3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

Se for um ciclo, consideraremos o índice de em relação a um ponto w =2 im , como
sendo o número inteiro
nX
I( ; w) = I( k; w):
k=1
Deste modo, diremos que dois ciclos 1 e 2 são homólogos no aberto U, se I( 1; w) =
I( 2; w) para cada w =2 U. Um ciclo dir-se-á homólogo a um ponto de U ou 0-homólogo
em U se I( ; w) = 0; para cada w =2 U:
Posto isto, podemos enunciar a seguinte versão do teorema de Cauchy.
Teorema 3 (Teorema de Cauchy Global) Seja f uma função holomorfa no aberto U
e um ciclo 0-homólogo em U. Então:
(i) f(z)I( ; z) = 1
Z
Z
2 i
f(w)
dw; para cada z 2 Unim ;
w z
(ii) f = 0:
Dem.: Comecemos por observar que (i) ) (ii): Na verdade, tomando um ponto
z0 2 Unim ; através de F (z) = (z z0)f(z), constituímos uma função diferenciável em
U e, por (i),
Z
1
2 i
f(z)dz = 1
Z
F (z)
dz = F (z0)I( ; z0) = 0:
2 i z z0
1) Iniciemos a demonstração de (i) com a formulação da função auxiliar g : U U ! C,
dada por
8
< f(w) f(z)
; se w 6= z;
g(w; z) =
:
w z
f 0 (z); se w = z:
Trata-se de uma função contínua em U U: Na verdade, a esse respeito, apenas os
pontos do tipo (u; u); u 2 U, poderão merecer dúvidas. Ora, qualquer que seja " > 0;
pela continuidade de f 0 ; existe > 0; tal que jz uj < ) jf 0 (z) f 0 (u)j < "; facto que
mostra ser jg(w; z) g(u; u)j < "; sempre que jz uj < e w = z: Por outro lado, para
z e w tais que 0 < jz uj < ; 0 < jw
Z
uj < ; de
f(w) f(z) =
obtemos,
jg(w; z) g(u; u)j =
f
[z;w]
0 (v)dv e f 0 (u) = 1
w z
Z
1
(f
w z [z;w]
0 (v) f 0 (u)) dv <
Z
[z;w]
f 0 (u)dv:
"
c([z; w]) = ";
jw zj
o que prova a continuidade de g em U U:
Deste facto resulta que, para cada w 2 U; …xo, a função de…nida por (z) = g(w; z); é
diferenciável em U: Na verdade, possuirá, quando muito uma singularidade em z = w;
mas por aplicação do teorema de Goursat, atendendo a que é contínua, teremos R
0; para cada triângulo, ; contido em U; permitindo então o teorema de Morera concluir
a diferenciabilidade de em U:
5
@
=