3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

6. Se v é harmónica conjugada de u; num certo conjunto R 2 ; então existe uma
função f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g ; tal que
u (x; y) = Re f (x + iy) ; v (x; y) = Im f (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :
Assim, além de serem harmónicas temos que u; v 2 C 1 em e que são veri…cadas as
equações de Cauchy-Riemann
@u @v
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@u @v
(x; y) = (x; y) ; 8 (x; y) 2 :
@y @x
O que se pretende é determinar uma função w 2 C 1 em para a qual exista uma
função g holomorfa em U tal que
v (x; y) = Re g (x + iy) ; w (x; y) = Im g (x + iy) ; 8 (x; y) 2 :
Nestas condições devem igualmente ser satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann:
@v @w
(x; y) = (x; y) e
@x @y
@v
@y
Assim w será tal que, para qualquer (x; y) 2 ;
o que implica que
@w
(x; y)
@y
=
@w
(x; y)
@x
=
@w
(x; y) (x; y) = ; 8 (x; y) 2 :
@x
@u
(x; y) ;
@y
@u
(x; y) :
@x
w (x; y) = u (x; y) + K:
Logo w = u é uma harmónica conjugada de v:
7. Se n > 0 então pelo teorema fundamental da Álgebra, p (z) possui pelo menos uma
raíz z0: Nessas circunstâncias não pode de…nir-se em z0 um valor para 1=p (z) ; já que
1
lim
z!z0 p (z)
= 1;
facto que não permite que aquela função seja diferenciável em z0:
Quando n = 0; tem-se p (z) = c e este entrave não acontece se for c 6= 0: Logo 1=p (z)
será uma função inteira se e só se p (z) for um polinómio de grau zero não identicante
nulo.
8.a) Seja w =2 U; isto é w tal que jwj 1=3:
Temos que
I ( 1; w) = I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 2:
Logo em U; apenas 1 e 2 são homólogas.
8.b) Seja w =2 U; isto é w tal que jw + 1j 1=2 ou jw 1j 1=2:
Temos agora
I ( 1; w) = 0; I ( 2; w) = 2; I ( 3; w) = 0:
Logo em U; apenas 1 e 3 são homólogas.
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