3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY
A teoria de Cauchy-Goursat, desenvolvida na secção 2 (TEORIA DE CAUCHY- GOUR-
SAT), permite-nos tirar algumas propriedades importantes sobre as funções f que são
diferenciáveis num conjunto aberto U:
Uma primeira consequência surge do facto de considerando
u(x; y) = Re f(x + iy) e v(x; y) = Im f(x + iy);
a função derivada de f; ser dada para qualquer x + iy 2 U; através de qualquer uma das
igualdades seguintes:
f 0 (x + iy) = @u
@v
(x; y) + i@v (x; y) = (x; y) i@u (x; y) :
@x @x @y @y
Mas como f 0 é contínua em U; por ser também diferenciável em U; podemos concluir que
então
@u
(x; y) ;
@x
@u
(x; y) ;
@y
@v
(x; y) ;
@x
@v
(x; y) ;
@y
são igualmente funções contínuas no aberto = f(x; y) : x + iy 2 Ug ; e que, por conseguinte,
f é uma função holomorfa em U: Logo ter f diferenciável em U é equivalente a
que f seja holomorfa em U:
3.1 FUNÇÕES HARMÓNICAS
Uma função real (x; y) que seja de classe C 2 num conjunto aberto R 2 ; e que
satisfaça para cada (x; y) 2 ; a equação de Laplace
(x; y) = @2
@x
2 (x; y) + @2
(x; y) = 0;
@y2 diz-se uma função harmónica em :
Casos concretos de funções harmónicas são-nos dados pelas funções que são parte real
ou parte imaginária de uma função, f; que seja holomorfa num dado conjunto aberto,
U C; isto é, pelas funções
u(x; y) = Re f(x + iy) e v(x; y) = Im f(x + iy);
de…nidas no aberto = f(x; y) : x + iy 2 Ug R 2 :
Para isso tenhamos em conta que
Re f 0 (x + iy) = @u @v
(x; y) = (x; y) ;
@x @y
Im f 0 (x + iy) =
@u @v
(x; y) = (x; y) ;
@y @x
e que o Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY) garante que
f 0 também é diferenciável em U: Então destas relações podemos concluir que existirão
necessariamente em ; todas as derivadas parcias de segunda ordem, quer de u; quer de
1

v; e que as correspondentes equações de Cauchy-Riemann são veri…cadas. Assim, para
qualquer (x; y) 2 ;
@
@x
e também
@
@x
ou seja,
@v
@y
@u
@x
(x; y) = @
@y
(x; y) = @
@y
@ 2 u
@v
@x
@u
@y
@x 2 (x; y) = @2 v
@2v (x; y) =
@y@x
(x; y) ;
(x; y) ;
(x; y) ;
@x@y
@2u (x; y) ;
@y2 @
@y
@
@y
@u
@x
@v
@y
(x; y) = @
@x
(x; y) = @
@x
@v
@x
@u
@y
@2u @x@y (x; y) = @2v (x; y) ;
@x2 @2v @y2 (x; y) = @2u (x; y) :
@y@x
(x; y) ;
(x; y) ;
Além disso, ainda por ser uma função diferenciável em U; f 00 é uma função contínua neste
conjunto, podendo-se então a…rmar que também todas as derivadas de segunda ordem
são funções contínuas em ; ou seja que u e v são funçõess de classe C 2 em : Então
a igualdade entre as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem permite-nos concluir
que, para qualquer (x; y) 2 ;
u(x; y) = @2 u
v(x; y) = @2 v
@x2 (x; y) + @2u @y
@x2 (x; y) + @2v @y
2 (x; y) = 0;
2 (x; y) = 0:
Logo, em tais circunstâncias, podemos a…rmar que, na verdade, u e v são funções harmónicas.
Dada uma função harmónica num dado conjunto R 2 ; se existir uma função
complexa de variável complexa, f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g tal que
a função
(x; y) = Re f(x + iy);
(x; y) = Im f(x + iy)
é chamada de harmónica conjugada de u:
Notemos ainda que a diferenciabilidade de f 0 leva a que para qualquer x + iy 2 U;
f 00 (x + iy) = @
@x
= @
@y
= @
@x
= @
@y
@u
@x
@v
@x
@v
@y
@u
@y
@
(x; y) + i
@x
@
(x; y) i
@y
(x; y) + i @
@x
2
(x; y) i @
@y
@v
@x
(x; y)
@u
@x
(x; y)
@u
@y
(x; y)
@v
@y
(x; y) ;

ou seja que
f 00 (x + iy) = @2 u
@x 2 (x; y) + i@2 v
@x 2 (x; y) = @2 v
=
(x; y) i
@x@y
@2v @y@x (x; y) i @2u @y@x (x; y) = @2u @ 2 u
@x@y
(x; y)
@y2 (x; y) i@2 v
(x; y) :
@y2 Mas como ainda pelo Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY)
também f 00 também é holomorfa, existem igualmente todas as derivadas parciais de terceira
ordem de qualquer das funções u e v:
Prosseguindo continuamente este processo, podemos assim concluir que quer u; quer
v; admitem no conjunto ; todas derivadas parciais de todas as ordens. Logo u e v são
ambas funções de classe C 1 em :
3.2 TEOREMA DE LIOUVILLE
Uma outra consequência simples das fórmulas integrais de Cauchy reporta-se ao teorema
seguinte, comummente atribuído ao francês Joseph Liouville (1809-1899).
Teorema 1 (Teorema de Liouville) Qualquer função inteira limitada é constante.
Dem.: Com z 2 C; temos para qualquer circunferência, Cr(z); de centro em z e raio
r > 0; simples e positivamente orientada,
f 0 (z) = 1
Z
f(w)
dw:
2 i (w z) 2
Cr(z)
Então supondo que jf(z)j M; para qualquer z 2 C; obtemos que
jf 0 (z)j
1
2
M M
2 r =
r2 r :
Da arbitrariedade de r > 0; concluímos que f 0 é identicamente nula em C: Logo f é
constante em C:
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Teorema 2 (Teorema Fundamental da Álgebra) Qualquer polinómio de grau superior
a um tem pelo menos uma raiz.
Dem.: Seja
p(z) = anz n + ::: + a1z + a0
um polinómio de grau n > 1 e suponhamos que p(z) não admite qualquer raiz. Nestas
circunstâncias, temos que p(z) 6= 0; qualquer que seja z 2 C; e por conseguinte a função
é uma função inteira.
f (z) = 1
p(z)
3

De
jp(z)j = z n an + an 1
z
= jzj n an + an 1
z
a1 a0
+ ::: + +
zn 1 zn + ::: + a1
z
n 1 + a0
;
zn podemos concluir que jp(z)j ! +1; quando jzj ! +1 e consequentemente que jf (z)j !
0; quando jzj ! +1: Ou seja, existe R > 0 su…cientemente grande tal que jf (z)j < 1;
quando jzj > R:
Porém, sendo f inteira, em particular f é contínua em C; e como tal limitada na bola
fechada
BR = fz : jzj Rg :
Em suma, f é uma função inteira limitada.
Mas em tais circunstâncias, o teorema de Liouville, leva-nos a a…rmar que f é uma
função constante. Mas isto implica que todos os coe…cientes do polinómio a; :::; a1; são
nulos, e que portanto p(z) é um polinómio de grau zero, o que é absurdo.
3.4 TEORIA DE CAUCHY GLOBAL
A teoria de Cauchy permanece válida em condições mais gerais, como mostraremos
a seguir com base no conceito de homologia, o qual é construído através do índice de uma
linha em C, relativamente a um ponto w =2 im ,
I( ; w) = 1
Z
2 i
1
z w dz:
Duas linhas fechadas no aberto U; dizem-se homólogas em U sempre que, I( ; w) =
I( ; w), para cada w =2 U: Se se reduzir a um ponto de U; será homóloga a em U
se I( ; w) = 0, para cada w =2 U; caso em que se diz homóloga a um ponto de U; ou
0-homóloga em U.
O conceito de homologia pode ser estendido de uma maneira formal a conjuntos de
linhas, com alguma vantagem prática.
A um conjunto …nito de linhas = f 1; :::; ng chamaremos uma cadeia. Uma cadeia
diz-se um ciclo se cada linha que compõe for fechada. Por im = im 1 [ ::: [ im n;
designaremos a imagem da cadeia.
Se f for uma função contínua em im , ao valor
Z
f =
nX
Z
k=1
chamaremos integral de f ao longo de :
Por comprimento de entenderemos o valor
c( ) =
k
f
nX
c( k):
k=1
4

Se for um ciclo, consideraremos o índice de em relação a um ponto w =2 im , como
sendo o número inteiro
nX
I( ; w) = I( k; w):
k=1
Deste modo, diremos que dois ciclos 1 e 2 são homólogos no aberto U, se I( 1; w) =
I( 2; w) para cada w =2 U. Um ciclo dir-se-á homólogo a um ponto de U ou 0-homólogo
em U se I( ; w) = 0; para cada w =2 U:
Posto isto, podemos enunciar a seguinte versão do teorema de Cauchy.
Teorema 3 (Teorema de Cauchy Global) Seja f uma função holomorfa no aberto U
e um ciclo 0-homólogo em U. Então:
(i) f(z)I( ; z) = 1
Z
Z
2 i
f(w)
dw; para cada z 2 Unim ;
w z
(ii) f = 0:
Dem.: Comecemos por observar que (i) ) (ii): Na verdade, tomando um ponto
z0 2 Unim ; através de F (z) = (z z0)f(z), constituímos uma função diferenciável em
U e, por (i),
Z
1
2 i
f(z)dz = 1
Z
F (z)
dz = F (z0)I( ; z0) = 0:
2 i z z0
1) Iniciemos a demonstração de (i) com a formulação da função auxiliar g : U U ! C,
dada por
8
< f(w) f(z)
; se w 6= z;
g(w; z) =
:
w z
f 0 (z); se w = z:
Trata-se de uma função contínua em U U: Na verdade, a esse respeito, apenas os
pontos do tipo (u; u); u 2 U, poderão merecer dúvidas. Ora, qualquer que seja " > 0;
pela continuidade de f 0 ; existe > 0; tal que jz uj < ) jf 0 (z) f 0 (u)j < "; facto que
mostra ser jg(w; z) g(u; u)j < "; sempre que jz uj < e w = z: Por outro lado, para
z e w tais que 0 < jz uj < ; 0 < jw
Z
uj < ; de
f(w) f(z) =
obtemos,
jg(w; z) g(u; u)j =
f
[z;w]
0 (v)dv e f 0 (u) = 1
w z
Z
1
(f
w z [z;w]
0 (v) f 0 (u)) dv <
Z
[z;w]
f 0 (u)dv:
"
c([z; w]) = ";
jw zj
o que prova a continuidade de g em U U:
Deste facto resulta que, para cada w 2 U; …xo, a função de…nida por (z) = g(w; z); é
diferenciável em U: Na verdade, possuirá, quando muito uma singularidade em z = w;
mas por aplicação do teorema de Goursat, atendendo a que é contínua, teremos R
0; para cada triângulo, ; contido em U; permitindo então o teorema de Morera concluir
a diferenciabilidade de em U:
5
@
=

2) Tomemos agora a função, de…nida em U, através de
h(z) = 1
Z
g(w; z)dw:
2 i
Para z 2 Unim ; temos
h(z) = 1
Z
f(w)
dw f(z)I( ; z);
2 i w z
pelo que (i) equivale a mostrar que h é identicamente nula em Unim :
A função h é contínua em U: Na verdade com z0 2 U; se B(z0; r) for uma bola fechada
de centro em z0 e raio r > 0; contida em U; atendendo a que, pela sua continuidade, g é
uniformemente contínua no limitado e fechado im B(z0; r); temos que para cada " > 0;
existe 0 < r tal que
para (w; z) 2 im B(z0; ). Como tal,
jg(w; z) g(w; z0)j <
jh(z) h(z0)j < 1
2
2 "
c( ) ;
2 "
c( ) = ":
c( )
Além de contínua, h é holomorfa em U; já que é holomorfa em cada bola aberta contida
em U: De facto, se for uma linha qualquer fechada contida nessa bola; temos
Z
h(z)dz = 1
Z
2 i
Z
g(w; z)dw dz = 1
Z
2 i
Z
g(w; z)dz dw;
por aplicação do teorema de Fubini, atendendo à continuidade de g e a que os integrais
em causa se resumem a integrais em intervalos fechados ou somas …nitas de integrais
deste tipo. Mas como para cada w 2 U, a função (z) = g(w; z) é, como vimos, diferenciável
em U; e a bola considerada é um conjunto convexo, temos pelo teorema de Cauchy
que R h(z)dz = 0; o que permite concluir por aplicação do teorema de Morera que h é
holomorfa em U:
3) Seja agora
W = fz 2 Cnim : I( ; z) = 0g :
W é um conjunto aberto porque I( ; z) é uma função contínua na variável z que apenas
toma valores inteiros e como é um ciclo homólogo a um ponto em U; temos que CnU
W; o que implica, em particular que U [ W = C.
Por outro lado, sabemos que a função
F (z) = 1
Z
f(w)
2 i w z dw
é holomorfa em Cnim e, por conseguinte, também em W; além de que F (z) = h(z); se
z 2 U \ W: Deste modo a função
H(z) =
h(z); se z 2 U;
F (z); se z 2 W;
6

encontra-se bem de…nida em todo o plano complexo e nessa qualidade é mesmo uma
função inteira.
4) Se mostrarmos que H(z) ! 0 quando jzj ! +1; provamos, em particular que H é
limitada, e como tal constante, pelo teorema de Liouville. Da própria condição no in…nito
resulta então que H é identicamente nula em C, o que prova ser h = 0 em U:
Para tal, comecemos por notar que sendo im um conjunto limitado, qualquer ponto
z 2 U com jzj su…cientemente grande se acha em W . Assim, para z tal que jzj > r; é
H(z) = F (z) e, por conseguinte,
Ora, se r > max
w2im
jH(z)j
1
2 max
w2im
jf(w)j max
w2im
1
jw zj
c( )
jwj ; temos para w 2 im ; qualquer, jw zj jzj r; donde
jH(z)j
1
2 max
w2im jf(w)j
1
c( ):
jzj r
Logo fazendo jzj ! +1; obtemos H(z) ! 0; o que completa a demonstração do teorema.
Observemos que este teorema é válido quando o ciclo é constituído por uma única
linha fechada homóloga a um ponto em U. Nestas circunstâncias (ii) exprime um resultado
mais geral que a versão indicada do teorema de Cauchy, o mesmo sucedendo a (i)
relativamente à primeira fórmula integral de Cauchy.
Notando que uma linha de Jordan, ; num aberto U; tal que int U; é homóloga a
um ponto de U, pois CnU ext ; obtemos a seguinte versão do teorema de Cauchy para
linhas de Jordan:
Corolário 4 Se f é uma função holomorfa no aberto U e é uma linha de Jordan em U;
cujo interior se encontra contido em U, então
Z
f = 0:
Para a homologia entre ciclos temos:
Corolário 5 Se f é uma função holomorfa no aberto U e 1 e 2 são dois ciclos homólogos
em U então Z
Z
f(z)dz = f(z)dz:
1
Dem.: Se 1 = f 11; :::; 1ng e 2 = f 21; :::; 2ng ; basta tomar o ciclo
= 11; :::; 1n; 21; :::; 2n ;
o qual é homólogo a um ponto de U, pois I( ; z) = I( 1; z)
z =2 U: Então pelo teorema vem
I( 2; z) = 0; para cada
Z
Z Z
f(z)dz = 0 = f(z)dz f(z)dz:
1
7
2
2

3.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Sejam e duas funções harmónicas num conjunto aberto R 2 : Mostre que a
função complexa de variável complexa dada por
f (x + iy) = @
@y
é holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g :
2. Seja
u (x; y) = x 3
@
@x
3xy 2
@ @
+ i +
@x @y
5y:
a) Veri…que que u (x; y) é uma função harmónica em R 2 :
b) Determine, v (x; y) ; a harmónica conjugada de u (x; y) ; tal que v (0; 0) = 0:
3. Considere a função
v (x; y) = e x2 y2 cos (2xy) :
a) Veri…que que v (x; y) é harmónica em R 2 :
b) Determine uma função inteira f; tal que f (0) = i e
Im f (x + iy) = v (x; y) :
4. Justi…que que em R 2 ; v (x; y) = 2xy é harmónica conjugada de
u (x; y) = x 2
5. Mostre que não existe uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :
6. Sabendo que num conjunto R 2 ; v é harmónica conjugada de u; determine uma
harmónica conjugada de v em :
7. Seja p (z) um polinómio de grau n: Para que valores de n é possível que 1=p (z) seja
uma função inteira?
8. Considere as seguintes linhas do plano complexo:
y 2 :
1 (t) = 1
2 ei2t ; t 2 [0; 2 ] ;
2 (t) = 3e i2t ; t 2 [0; 2 ] ;
3 (t) = e i2t ; t 2 [0; 2 ] :
Quais destas linhas são homólogas entre si nos seguintes conjuntos abertos do plano
complexo:
a) U = fz : jzj > 1=3g :
b) U = fz : jz 2j > 1=2g \ fz : jz + 2j > 1=2g :
8

9. Sejam z0; z1 2 C e r < jz1 z0j =2 e Cr (z0) ; Cr (z1) circunferências de raio r e
centros em z0 e z1; respectivamente, simples e positivamente orientadas. Seja
linha de Jordan contendo no seu interior Cr (z0) e Cr (z1) : Justi…que que:
uma
Z
1
dz =
(z z0) (z z1)
Z
Cr(z0)
1
dz +
(z z0) (z z1)
Z
Cr(z1)
1
(z z0) (z z1) dz:
10. Seja f uma função holomorfa no conjunto aberto U = fz : jzj > 1g e designe-se
por E a elipse simples e positivamente orientada dada pela equação x2 y2
+ = 1:
4 9
Justi…que que Z
Z
f (z) f (z)
dz = dz (n 2 Z)
E zn Cr zn para qualquer circunferência, Cr; simples e positivamente orientada de centro na
origem e raio r > 1:
3.5.1 RESOLUÇÕES
1. Como e são de classe C 2 ; as funções
u (x; y) = @
(x; y)
@y
@
@ @
(x; y) ; v (x; y) = (x; y) +
@x @x @y
(x; y)
são ambas de classe C 1 :
Além disso são veri…cadas as equações de Cauchy-Riemann. Na verdade de
concluímos que
@u
@x
@2
(x; y) = (x; y)
@y@x
@2 (x; y) ;
@x2 @v
@2 @2
(x; y) = (x; y) + (x; y)
@y @x@y @y2 @u @v
(x; y) = (x; y)
@x @y
atendendo à igualdade das derivadas cruzadas e a que, por se harmónica, se tem
Analogamente, de
resulta que
@u
@y
@2 @2
(x; y) = (x; y) :
@y2 @x2 @2
(x; y) = (x; y)
@y2 @2 (x; y) ;
@x@y
@v
@2 @2
(x; y) = (x; y) + (x; y)
@x @x2 @y@x
@u @v
(x; y) = (x; y) :
@y @x
Logo f é holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g :
9

2.a) Veri…quemos que 8 (x; y) 2 R 2 se tem
Ora por diferenciação obtemos
Logo
u (x; y) = 0:
@u
(x; y)
@x
= 3x2 3y 2 ;
@u
(x; y)
@y
= 6xy 5;
u (x; y) = @2 u
@x2 (x; y) + @2u @y
2.b) Procuremos uma função inteira f tal que
A função
@ 2 u
Re f (x + iy) = u (x; y) :
v (x; y) = Im f (x + iy)
(x; y) = 6x;
@x2 @2u (x; y) = 6x:
@y2 2 (x; y) = 6x 6x = 0:
será então uma harmónica conjugada de u:
Tendo a atenção a diferenciabilidade de f; as funções u e v relacionam-se entre si pelas
equações de Cauchy-Riemann. Isto é, v será tal que
Assim, temos que
@v @u
(x; y) = (x; y) e
@y @x
@v @u
(x; y) =
@x @y (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :
@v
(x; y)
@y
= 3x2 3y 2 ;
@v
(x; y)
@x
= 6xy + 5:
Então por primitivação em ordem a y e a x; respectivamente, concluímos que
v (x; y) = 3x 2 y y 3 + c1 (x) ;
v (x; y) = 3x 2 y + 5x + c2 (y)
onde c1 (x) e c2 (y) designam funções exclusivamente dependentes das variáveis x e y;
respectivamente. Por comparação podemos então concluir que
v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 + K;
onde K é uma qualquer constante real.
Da condição v (0; 0) = 0 podemos a…rmar que K = 0 e que portanto
v (x; y) = 3x 2 y + 5x y 3 :
3.a) Pelas regras de derivação temos que
@v
@x (x; y) = 2xex2 y 2
cos (2xy) e x2 y 2
2y sin (2xy) ;
10

@2v @x2 (x; y) = 2ex2 y2 cos (2xy)+4x 2 e x2 y2 cos (2xy) 8xye x2 y2 sin (2xy) e x2 y2 4y 2 cos (2xy) ;
@v
@y (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) e x2 y2 2x sin (2xy) ;
@ 2 v
@y 2 (x; y) = 2ex2 y 2
cos (2xy)+4y 2 e x2 y 2
cos (2xy)+8xye x2 y 2
sin (2xy) e x2 y 2
4x 2 cos (2xy) :
Logo, na verdade
v (x; y) = e x2 y2 cos (2xy) :
v (x; y) = @2 v
@x2 (x; y) + @2v @y
3.b) Procuremos uma função u (x; y) tal que
2 (x; y) = 0:
f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)
seja uma função inteira.
As equações de Cauchy-Riemann indicam-nos que u (x; y) deverá ser tal que
Assim temos que
@u @v
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@u @v
(x; y) =
@y @x (x; y) ; 8 (x; y) 2 R2 :
@u
@x (x; y) = 2yex2 y2 cos (2xy) 2xe x2 y2 sin (2xy) ;
@u
@y (x; y) = 2xcex2 y 2
cos (2xy) + e x2 y 2
2y sin (2xy) :
Da primeira destas relações, observemos que pela regra de derivação do produto de
funções
o que implica que
@u
@x (x; y) = 2yex2 y 2
cos (2xy) 2xe x2 y 2
sin (2xy) ;
= e x2 y2 @
sin (2xy)
@x
= @
@x
e x2 y2 sin (2xy) ;
@
@x ex2 y 2
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c1 (y) ;
sin (2xy) ;
onde c1 (y) é uma qualquer função dependente apenas da variável y: Analogamente da
segunda relação temos que
@u
@y (x; y) = 2xex2 y 2
cos (2xy) + 2ye x2 y 2
sin (2xy)
= e x2 y2 @
sin (2xy)
@y
= @
@y
e x2 y2 sin (2xy) ;
11
@
@y ex2 y 2
sin (2xy)

e que por conseguinte
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + c2 (x) ;
para uma qualquer função c2 (x) que apenas dependa da variável x:
Comparando os dois resultados obtidos podemos então concluir que para uma qualquer
constante real
u (x; y) = e x2 y2 sin (2xy) + K;
e que
f (x + iy) = e x2 y2 sin (2xy) + K + ie x2 y2 cos (2xy) :
Por …m a condição f (0) = i …ca equivalente a
K + i = i;
donde resulta que K = 0:
Logo
f (x + iy) = e x2 y 2
sin (2xy) + ie x2 y 2
cos (2xy) :
4. Facilmente se observa que
f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y)
= x 2
y 2 + i2xy
= x 2 + i2xy + i 2 y 2
= (x + iy) 2 :
Como f (z) = z 2 é obviamente uma função holomorfa, de
u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy)
concluímos que u e v são de facto harmónicas conjugadas.
5. Supondo que existia uma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :
num certo conjunto U C; então a função (x; y) = y 4 + x 2 teria de ser necessariamente
harmónica em = f(x; y) : x + iy 2 Ug :
Ora por derivação temos que
o que implica que
@
(x; y)
@x
= 2x;
@
@y (x; y) = 4y3 ;
@ 2
(x; y) = 2;
@x2 @ 2
@y 2 (x; y) = 12y2 ;
(x; y) = @2 @2
(x; y) +
@x2 @y2 (x; y) = 12y2 + 2:
Ora como (x; y) 6= 0; 8 (x; y) 2 R 2 ; temos que (x; y) não é harmónica em nenhum
conjunto R 2 :
Logo não existe nenhuma função holomorfa, f; tal que Re f (x + iy) = y 4 + x 2 :
12

6. Se v é harmónica conjugada de u; num certo conjunto R 2 ; então existe uma
função f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g ; tal que
u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :
Assim, além de serem harmónicas temos que u; v 2 C 1 em e que são veri…cadas as
equações de Cauchy-Riemann
@u @v
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@u @v
(x; y) = (x; y) ; 8 (x; y) 2 :
@y @x
O que se pretende é determinar uma função w 2 C 1 em para a qual exista uma
função g holomorfa em U tal que
v (x; y) = Re g (x + iy) ; w (x; y) = Im g (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :
Nestas condições devem igualmente ser satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann:
@v @w
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@v
@y
Assim w será tal que, para qualquer (x; y) 2 ;
o que implica que
@w
(x; y)
@y
=
@w
(x; y)
@x
=
@w
(x; y) (x; y) = ; 8 (x; y) 2 :
@x
@u
(x; y) ;
@y
@u
(x; y) :
@x
w (x; y) = u (x; y) + K:
Logo w = u é uma harmónica conjugada de v:
7. Se n > 0 então pelo teorema fundamental da Álgebra, p (z) possui pelo menos uma
raíz z0: Nessas circunstâncias não pode de…nir-se em z0 um valor para 1=p (z) ; já que
1
lim
z!z0 p (z)
= 1;
facto que não permite que aquela função seja diferenciável em z0:
Quando n = 0; tem-se p (z) = c e este entrave não acontece se for c 6= 0: Logo 1=p (z)
será uma função inteira se e só se p (z) for um polinómio de grau zero não identicante
nulo.
8.a) Seja w =2 U; isto é w tal que jwj 1=3:
Temos que
I ( 1; w) = I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 2:
Logo em U; apenas 1 e 2 são homólogas.
8.b) Seja w =2 U; isto é w tal que jw + 1j 1=2 ou jw 1j 1=2:
Temos agora
I ( 1; w) = 0; I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 0:
Logo em U; apenas 1 e 3 são homólogas.
13

9. A função
f (z) =
1
(z z0) (z z1)
é holomorfa em U = Cn fz0; z1g : Os ciclos 1 = f g e 2 = fCr (z0) ; Cr (z1)g são homólogos
pois
e
I ( 1; z0) = I ( ; z0) = 1;
I ( 2; z0) = I (Cr (z0) ; z0) + I (Cr (z1) ; z0) = 1 + 0 = 1;
I ( 1; z1) = I ( ; z1) = 1
I ( 2; z1) = I (Cr (z0) ; z1) + I (Cr (z1) ; z1) = 0 + 1 = 1
Como tal, pelo Corolário 5 temos
Z
(z
1
z0) (z
Z
dz =
z1)
ou seja,
Z
(z
1
z0) (z
Z
dz =
z1)
1
Cr(z0)
2
1
(z z0) (z z1) dz;
Z
1
1
dz +
(z z0) (z z1) Cr(z1) (z z0) (z z1) dz:
10. Para qualquer n 2 Z; a função f (z) =z n é holomorfa em U: Além disso E e Cr
são linhas homólogas em U já que
I (E; w) = I (Cr; w) = 1;
para cada w =2 U: Logo pelo Corolário 5 temos que
Z
Z
f (z)
dz =
zn f (z)
dz:
zn E
14
Cr