s}))
e varremos por uma rede espaço-“temporal”. Para realizá-las, de início, informamos os
parâmetros do Hamiltoniano U, µ (em unidades de t) e a temperatura dos sistema T =
1/β. Em seguida, geramos uma matriz s(i, l) (o “campo de Hubbard-Stratonovich”) com
números ±1 escolhidos aleatoriamente. E, analogamente ao caso clássico, passeamos
pela rede espacial (sítios) tentando inverter o valor do spin de Ising correspondente ao
campo HS, para um dado tempo imaginário l.
Suponha, por exemplo, que estamos em um sítio qualquer i e em uma fatia temporal
l. Se o spin é invertido (si(l) → −si(l)) as matrizes correspondendo a B σ
l mudam, já

4.3 Simulações 38
que o elemento ii da matriz V σ
i (l) mudará. De acordo com a Eq. 4.14, essa mudança no
elemento de matriz será da seguinte forma:
o que gera uma mudança
onde os elementos de matriz de ∆ σ l
V σ
ij (l, −s) − V σ
ij (l, s) = −2λσsi(l)δij
(4.32)
B σ l → [B σ l ] ′ = B σ l ∆ σ l (i) (4.33)
(i) são da forma
[∆ σ 2σ∆τλsi(l)
l (i)] jk = δjiδki e − 1 . (4.34)
Esse passo de Monte Carlo Quântico será aceito com probabilidade
W ≡ R↑R↓
, (4.35)
1 + R↑R↓
com Rσ ≡ det Oσ ({s} ′ )
det O σ ({s}) , onde {s}′ representa a configuração do novo campo de HS que se
diferencia da configuração antiga {s} pela mudança no spin correspondendo ao sítio (i, l).
Após estes cálculos, tenta-se agora inverter o spin de Ising do próximo sítio na mesma fa-
tia temporal l. Fazemos isto até percorrer toda a rede espacial. Passamos, então, para uma
nova fatia temporal e repetimos o processo até que cheguemos ao final do tempo ima-
ginário (l = M). Ao varrermos toda a rede nesse procedimento, percorremos um passo
de Monte Carlo. Similarmente, ao caso clássico varremos toda rede espaço-“temporal”
algumas centenas de vezes (warm-up) antes de calcular os valores médios. A seguir, rea-
lizamos algumas milhares de varreduras (∼ 10000) em que medimos as grandezas. Outro
aspecto interessante a se notar é que o algoritmo como estabelecido escala com o tempo
de CPU com N 4 M. A razão para isso é que para recalcular os determinantes de O σ ({s} ′ ),
gastamos da ordem de N 3 operações. E devemos fazê-lo NM vezes de forma a varrer
toda as variáveis de Hubbard-Stratonovich. O estado da arte do Monte Carlo Determi-
nantal, na ausência do problema de sinal, são estudos de algumas centenas de elétrons à
temperaturas βt = 10−20. Em termos da temperatura e da largura de banda, isto significa

4.4 Problemas inerentes ao método 39
T aproximadamente 1/100 da largura de banda W = 8t do modelo de Hubbard bidimen-
sional. Esta é uma temperatura baixa o suficiente para vermos correlações magnéticas
bem desenvolvidas. Para parâmetros típicos, t = 1, U = 4 escolhemos ∆τ = 1/8 de
modo que estes valores de β correspondem a aproximadamente L = 100, e a simulação
envolve cerca de 10 4 variáveis de Hubbard-Stratonovich.
4.4 Problemas inerentes ao método
Alguns problemas acometem o método de Monte Carlo Quântico Determinantal. Um
deles é o problema do sinal negativo mencionado anteriormente. O outro é o problema
da instabilidade à baixas temperaturas. Primeiramente, abordaremos o problema do sinal
negativo. Veremos quando ele é relevante e indicaremos métodos adicionais que cor-
rigem ao menos em parte o problema. Depois apenas introduziremos o problema de
instabilidades a baixas temperaturas indicando referências que fornecem caminhos para
minimizá-lo.
4.4.1 O problema do sinal negativo
Ele se origina no fato de que o termo que usamos como peso de Boltzmann não
é estritamente positivo para algumas configurações do sistema. No entanto, para algu-
mas configurações específicas ele é válido como, por exemplo, para a banda semi-cheia
(〈n〉 = 1) no modelo de Hubbard repulsivo. Como vimos no Capítulo 2 a transformação
partícula-buraco mostra que esse preenchimento é obtido quando µ = U/2. Calculemos
agora como se escreve o determinante fermiônico neste ponto simétrico:
det O ↑ ({s}) = Tr{n}
= Tr{ñ}
−λ
= e
l
l
e −∆τK↑
λ
e i si(l)ni↑
e −∆τ ˜ K↑
−λ
e i si(l)ñi↑ −λ
e
i si(l)
i,lsi(l) · det O ↓ ({s}) (4.36)

4.4 Problemas inerentes ao método 40
Portanto, det O ↑ · det O ↓ > 0, o que satisfaz a condição necessária de interpretação
de peso de Boltzmann. Observe que este resultado é válido para < n >= 1 e U
0, cf. Eq. 4.11 que define a transformação de HS. No entanto, de uma forma geral, o
determinante fermiônico fica negativo para algumas configurações. Sendo assim, vejamos
o que acontece nestes casos.
Reescrevamos a função de partição como sendo uma soma sobre configurações c ≡
{s}, i.e.,
Z = Tr{n} det O ↑ ({s}) · det O ↓ ({s}) ≡
p(c). (4.37)
Definindo p(c) ≡ s(c)|p(c)| onde s(c) = ±1, podemos reescrever a média de uma
grandeza qualquer A, por uma nova média ponderada pelos novos |p(c)| como a seguir:
〈A〉 =
c A(c)p(c)
c
c A(c)|p(c)|s(c)
c |p(c)|s(c)
=
p(c)
= [
c A(c)|p(c)|s(c)] / c |p(c)|
[
|p(c)|s(c)] / c |p(c)|
=
c
c p′ (c)[s(c)A(c)]
c p′ (c)[s(c)] ≡ 〈sA〉 p ′
〈s〉 p ′
c
(4.38)
onde p ′ (c) ≡ |p(c)|. Portanto, se considerarmos o módulo de p(c) como peso de Boltz-
mann, pagamos o preço de ter de dividir as médias pelo sinal médio do produto de de-
terminantes. Assim, quando 〈s〉p ′ for próximo de 1, teremos uma melhor confiança nos
resultados apresentados. Uma maneira de se contornar o problema do sinal baixo é tomar
amostragens mais longas de forma que as médias ainda tenham algum sentido. De uma
forma prática, devemos trabalhar em uma região em que 〈s〉 0, 6.
O sinal possui dependência com diversos fatores como a temperatura, a interação
eletrônica, a densidade n e os tamanhos das redes.
A Figura 4.1(a) adaptada da Ref. [39] mostra a dependência do sinal com o preenchi-
mento de banda para uma rede de tamanho 4 × 4 para três diferentes temperaturas. Com
exceção das densidades em que possuímos degenerescências no estado fundamental para

4.4 Problemas inerentes ao método 41
Figura 4.1: O sinal médio do produto de determinantes fermiônicos como função da densidade
eletrônica no modelo de Hubbard com U = 4, adaptado da Ref. [39].
o sistema não-interagente, o sinal decai ao diminuirmos a temperatura. Além disso, a
Figura 4.1(b) indica que o comportamento do sinal com o tamanho do sistema não é tão
severo. No entanto para os valores de densidade que correspondem ao mínimo do sinal,
este piora conforme aumentamos o sistema.
Outro ponto interessante a se salientar é a dependência do sinal com a temperatura
mantendo-se o tamanho do sistema e o preenchimento de banda constantes. Na Fig. 4.2
mostramos o ln〈sinal〉 vs β para uma rede 4 × 4 com densidade n = 0, 625, adaptado
da Ref. [40]. Observa-se uma clara dependência com U do sinal, diminuindo quando U
aumenta além de diminuir ao diminuirmos a temperatura. Essa dependência confirma a
expectativa geral [40] de que
com γ dependendo fortemente de n.
〈sinal〉 ∼ e −βNsUγ
(4.39)
Concluindo, o problema do sinal negativo ainda está em aberto. Apesar de inúmeros
esforços para se resolvê-lo (ou amenizá-lo) como, por exemplo, fazendo mudanças para
transformações de HS mais gerais, isto ainda fornece resultados infrutíferos [42]. Algu-
mas outras aproximações como as de caminhos parciais [43] e métodos de Monte Carlo
Quântico com caminhos restritos Ref. [44, 45, 46] produzem indicativos interessantes.

4.4 Problemas inerentes ao método 42
Figura 4.2: O logaritmo da média do sinal do produto de determinantes fermiônicos como função
do inverso da temperatura no modelo de Hubbard em uma rede 4 × 4, adaptado da Ref. [41]
4.4.2 Instabilidades à baixas temperaturas
Durante a simulação devemos fazer o produto de muitas matrizes como, por exemplo,
no cálculo da função de partição [Eq. 4.19] onde devemos fazer a multiplicação de ma-
trizes B σ
l correspondendo a tempos imaginários distintos. O primeiro problema é: quando
diminuímos a temperatura (aumentando β), acabamos por aumentar o número de inter-
valos temporais M ao deixarmos ∆τ fixo. Com isso quanto menor a temperatura maior
será o números de matrizes que deveremos multiplicar. Isto computacionalmente pode
ser bastante custoso e até gerar algumas instabilidades. O outro problema é que para
baixas temperaturas as matrizes O σ
l são mal condicionadas já que possuem a razão en-
tre os autovalores mais baixos e mais altos crescendo exponencialmente com o inverso
da temperatura que é proporcional a M. Isto resulta em problemas de escala difíceis de
acompanhar numericamente. Existem duas formulações que podem em parte contornar o
problema: a formulação de espaço-tempo [47] e um processo de fatorização de matrizes
[39]. Estas duas formulações permitem que as simulações possam chegar a valores de

4.4 Problemas inerentes ao método 43
β ∼ 20 − 30.

Capítulo 5
Resultados
Neste capítulo apresentaremos os resultados para o estudo dos sistemas de superre-
des na rede quadrada e de desordem na rede hexagonal dentro da abordagem de férmions
fortemente correlacionados. No primeiro sistema estudaremos as correlações magnéticas
bem como algumas propriedades de transporte, já no caso da rede hexagonal nos concen-
traremos nas propriedades oriundas das correlações de spin.
5.1 Superredes magnéticas
Como discutido na introdução, as multicamadas magnéticas possuem importantes pro-
priedades que as tornam de grande interesse e com potenciais aplicações tecnológicas.
Para estudá-las supomos o sistema como sendo bidimensional e contruímos camadas
magnéticas e não-magnéticas através da escolha de camadas onde a interação eletrônica
é diferente de zero e de camadas onde é nula, respectivamente.
O objetivo do estudo deste problema é descobrir como a presença das camadas afeta
as propriedades magnéticas e de transporte das superredes magnéticas. A maioria dos
resultados foram obtidos com U = 4 t com cerca de 4000 passos de MCQ. Alguns outros
resultados foram obtidos com U = 8 t a título de comparação.

5.1 Superredes magnéticas 45
Outro ponto importante é que comparamos os resultados oriundos de duas abordagens
da Hamiltoniana estudada. Como vimos, a Hamiltoniana de Hubbard escrita na forma
simétrica, apesar de sua simplicidade em descrever a banda semi-cheia para o potencial
químico nulo, acabava por introduzir um decréscimo de energia nos níveis de energia dos
sítios repulsivos:
Hsimétrica = −t[. . .] +
Uini↑ni↓ − Ui
2 (ni↑
+ ni↓)
i
− µ[. . .] + cte.. (5.1)
No entanto, é também válido estudar o que ocorre com as grandezas físicas quando
retiramos essa contribuição, i.e., quando escrevemos a Hamiltoniana com os níveis en-
ergéticos corrigidos e iguais para sítios repulsivos e livres,
Hcorrigida = Hsimétrica +
i
Ui
2 (ni↑ + ni↓). (5.2)
O uso da Hamiltoniana simétrica também se justifica para podermos comparar os re-
sultados com aqueles da Ref.[27] onde a ocorrência de sítios com U = 0 é distribuída
aleatoriamente e a Hamiltoniana utilizada nesta abordagem é simétrica.
5.1.1 Resultados para o caso simétrico
Correlações Magnéticas
Podemos separar o estudo das correlações magnéticas para a banda semi-cheia (µ = 0)
e fora da banda semi-cheia. Nesta subseção iremos nos concentrar na banda semi-cheia.
Com respeito às correlações magnéticas podemos destacar que ao longo das camadas
livres ou repulsivas o ordenamento é sempre antiferromagnético. Isto está ilustrado na
Figura 5.1 para uma rede com configuração LU = 1 L0 = 1 e tamanho linear L = 12.
É interessante observar que a amplitude das oscilações é sempre maior na camada
repulsiva, denotando uma maior correlação entre os spins desta camada em comparação
àqueles das camadas livres. No caso das correlações entre camadas (Figura 5.1(b)) pode-
mos notar que para uma temperatura baixa o suficiente (T = t ) o acoplamento entre
16

5.1 Superredes magnéticas 46
Figura 5.1: Correlação magnética no espaço real entre dois spins para LU = 1 e L0 = 1 em uma
rede de tamanho linear L = 12 e interação eletrônica U = 4t; em (a): ao longo das camadas livre
e repulsiva para β = 12 ; em (b): através das camadas para β = 4 e β = 16; pontos cheios e
vazios denotam sítios repulsivos e livres respectivamente.
as camadas repulsivas é ferromagnético; no entanto, para temperaturas mais altas este
acoplamento não é bem definido podendo ser até mesmo antiferromagnético em virtude
das barras de erro (que possuem dimensões comparáveis aos pontos).
No entanto, a leitura do ordenamento magnético pode ser mais facilmente percebida
quando as escrevemos no espaço recíproco (qx, qy). Desta forma, a Figura 5.3 apresenta
os gráficos para o fator de estrutura para diferentes configurações possíveis das superredes
magnéticas com diversas temperaturas. Para descrevê-lo utilizamos que o acoplamento na
direção qy está relacionado à direção através das camadas. Fazendo a distância entre duas
linhas equivalentes em diferentes células consecutivas que compõem a rede como sendo
uma unidade do parâmetro de rede (Figura 5.2), o valor de qy corresponde ao acoplamento
entre estas duas linhas.
Já o acoplamento na direção qx denota o acoplamento ao longo de uma determinada
camada (repulsiva ou livre). Para melhor visualizá-lo descrevemos um caminho no espaço

5.1 Superredes magnéticas 47
Figura 5.2: Configuração da rede para acoplamentos através das camadas e ao longo das camadas.
recíproco com as definições acima. O caminho escolhido foi aquele que sai da origem no
espaço recíproco (0, 0) em seguida aumentando qx com qy = 0 até chegar a (π, 0). Após
isso, variamos qy com qx = π até o ponto (π, π). E finalizando voltando para a origem
com qx = qy.
Em todas as redes observamos que existe uma competição entre os acoplamentos fer-
romagnético (F) e antiferromagnético (AF) entre as camadas equivalentes como mostram
os gráficos enquanto que ao longo de uma determinada camada o acoplamento predomi-
nante é sempre antiferromagnético (parcialmente mostrado na Figura 5.3).
Com relação ao acoplamento entre camadas (Figura 5.3), temos que no caso LU =
1 L0 = 1 existe uma transição entre os estados AF e F ao diminuírmos a temperatura,
como discutido anteriormente para as correlações reais. No caso, LU = 2 L0 = 2 ex-
iste uma superposição de estados que acoplam as camadas antiferromagneticamente e
ferromagneticamente com uma leve predominância para o primeiro estado para todo o
intervalo de temperaturas estudado, sendo que este ordenamento varia muito pouco com
a mesma. Nos casos das redes LU = 1 L0 = 2 e LU = 2 L0 = 1 ocorre também um
acoplamento AF que ainda é reforçado com a diminuição de temperatura. Já nos casos
LU = 1 L0 = 3 e LU = 3 L0 = 1 existe uma competição entre os dois ordenamentos com
leve tendência ao ferromagnetismo. Enquanto que na primeira rede existe uma transição

5.1 Superredes magnéticas 48
Figura 5.3: Fator de Estrutura bidimensional para diferentes superredes na banda semi-cheia.
para um estado F muito pouco pronunciada ao diminuírmos a temperatura, na segunda,
vemos que ocorre uma superposição dos estados que se mantém com a temperatura.
Para a Hamiltoniana simétrica, na banda semi-cheia, a ocupação nos sítios repulsivos é
igual a dos sítios livres. Portanto, estes ordenamentos predominantes estão de acordo com
o quadro de antiferromagnetismo global da rede semelhante ao caso da rede homogênea,
com exceção do caso LU = 2 L0 = 2 onde parece haver uma forte competição entre os
ordenamentos, com leve tendência ao ferromagnetismo, levando à quebra dessa simetria

5.1 Superredes magnéticas 49
geral. Isto nos leva a crer que a construção de camadas pode alterar o estado usual da rede
homogênea.
Excetuando-se este caso particular, o acoplamento entre as linhas equivalentes de ca-
madas diferentes será F ou AF conforme a largura das células que compõem a superrede.
Uma análise detalhadas dos efeitros de tamanhos finitos é complicada já que é difícil
obter vários tamanhos de rede para uma dada superrede. Isto ocorre porque as superre-
des não “encaixam” em tamanhos de rede que não sejam múltiplos da largura de uma
célula. Todavia os resultados apresentados foram feitos para as maiores redes em que as
superredes cabiam, dados os limites computacionais, o que minimiza os efeitos de escalas
pequenas.
Propriedades de Transporte
De forma a descobrir os efeitos quantitativos da presença de camadas, examinamos
o transporte neste sistema. Para isso, devemos achar uma maneira de encontrar a de-
pendência com a temperatura da condutividade e da densidade de estados para que se-
jamos capazes de distingüir um estado metálico de um isolante. Primeiramente, olhemos
para a condutividade.
A componente x da parte paramagnética do operador densidade de corrente na posição
i é definida como:
jx(i) = it
σ
c †
i+ˆx,σci,σ − c †
i,σci+ˆx,σ
, (5.3)
que para um “tempo imaginário” τ generaliza-se por jx(i, τ) = e Hτ jx(i)e −Hτ . A par-
tir disso, podemos escrever a função de correlação densidade-densidade de corrente no
espaço de momentos como:
Λxx(q; iωn) =
β
i
0
dτ〈jx(i, τ)jx(0, 0)〉e iq·i e −iωnτ , (5.4)
onde ωn = 2nπ/β é a freqüência de Matsubara [38] e 〈. . .〉 denota a média térmica a uma
temperatura T = β −1 .

5.1 Superredes magnéticas 50
Pelo teorema de flutuação-dissipação obtemos que,
∞
dω
Λxx(q; τ) =
π
para 0 ≤ τ ≤ β.
−∞
e −ωτ
1 − e −βω ImΛxx(q; ω), (5.5)
Uma complicação das simulações de Monte Carlo é que as funções de correlação são
obtidas como função do tempo imaginário τ como, por exemplo, Λxx(q; τ). Para obter-
mos as grandezas dependentes da freqüência (Λxx(q; ω)) seria preciso usar uma inversão
numérica da transformada de Laplace. Ao invés disso, nós usamos uma técnica aproxi-
mativa válida quando a temperatura é menor que uma escala de energia apropriada do
problema (T ≪ Ω), onde Ω é a escala na qual ImΛ desvia-se do seu comportamento a
baixas freqüências. Nesta escala, podemos usar o formalismo geral de teoria da resposta
linear onde a condutividade dc é dada por:
σ x dc = lim(ω → 0) ImΛxx(q = 0; ω)
ω
(5.6)
Com isso, se inserirmos τ = β/2 na integral da Eq.5.5, a função multiplicando ImΛxx(q; ω)
para baixa T efetivamente restringe a integral a baixos ω´s, assim podemos aproximar
ImΛxx(q = 0; ω) por σx dcω (Eq. 5.6). A integral de freqüência pode então ser resolvida
analiticamente levando ao resultado:
Λxx(q = 0; τ = β/2) = π
β 2 σx dc, (5.7)
Isto se justifica haja vista que a função de correlação corrente-corrente é aproximada-
mente constante em torno deste valor de tempo imaginário (Figura 5.4).
Portanto, a condutividade DC ao longo das camadas como função da temperatura será:
σ x dc = β2
π Λxx(q = 0; τ = β/2). (5.8)
De maneira análoga podemos definir a condutividade DC através das camadas como
σ y
dc = β2
π Λyy(q = 0; τ = β/2). (5.9)

5.1 Superredes magnéticas 51
Figura 5.4: Função de correlação corrente-corrente na direção x como função do tempo ima-
ginário τ para o inverso da temperatura β = 10 com discretização ∆τ = 0.125 para uma rede
homogênea de tamanho linear L = 12.
Com este resultado calculamos a condutividade dc no caso da Hamiltoniana simétrica
na banda semi-cheia (µ = 0) para diferentes configurações LU, L0 das superredes. Como
estamos em um sistema de unidades com e = = 1, os resultados apresentados podem
ser colocados em termos do quantum de condutividade (σQ = 4e2 ) se os dividirmos por
h
2
π .
Antes de mostramos os resultados para as superredes podemos ganhar alguma percepção
sobre a física do sistema ao analisarmos o comportamento da condutividade em função da
temperatura para as redes homogêneas com e sem interação eletrônica (Figura 5.5). O que
podemos observar diretamente é que existem dois regimes para a condutividade. São eles:
a condutividade tende a zero quando a temperatura tende a zero para a rede homogênea
com interação eletrônica, denotando um sistema isolante; a condutividade diverge quando
a temperatura tende a zero para a rede sem interação eletrônica, denotando um sistema
metálico.

5.1 Superredes magnéticas 52
Figura 5.5: Condutividade dc como função da temperatura para redes Homogêneas de tamanho
12x12 com U = 4 t e U = 0. Note que a condutividade neste caso independe da direção.
Para o caso das superredes façamos primeiro uma análise de tamanhos finitos. Na
Figura 5.6 mostramos a condutividade como função da temperatura para a rede com LU =
1 e L0 = 1, U = 4 t na banda semi-cheia. Podemos ver que até a escala de temperaturas
estudada a condutividade aumenta com a diminuição da temperatura, similar ao caso da
rede homogênea com U = 0, indicando um comportamento aparentemente metálico.
Além disso, esta grandeza sofre poucos efeitos de tamanho já que o seu comportamento
físico não varia significativamente para diferentes tamanhos de rede.
Outro ponto interessante a se notar é que a condutividade pode possuir diferentes va-
lores para as duas direções preferenciais das superredes, i.e., na direção ao longo das ca-
madas e na direção de heterogeneidade, já que a corrente e conseqüentemente a função de
correlação corrente-corrente pode possuir diferentes magnitudes para estas duas direções.
Este efeito no entanto é surpeendentemente pequeno para algumas superredes (Figura
5.7). No entanto, para LU = 1 e L0 = 1 existe uma diferença no comportamento qua-
litativo entre as duas direções para temperaturas muito baixas. Isto possui importantes
conseqüências como veremos a seguir.

5.1 Superredes magnéticas 53
Figura 5.6: Condutividade dc como função da temperatura para vários tamanhos de rede na
configuração LU = 1 e L0 = 1 com U = 4t mostrando que esta grandeza varia pouco com o
tamanho do sistema.
Antes de explicarmos o que ocorre com a condutividade para as diferentes superredes,
observamos que os efeitos das interações de muitos corpos nas camadas são primordiais
para o entendimento das propriedades físicas. Na Figura 5.8 mostramos a condutividade
ao longo das camadas para uma superrede com LU = 2 e L0 = 1 e U = 4 e para as
redes homogêneas com U = 0 e U = 4 t, como função da temperatura. A curva com
os triângulos invertidos foi obtida fazendo-se a média das redes homogêneas com e sem
interação de forma a respeitar a proporcionalidade de sítios livres e repulsivos presentes
na superrede. Para temperaturas altas o acordo entre a curva da superrede e a proveniente
da média é bom indicando que a simples proporção entre sítios livres e repulsivos é capaz
de explicar a condutividade. Já para temperaturas baixas, o comportamento qualitativo é
totalmente contrário mostrando que o efeito da presença de camadas é primordial para o
entendimento da condutividade nestas redes.
Como os resultados são fracamente dependentes de efeitos de tamanho finito, es-
quematizamos na Figura 5.9 o comportamento da condutividade através das camadas para

5.1 Superredes magnéticas 54
Figura 5.7: Condutividade dc como função da temperatura para diferentes superredes com
tamanho linear L = 12 mostrando que esta grandeza varia pouco com a direção preferencial
da corrente para a maioria das superredes. Nota-se que a condutividade através das camadas é
sempre menor em comparação à condutividade dentro das camadas.
diferentes configurações das superredes para dois tamanhos L = 10 e L = 12 respeitando
as configurações que “cabem” em cada tamanho, i.e., L/(LU + L0) sendo um número
inteiro.
De uma forma geral, observamos que as superredes com baixo número de camadas re-
pulsivas tendem a ser metálicas e as que possuem um maior número de camadas repulsivas
tendem a ser isolantes, acompanhando os comportamentos dos sistemas homogêneos sem
e com interação eletrônica, respectivamente. Este comportamento também se mantém
para valores de interação eletrônica U maiores como pode ser visto na Figura 5.10.
No entanto, podemos determinar em que configuração crítica ocorre a mudança de
comportamentos. Isso pode ser feito fazendo um gráfico da condutividade como função da
razão das camadas repulsivas e livres LU/L0 para diferentes temperaturas (Figura 5.11).
O que podemos observar é que abaixo de um valor (LU/L0)c a condutividade au-

5.1 Superredes magnéticas 55
Figura 5.8: Comparação da condutividade dc para a rede com LU = 2 L0 = 1 com o caso
homogêneo fazendo a média dos casos homogêneo com U = 0 e U = 4 t respeitando a propor-
cionalidade de sítios livres e repulsivos.
Figura 5.9: Condutividade dc através das camadas como função da temperatura para várias su-
perredes com tamanhos lineares 10 e 12.

5.1 Superredes magnéticas 56
Figura 5.10: Condutividade dc ao longo das camadas como função da temperatura para várias
superredes com interação eletrônica U = 8 t.
Figura 5.11: Condutividade dc como função da razão de camadas repulsivas e livres para dife-
rentes temperaturas nas duas direções preferenciais da rede.

5.1 Superredes magnéticas 57
menta conforme a temperatura diminui e acima desse valor a mesma tende a zero quando
diminuímos a temperatura. Ou seja, o cruzamento destas curvas delimita a configuração
de camadas livres e repulsivas separando os comportamentos metálico e isolante. Isso
ocorre tanto para a condutividade na direção ao longo das camadas como para a condu-
tividade na direção perpendicular às mesmas. No caso da condutividade ao longo das
camadas existe um valor bem definido de (LU/L0)c 2 que separa os dois comporta-
mentos enquanto que no caso através das camadas existe uma forte dependência com a
temperatura e com a configuração da superrede fazendo com que exista não um ponto e
sim uma região de cruzamento definindo 0.75 (LU/L0)c 1.75. De fato, neste último
caso o ponto referente à rede LU = 1 e L0 = 1 e β = 16 não se enquadra muito bem neste
arranjo já que provoca um cruzamento a um valor de (LU/L0) diferente das demais tem-
peraturas e por conseqüência define esta região. Isto ocorre pois como vimos na Figura
5.9, esta rede converge para um estado isolante nesta direção.
Mas o que podemos destacar é que os valores de (LU/L0)c referentes à transição
metal-isolante são diferentes para as duas direções mostrando que o efeito das camadas é
diferente ao longo e através das mesmas.
Com relação ao parâmetro LU/L0, acreditamos ser um bom parâmetro para difer-
enciar as redes no caso das que construímos com LU = 1 ou L0 = 1. No entanto, não
esperamos que este seja o melhor parâmetro para redes maiores tamanhos de camadas, por
exemplo, LU = 5 e L0 = 5 onde as propriedades de transporte podem e provavelmente
devem variar consideravelmente em comparação ao caso LU = 1 e L0 = 1.
1
N
Agora veremos a densidade de estados de uma partícula N(ω). Ela é dada por N(ω) =
k A(k, ω), onde A é a função espectral que está relacionada com a Função de Green
para o tempo imaginário G(k, τ) = −〈ckσ(τ)c †
kσ
∞
G(k, τ) = −
−∞
(0)〉 por,
dω e−ωτ
A(k, ω). (5.10)
1 + e−βω De forma a obtermos A e posteriormente a densidade de estados, analogamente ao pro-
cesso anterior, devemos fazer uma aproximação para baixas freqüências. Fazendo a

5.1 Superredes magnéticas 58
transformada de Fourier da equação anterior e olhando para a função de Green local em
τ = β/2, obtemos,
G(r, τ = β/2) = − π
N(0), (5.11)
β
i.e., a densidade de estados de uma partícula para ω = 0, i.e. no nível de Fermi, como
função da temperatura será
N(0) = − β
G(r, τ = β/2). (5.12)
π
Com isto pudemos calcular a densidade de estados na banda semi-cheia como função
da temperatura para as diferentes redes estudadas (Figura 5.12).
Figura 5.12: Densidade de estados no Nível de Fermi como função da temperatura para diferentes
superredes na banda semi-cheia.
O que se pode notar é que esta grandeza possui o mesmo comportamento geral da
condutividade para as diversas superredes. Ou seja, em algumas delas esta quantidade
aumenta quando a temperatura vai a zero (estado fundamental metálico) e em outras esta
grandeza vai a zero com a diminuição da temperatura (estado fundamental isolante). No
entanto, não podemos predizer isto com exatidão já que não possuímos os comportamen-
tos à temperatura igual a zero para esta grandeza, e caso esta convergência resulte em um

5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido 59
valor pequeno mas diferente de zero para a densidade de estados no nível de Fermi a rede
será metálica. Isto posto, podemos ressaltar que as barras de erro nos valores da densidade
de estados entre várias realizações são muito menores em comparação à condutividade,
sendo esta grandeza melhor comportada.
5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido
Faremos agora uma comparação direta das duas abordagens da hamiltoniana estudada, a
saber: o caso da hamiltoniana simétrica e o caso da hamiltoniana com os níveis de ener-
gia dos sítios repulsivos corrigidos. Comparamos grandezas magnéticas e de transporte
para uma superrede com configuração LU = 1 e L0 = 1 para alguns tamanhos de rede.
Analisaremos primeiramente a densidade como função do potencial químico aplicado.
Podemos ver na Figura 5.13 que para o caso simétrico a condição de banda semi-
cheia é dada para o potencial químico nulo, como anteriormente argumentamos. Além
disso, as “ondulações” presentes nesta grandeza estão relacionadas aos efeitos da finitude
do sistema já que ocorrem a diferentes densidades eletrônicas e aparentemente não estão
associadas a estados incompressíveis, i.e., com dn
dµ
= 0. Para o caso corrigido ocorre a
dificuldade da determinação da banda semi-cheia já que não existe a priori um valor do
potencial químico que resulte nela.
Outro ponto importante é que os hamiltonianos descrevem de forma diferente as
ocupações nos sítios livres e repulsivos, iso está esquematizado na Figura 5.14. En-
quanto que no caso simétrico na banda semi-cheia estas ocupações são iguais, no caso
corrigido há uma maior ocupação nos sítios livres. Conforme aumentamos o potencial
químico, preferencialmente este tipo de sítio será mais ocupado, resultando na “abertura”
das curvas.
Cabe agora definir para que densidade o sistema é isolante. Vimos no Capítulo 2 que
uma grandeza esclarecedora a este respeito é o momento local 〈S 2 i 〉. De fato o momento
local nos sítios repulsivos apresenta um máximo na densidade isolante indicando que o

5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido 60
Figura 5.13: Densidade eletrônica como função do potencial químico para a rede LU = 1 e
L0 = 1 com U = 4 t e β = 16; No caso simértrico com três tamanhos de rede (L = 8, 10 e 12) e
no caso corrigido com L = 12
Figura 5.14: Densidade eletrônica como função do potencial químico nos sítios repulsivos (pon-
tos cheios) e livres (pontos vazios) para a rede LU = 1 e L0 = 1 com U = 4 t e β = 16 com
tamanho de rede 12x12 para os casos simétrico e corrigido.
sistema encontra-se no estado com 2 spins nos sítios livres e com 1 spin nos repulsivos em
média para o caso das superredes. Na Figura 5.15 apresentamos o valor dessa grandeza

5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido 61
como função da densidade eletrônica para as duas hamiltonianas no sistema de superredes
bem como no caso da rede homogênea a título de comparação, para interação eletrônica
U = 4 t e tamanho de rede 8x8.
Figura 5.15: Momento local em função da densidade eletrônica nos sítios repulsivos (pontos
cheios) e livres (pontos vazios) para a superrede com LU = 1 e L0 = 1 e a rede homogênea com
U = 4 t e β = 8 com tamanho de rede 8x8 para os casos simétrico e corrigido.
Podemos observar que na superrede com hamiltoniano simétrico não há indicativo
de pico não-diferenciável no momento local nos sítios repulsivos enquanto que este é
presente na rede homogênea e na superrede com hamiltoniano corrigido. Para a rede
homogênea o pico ocorre na densidade isolante já conhecida pelo diagrama de fases ap-
resentado no Capítulo 2, i.e, n = 1. Já para o caso da superrede tratada na abordagem
da hamiltoniana corrigida ele ocorre a n = 1, 5 correspondendo à densidade isolante
nI = 2L0+LU
LU +L0
apresentada no Capítulo 3 para as superredes unidimensionais. Nos sítios
livres o momento local cai quanto maior for a densidade devido a uma maior ocupação
e, conseqüentemente formação de dupla ocupação, destes em detrimento aos sítios repul-
sivos.

5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido 62
Outro bom indicativo da densidade isolante é a energia cinética dos elétrons na rede. A
Figura 5.16 mostra esta grandeza como função da densidade para os três sistemas tratados
(Rede homogênea, Superrede com hamiltoniano simétrico e Superrede com hamiltoniano
corrigido) bem como a sua derivada com relação à densidade.
Figura 5.16: Energia cinética e sua derivada em função da densidade eletrônica nos sítios repul-
sivos (pontos cheios) e livres (pontos vazios) para a superrede com LU = 1 e L0 = 1 e a rede
homogênea com U = 4 t e β = 8 com tamanho de rede 8x8 para os casos simétrico e corrigido.
Podemos ver que a energia cinética diminui com a densidade devido a um maior espal-
hamento pelos outros elétrons da rede e a sua derivada com relação à densidade é bastante
esclarecedora para confirmarmos a densidade isolante do caso homogêneo e do caso da
superrede com hamiltoniano corrigido. No caso da superrede com hamiltoniano simétrico
não há indicativos de que haja uma densidade isolante.
Com relação ao ordenamento magnético na rede, podemos calcular o fator de estrutura
para os dois hamiltonianos (Figura 5.17).
No caso simétrico podemos destacar que o acoplamento que ocorre antiferromagneti-
camente ao longo das camadas e ferromagneticamante entre as camadas equivalentes para
a banda semi-cheia (pico em (π, 0)), muda conforme aumentamos a densidade eletrônica.
Assim para densidades maiores o ordenamento relevante é antiferromagnético tanto na
direção das camadas como entre as camadas (pico em (π, π)). Já no caso corrigido obser-

5.2 Comparação do caso simétrico com o caso corrigido 63
Figura 5.17: Fator de estrutura como função da densidade e do vetor momento para a superrede
com LU = 1 e L0 = 1 e β = 16 com tamanho de rede 12x12 para os casos simétrico e corrigido.
vamos que o acoplamento relevante é antiferromagnético nas duas direções para todas as
densidades. Particularmente para a densidade isolante (n = 1, 5) ele apresenta um pico
pronunciado, mostrando que o esquema geral de ordenamento neste caso é que os mo-
mentos localizados nas camadas repulsivas acoplam-se antiferromagneticamente tanto ao
longo delas como com os momentos localizados nas camadas repulsivas subseqüentes.
Por último, a condutividade dc calculada pela mesma maneira anteriormente descrita,
no caso da banda semi-cheia, mostra que não há diferenças significativas para as duas
direções preferenciais na superrede para o caso corrigido, ao menos até a escala de tem-
peraturas estudada. Além disso, a condutividade ao longo das camadas para as duas
abordagens da Hamiltoniana indica que há um aumento da mesma para baixas tempe-
raturas no caso simétrico em comparação ao caso corrigido. Isto pode ser entendido se
lembrarmos que para o caso corrigido, na banda semi-cheia, a ocupação dos sítios livres
e repulsivos é diferente, com isso a condutividade ao longo das camadas fica prejudicada
para o caso corrigido pois há uma maior probabilidade de dupla ocupação nas camadas
livres, diminuindo assim a propagação eletrônica devido aos espalhamentos nestas duplas
ocupações.

5.3 Desordem na rede hexagonal 64
Figura 5.18: Condutividade dc como função da temperatura para a superrede com LU = 1 e
L0 = 1 e β = 8 com tamanho de rede 8x8 nos casos simétrico e corrigido. Em (a) condutividade
nas duas direções para o caso do hamiltoniano corrigido; Em (b) comparação da condutividade na
direção ao longo das camadas para os casos simétrico e corrigido.
5.3 Desordem na rede hexagonal
Como vimos na Introdução, o estudo da desordem em sistemas de redes hexagonais
(onde o exemplo mais famoso é o grafeno) é de grande importância para a descrição de
algumas propriedades relacionadas ao ordenamento magnético destas redes.
Assim o objetivo deste estudo se concentra em mensurar os efeitos da desordem
do tipo onsite nas correlações magnéticas em redes hexagonais bidimensionais. Cabe
ressaltar que os resultados obtidos foram calculados para a interação eletrônica U = 6 t
e com um número de passos de MCQ igual a 10000 e com um número de realizações de
desordem em torno de 10 a 15. Portanto, os resultados são para a rede com correlações
antiferromagnéticas, já que U é maior que Uc responsável pela transição paramagnética-
antiferromagnética. Antes disso, vejamos o comportamento da densidade como função
do potencial químico para a rede hexagonal sem desordem.
De acordo com o critério de incompressibilidade eletrônica introduzido no Capítulo 2

5.3 Desordem na rede hexagonal 65
vemos, de acordo com Figura 5.19, que para a banda semi-cheia (n = 1 e µ = 0) e com
o valor da interação eletrônica maior que Uc o sistema é isolante.
Figura 5.19: Densidade eletrônica como função do potencial químico aplicado para a rede hexa-
gonal sem desordem.
Além disso, outro ponto interessante a se observar é que o efeito da desordem não
muda o caráter invariante da Hamiltoniana perante a transformação partícula-buraco (Capítulo
3). Com isso, o valor de µ = 0 está relacionado à banda semi-cheia para todos os valores
de amplitude da desordem como pode ser visto na Figura 5.20.
5.3.1 Correlações magnéticas
Como mostrado no diagrama de fases para a rede hexagonal, as correlações magnéticas
importantes neste preenchimento eletrônico para este valor de U são aquelas relacionadas
ao antiferromagnetismo. Para descrevê-las façamos o uso de sua Transformada de Fourier,
o fator de estrutura. A Figura 5.21 mostra o comportamento desta grandeza como função
do inverso da temperatura β. Observa-se que existe uma temperatura baixa o suficiente
em que SAF tende assintoticamente a um valor constante mostrando que o comprimento
das correlações atingiu um valor maior que o da rede. Este valor constante é estimado

5.3 Desordem na rede hexagonal 66
Figura 5.20: Densidade média oriunda de várias simulações de desordem para µ = 0 como
função da amplitude de desordem ∆.
como o valor do fator de estrutura à temperatura igual a zero para este tamanho de rede.
Isto está esquematizado na Figura 5.21 para diferentes valores da amplitude de desordem.
De forma a retirar da análise os efeitos de tamanho finito podemos extrapolar o valor do
fator de estrutura à T = 0 na forma como foi escrito no Capítulo 2 para as diferentes
amplitudes de desordem.
Como esta expressão vale para L → ∞ e L = 6 ainda não atingiu a mesma tendência
das redes maiores, onde os efeito da finitude do sistema são menores, os valores para o fa-
tor de estrutura correpondentes a este foram descartados. Portanto, a partir das interseções
com o eixo vertical, podemos descobrir os valores correspondentes a redes de tamanho
infinito (L → ∞) e nesta condição estimar o valor da magnetização da subrede bipartite
que forma a rede hexagonal por meio de
de acordo com a equação S(q)
N
= M 2
3
M = 3SAF /N. (5.13)
+ a
L
mostrada no Capítulo 2. Assim, o efeito da
desordem na magnetização está descrito na Figura 5.23, onde observamos que a presença
de um pouco de desordem tende a favorecer a magnetização enquanto que um valor de

5.3 Desordem na rede hexagonal 67
Figura 5.21: Fator de estrutura antiferromagnético como função do inverso da temperatura β para
diferentes tamanhos de rede, onde L representa o tamanho linear da rede.
desordem ∆ maior tende a destruí-la. De fato, para uma desordem desse tipo, esperamos
que enquanto a interação repulsiva tenderia a localizar os elétrons, i.e., aumentando os
momentos magnéticos, um vasto espectro de potenciais aleatórios (alta desordem) teria o
efeito oposto, já que os elétrons tenderiam a ocupar duplamente os sítios com potencial
mais baixo. Intuitivamente esperamos que uma amplitude de desordem ∆ da ordem de
U seja capaz de destruir a magnetização. No entanto, para baixos valores de desordem
o esquema é um pouco diferente. O aumento da magnetização nesta situação pode ser

5.3 Desordem na rede hexagonal 68
Figura 5.22: Extrapolação para tamanhos infinitos de acordo com a teoria de ondas de spin [26].
Dados para U = 6t. As linhas são ajustes lineares dos pontos.
Figura 5.23: Magnetização na subrede como função da amplitude de desordem na rede hexago-
nal. Dados para U = 6t. Para o caso sem desordem o ponto vermelho representa o valor calculado
por Paiva et al.[24] com uma estatística diferente.
entendido dentro da abordagem de RVB (do inglês Resonant Valence Bond [48]). No
caso sem desordem o spin de cada sítio formará singletos alternadamente com cada um

5.3 Desordem na rede hexagonal 69
dos spins dos seus 3 primeiros vizinhos, fazendo a magnetização tomar um valor finito.
Ao introduzirmos um pouco de desordem, um desses primeiros vizinhos pode ficar ener-
geticamente desfavorável e conseqüentemente o elétron que o ocupava deve se distribuir
pela rede, aumentando assim dupla ocupação. Com isso, a formação de singletos estará
restrita apenas a dois primeiros vizinhos. Com esta restrição na formação dos singletos, a
localização tende a ser maior gerando um aumento na magnetização para baixos valores
de desordem. Com maiores valores de desordem maior será a probabilidade de pos-
suirmos dois vizinhos energeticamente desfavoráveis e isso aumentará a dupla ocupação,
conseqüentemente destruindo a magnetização.
Podemos notar também que o momento local (Figura 5.24) diminui com o aumento
da desordem já que ocorre um aumento na dupla ocupação. Além disso, maior será a sua
dispersão devido à ressonância desta dupla ocupação. Outra grandeza que sustenta nossa
Figura 5.24: Em (a): momento local médio de todos os sítios como função da desordem. Em (b):
momento local como função da desordem em um caminho zigzag ao longo da rede de tamanho
L = 12
argumentação é a correlação de primeiros vizinhos que mede a formação de singletos.
Como podemos notar na Figura 5.25, para pequenos valores de desordem esta correlação
diminui em módulo restringindo a sua formação.

5.3 Desordem na rede hexagonal 70
Figura 5.25: Função de correlação de primeiros vizinhos como função da desordem para uma
rede com 15X15 com U = 6 e β = 15
Ao aumentarmos o valor da desordem com a finalidade de descobrir qual o valor
crítico para destruição da magnetização encontramos uma limitação proveniente do sinal
no método de MCQ. Apesar de estarmos na banda semi-cheia, a desordem age de forma
a fazer com que hajam variações locais no potencial químico o que faz o valor do sinal
médio diminuir com a amplitude da desordem. Este efeito está ilustrado na Figura 5.26.
Para manter o valor de 〈Sinal〉 0, 6 vemos que ∆ = 3 é o valor máximo que pode-
mos chegar para a desordem de forma que os resultados sejam confiáveis pelo método de
MCQ. Com isso não podemos predizer com exatidão este valor crítico já que o mesmo,
de acordo com a nossa análise, pode estar entre 2,5 e 4.
Na rede quadrada um modelo como esse já foi estudado [49], mas devido a problemas
do sinal no método de MCQ, os resultados foram inconclusivos para a magnetização.

5.3 Desordem na rede hexagonal 71
Figura 5.26: Sinal médio de 10 realizações de desordem para uma rede de tamanho linear L=12
e inverso da temperatura β = 15 como função da amplitude de desordem.

Capítulo 6
Conclusões
Neste trabalho investigamos o papel das fortes correlações em duas redes bidimen-
sionais. A primeira delas sendo a rede quadrada estrurada (superredes magnéticas) e a
segunda, a rede hexagonal desordenada. Utlizamos um método numérico (Monte Carlo
Quântico Determinantal) para resolvermos o Hamiltoniano e obter quantidades de inte-
resse físico.
No caso das superredes magnéticas estudamos as duas abordagens das hamiltonianas:
simétrica e corrigida. No caso simétrico, vimos como ocorre o ordenamento magnético
para a banda semi-cheia nas diferentes configurações de superredes. Observamos que ele
depende fortemente desta configuração e também possui variações na dimuição de tem-
peratura. Pudemos também, calcular algumas propriedades de transporte como a condu-
tividade dc e a densidade de estados no nível de Fermi. Vimos que diferentes composições
das camadas resultam em sistemas isolantes ou metálicos e que esta condição dependerá
da direção de corrente na superrede, i.e., ao longo das camadas ou através delas. Fomos
capazes de estabelecer um valor da razão entre camadas livres e repulsivas crítico que
transiciona entre estes dois comportamentos e notamos que ele difere para as diferentes
direções, i.e., o efeito da presença de camadas é mais sensível nas propriedades de trans-
porte em uma dada direção do que na outra. Outro ponto importante é que a condutividade

para as superredes não é explicada como dependente unicamente da quantidade de sítios
repulsivos e sim da conformação destas camadas.
Além disso, pudemos comparar as duas hamiltonianas usadas no modelo de Hubbard
no ensemble grande canônico e vimos que a questão da diferença na densidade dos sítios
livres e repulsivos é fundamental para a ocorrência de uma densidade isolante. Esta densi-
dade pode ser encontrada olhando-se diretamente para grandezas como o momento local
e a energia cinética dos elétrons confirmando o resultado obtido por Paiva et al.[[29]]
para superredes unidimensionais. Com respeito ao ordenamento eletrônico na rede, vi-
mos que existem diferenças para as duas abordagens que estão diretamente relacionadas à
diferença de densidade nos sítios livres e repulsivos. E isso também afeta a condutividade
ao longo das camadas para o caso corrigido.
Com a caracterização das superredes em mãos, estamos prontos para a generalização
da hamiltoniana de forma a inserirmos termos referentes a campos magnéticos, motivados
pelos interessantes efeitos experimentais que aparecem condutividade para estas superre-
des.
Com relação às redes hexagonais desordenadas, pudemos ver que a desordem não
afeta a densidade eletrônica da rede; também fomos capazes de calcular como evolui o
ordenamento magnético, ou mais propriamente a transformada de Fourier da correlação
de spin, com a magnitude desta desordem na região do diagrama de fases correspondendo
ao antiferromagnetismo. Vimos que, como esperado, existe uma valor crítico da ampli-
tude de desordem em torno de 3 responsável pela destruição do ordenamento. Todavia
para pequenos valores ocorrem um aumento na magnetização da subrede que argumen-
tamos ser oriundo da diminuição na formação de singletos. Terminamos enfatizando que
é interessante saber se este é um efeito que independe da interação eletrônica U e isto
constitui-se um prosseguimento natural do presente trabalho.
73

Apêndice A
Estamos interessados em demonstrar a identidade:
−
e i,j c†
i Aijcj −
e
i,j c†
i Bijcj −
= e
ν c† νlνcν (A.1)
onde λν = e −lν são os autovalores da matriz e −A e −B . Basicamente, demostraremos que
os dois lados da equação dão os mesmos resultados se aplicados a um estado de muitas
partículas arbitrário. Primeiramente, façamos para um estado de uma partícula,
|φ〉 =
j
ajc †
j |0〉 (A.2)
onde os aj são coeficientes complexos arbitrários e |0〉 o estado de vácuo. Passemos para
a base |µ〉 que diagonaliza o operador B, ou seja:
B =
bµ|µ〉〈µ| (A.3)
µ
Definamos os novos operadores fermiônicos nesta base com seus respectivos inversos:
⎫ ⎧
cµ =
i 〈µ|i〉ci
c † µ =
i 〈i|µ〉c† i
⎪⎬ ⎪⎨
⇔
⎪⎭ ⎪⎩
ci =
µ 〈i|µ〉cµ
c †
i
=
µ 〈µ|i〉c† µ
Agora, podemos escrever a exponencial de B na nova base:
e
i,j c†
i Bijcj
= e µ c†
µbµcµ =
µ
=
e −bµnµ
µ
=
µ
(A.4)
e −c† µbµcµ (A.5)
−bµ †
1 + (e − 1)c µcµ

onde na última passagem separamos as duas contribuições possíveis para nµ (0 ou 1)
Aplicando isto ao estado de uma partícula [Eq. ] e expandindo c †
j em termos de c† µ, além
de usar as relações de anti-comutação fermiônicas, encontramos:
com,
e −c†
i Bijcj |φ〉 =
a ′ i =
j
j
e −B
75
a ′ jc †
j |0〉, (A.6)
ij aj. (A.7)
Da mesma forma, operando com dois fatores neste estado, encontraremos após alguns
cálculos:
com,
e −c† i Aijcj −c
e †
i Bijcj
|φ〉 =
j
a ′′
j c †
j
|0〉, (A.8)
a ′′
i = −B
e
ij aj. (A.9)
j
Resumindo, a amplitude do estado propagado é obtida multiplicando-se a amplitude
original pelo produto das matrizes. A Eq. A.8 é válida em qualquer base e, em particular,
naquela em que e −A e −B é diagonal. Se ,então, começarmos com um estado que seja um
autoestado de e −A e −B , i.e.:
obtemos:
|φ〉 = c † ν|0〉 (A.10)
e −c†
i Aijcj e −c †
i Bijcj |φ〉 = e −A e −B
νν c† ν|0〉 = e −lν c † ν|0〉, (A.11)
que é o mesmo que obtemos do lado direito da Eq. A.1, o que demonstra a equação.
Fizemos isto para um estado de uma partícula. Para estados de muitas partículas, este
resultado é trivialmente generalizado.

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