3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

9. Sejam z0; z1 2 C e r < jz1 z0j =2 e Cr (z0) ; Cr (z1) circunferências de raio r e
centros em z0 e z1; respectivamente, simples e positivamente orientadas. Seja
linha de Jordan contendo no seu interior Cr (z0) e Cr (z1) : Justi…que que:
uma
Z
1
dz =
(z z0) (z z1)
Z
Cr(z0)
1
dz +
(z z0) (z z1)
Z
Cr(z1)
1
(z z0) (z z1) dz:
10. Seja f uma função holomorfa no conjunto aberto U = fz : jzj > 1g e designe-se
por E a elipse simples e positivamente orientada dada pela equação x2 y2
+ = 1:
4 9
Justi…que que Z
Z
f (z) f (z)
dz = dz (n 2 Z)
E zn Cr zn para qualquer circunferência, Cr; simples e positivamente orientada de centro na
origem e raio r > 1:
3.5.1 RESOLUÇÕES
1. Como e são de classe C 2 ; as funções
u (x; y) = @
(x; y)
@y
@
@ @
(x; y) ; v (x; y) = (x; y) +
@x @x @y
(x; y)
são ambas de classe C 1 :
Além disso são veri…cadas as equações de Cauchy-Riemann. Na verdade de
concluímos que
@u
@x
@2
(x; y) = (x; y)
@y@x
@2 (x; y) ;
@x2 @v
@2 @2
(x; y) = (x; y) + (x; y)
@y @x@y @y2 @u @v
(x; y) = (x; y)
@x @y
atendendo à igualdade das derivadas cruzadas e a que, por se harmónica, se tem
Analogamente, de
resulta que
@u
@y
@2 @2
(x; y) = (x; y) :
@y2 @x2 @2
(x; y) = (x; y)
@y2 @2 (x; y) ;
@x@y
@v
@2 @2
(x; y) = (x; y) + (x; y)
@x @x2 @y@x
@u @v
(x; y) = (x; y) :
@y @x
Logo f é holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g :
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