3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

ou seja que
f 00 (x + iy) = @2 u
@x 2 (x; y) + i@2 v
@x 2 (x; y) = @2 v
=
(x; y) i
@x@y
@2v @y@x (x; y) i @2u @y@x (x; y) = @2u @ 2 u
@x@y
(x; y)
@y2 (x; y) i@2 v
(x; y) :
@y2 Mas como ainda pelo Teorema 7 da secção 2.2 (FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY)
também f 00 também é holomorfa, existem igualmente todas as derivadas parciais de terceira
ordem de qualquer das funções u e v:
Prosseguindo continuamente este processo, podemos assim concluir que quer u; quer
v; admitem no conjunto ; todas derivadas parciais de todas as ordens. Logo u e v são
ambas funções de classe C 1 em :
3.2 TEOREMA DE LIOUVILLE
Uma outra consequência simples das fórmulas integrais de Cauchy reporta-se ao teorema
seguinte, comummente atribuído ao francês Joseph Liouville (1809-1899).
Teorema 1 (Teorema de Liouville) Qualquer função inteira limitada é constante.
Dem.: Com z 2 C; temos para qualquer circunferência, Cr(z); de centro em z e raio
r > 0; simples e positivamente orientada,
f 0 (z) = 1
Z
f(w)
dw:
2 i (w z) 2
Cr(z)
Então supondo que jf(z)j M; para qualquer z 2 C; obtemos que
jf 0 (z)j
1
2
M M
2 r =
r2 r :
Da arbitrariedade de r > 0; concluímos que f 0 é identicamente nula em C: Logo f é
constante em C:
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Teorema 2 (Teorema Fundamental da Álgebra) Qualquer polinómio de grau superior
a um tem pelo menos uma raiz.
Dem.: Seja
p(z) = anz n + ::: + a1z + a0
um polinómio de grau n > 1 e suponhamos que p(z) não admite qualquer raiz. Nestas
circunstâncias, temos que p(z) 6= 0; qualquer que seja z 2 C; e por conseguinte a função
é uma função inteira.
f (z) = 1
p(z)
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