prova 02 (clique aqui) - Darwin

G:\2012\REPROGRAFIA\Simulados\8ª Av Discursiva Prova 2 - RESOLUÇÃO.doc 12
CENTRO EDUCACIONAL CHARLES DARWIN
MATEMÁTICA
4ª Questão
Para resolver equações do tipo x4 + ax³ + bx² + ax + 1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0
não é uma raiz, divide-se a equação por x² e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1
, resolve-se a equa-
ção obtida [na variável u]. Observe que, se x IR e x > 0, então u 2.
a) Ache as raízes reais da equação x 4 – 3x³ + 4x² – 3x + 1 = 0.
b) Encontre os valores de b IR para os quais a equação x 4 – 3x³ + bx² – 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz
real positiva.
Resposta:
a) x 4 – 3x³ + 4x² – 3x + 1 = 0
2 1 1
x 3 x40
2
x
x
Fazendo x + 1
= u, temos que
1
x x
2
x
= u² x² + 2 + 2
Substituindo em
2 1 1
x 3 x40
2
x
x
, resulta
1
4 3 2
x 3x 4x 3x 1 0
3 1
x² – 3x + 4 – 2 2 2 2 2 2
2
x x x x x x
1
x
x = u² x² + 2
= u² – 2
u² – 2 – 3u + 4 = 0 u² – 3u + 2 = 0 u = 2 ou u = 1
Para u = 2, obtém-se
x + 1
= 2 x² – 2x + 1 = 0 (x – 1)² = 0 x = 1 (raiz dupla)
x
Para u = 1, obtém-se x + 1
x
= 1 x² – x + 1 = 0
Como < 0, não há solução real. Logo V = {1}
b) x 4 – 3x³ + bx² – 3x + 1 = 0
x² +
4 3 2
x 3xbx3x 0 x² – 3x + b – 2 2 2 2
2
x x x x
1 1 1 1
3 x b 0 x 3. x b 2 0
2
x x x x
Fazendo u =
1
x , temos: u² – 3u + b – 2 = 0
x
2
3 1
0
x x
x
= 0
x x