3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

v; e que as correspondentes equações de Cauchy-Riemann são veri…cadas. Assim, para
qualquer (x; y) 2 ;
@
@x
e também
@
@x
ou seja,
@v
@y
@u
@x
(x; y) = @
@y
(x; y) = @
@y
@ 2 u
@v
@x
@u
@y
@x 2 (x; y) = @2 v
@2v (x; y) =
@y@x
(x; y) ;
(x; y) ;
(x; y) ;
@x@y
@2u (x; y) ;
@y2 @
@y
@
@y
@u
@x
@v
@y
(x; y) = @
@x
(x; y) = @
@x
@v
@x
@u
@y
@2u @x@y (x; y) = @2v (x; y) ;
@x2 @2v @y2 (x; y) = @2u (x; y) :
@y@x
(x; y) ;
(x; y) ;
Além disso, ainda por ser uma função diferenciável em U; f 00 é uma função contínua neste
conjunto, podendo-se então a…rmar que também todas as derivadas de segunda ordem
são funções contínuas em ; ou seja que u e v são funçõess de classe C 2 em : Então
a igualdade entre as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem permite-nos concluir
que, para qualquer (x; y) 2 ;
u(x; y) = @2 u
v(x; y) = @2 v
@x2 (x; y) + @2u @y
@x2 (x; y) + @2v @y
2 (x; y) = 0;
2 (x; y) = 0:
Logo, em tais circunstâncias, podemos a…rmar que, na verdade, u e v são funções harmónicas.
Dada uma função harmónica num dado conjunto R 2 ; se existir uma função
complexa de variável complexa, f; holomorfa em U = fx + iy : (x; y) 2 g tal que
a função
(x; y) = Re f(x + iy);
(x; y) = Im f(x + iy)
é chamada de harmónica conjugada de u:
Notemos ainda que a diferenciabilidade de f 0 leva a que para qualquer x + iy 2 U;
f 00 (x + iy) = @
@x
= @
@y
= @
@x
= @
@y
@u
@x
@v
@x
@v
@y
@u
@y
@
(x; y) + i
@x
@
(x; y) i
@y
(x; y) + i @
@x
2
(x; y) i @
@y
@v
@x
(x; y)
@u
@x
(x; y)
@u
@y
(x; y)
@v
@y
(x; y) ;