3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

2) Tomemos agora a função, de…nida em U, através de
h(z) = 1
Z
g(w; z)dw:
2 i
Para z 2 Unim ; temos
h(z) = 1
Z
f(w)
dw f(z)I( ; z);
2 i w z
pelo que (i) equivale a mostrar que h é identicamente nula em Unim :
A função h é contínua em U: Na verdade com z0 2 U; se B(z0; r) for uma bola fechada
de centro em z0 e raio r > 0; contida em U; atendendo a que, pela sua continuidade, g é
uniformemente contínua no limitado e fechado im B(z0; r); temos que para cada " > 0;
existe 0 < r tal que
para (w; z) 2 im B(z0; ). Como tal,
jg(w; z) g(w; z0)j <
jh(z) h(z0)j < 1
2
2 "
c( ) ;
2 "
c( ) = ":
c( )
Além de contínua, h é holomorfa em U; já que é holomorfa em cada bola aberta contida
em U: De facto, se for uma linha qualquer fechada contida nessa bola; temos
Z
h(z)dz = 1
Z
2 i
Z
g(w; z)dw dz = 1
Z
2 i
Z
g(w; z)dz dw;
por aplicação do teorema de Fubini, atendendo à continuidade de g e a que os integrais
em causa se resumem a integrais em intervalos fechados ou somas …nitas de integrais
deste tipo. Mas como para cada w 2 U, a função (z) = g(w; z) é, como vimos, diferenciável
em U; e a bola considerada é um conjunto convexo, temos pelo teorema de Cauchy
que R h(z)dz = 0; o que permite concluir por aplicação do teorema de Morera que h é
holomorfa em U:
3) Seja agora
W = fz 2 Cnim : I( ; z) = 0g :
W é um conjunto aberto porque I( ; z) é uma função contínua na variável z que apenas
toma valores inteiros e como é um ciclo homólogo a um ponto em U; temos que CnU
W; o que implica, em particular que U [ W = C.
Por outro lado, sabemos que a função
F (z) = 1
Z
f(w)
2 i w z dw
é holomorfa em Cnim e, por conseguinte, também em W; além de que F (z) = h(z); se
z 2 U \ W: Deste modo a função
H(z) =
h(z); se z 2 U;
F (z); se z 2 W;
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