3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

9. A função
f (z) =
1
(z z0) (z z1)
é holomorfa em U = Cn fz0; z1g : Os ciclos 1 = f g e 2 = fCr (z0) ; Cr (z1)g são homólogos
pois
e
I ( 1; z0) = I ( ; z0) = 1;
I ( 2; z0) = I (Cr (z0) ; z0) + I (Cr (z1) ; z0) = 1 + 0 = 1;
I ( 1; z1) = I ( ; z1) = 1
I ( 2; z1) = I (Cr (z0) ; z1) + I (Cr (z1) ; z1) = 0 + 1 = 1
Como tal, pelo Corolário 5 temos
Z
(z
1
z0) (z
Z
dz =
z1)
ou seja,
Z
(z
1
z0) (z
Z
dz =
z1)
1
Cr(z0)
2
1
(z z0) (z z1) dz;
Z
1
1
dz +
(z z0) (z z1) Cr(z1) (z z0) (z z1) dz:
10. Para qualquer n 2 Z; a função f (z) =z n é holomorfa em U: Além disso E e Cr
são linhas homólogas em U já que
I (E; w) = I (Cr; w) = 1;
para cada w =2 U: Logo pelo Corolário 5 temos que
Z
Z
f (z)
dz =
zn f (z)
dz:
zn E
14
Cr