3 CONSEQULNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY

encontra-se bem de…nida em todo o plano complexo e nessa qualidade é mesmo uma
função inteira.
4) Se mostrarmos que H(z) ! 0 quando jzj ! +1; provamos, em particular que H é
limitada, e como tal constante, pelo teorema de Liouville. Da própria condição no in…nito
resulta então que H é identicamente nula em C, o que prova ser h = 0 em U:
Para tal, comecemos por notar que sendo im um conjunto limitado, qualquer ponto
z 2 U com jzj su…cientemente grande se acha em W . Assim, para z tal que jzj > r; é
H(z) = F (z) e, por conseguinte,
Ora, se r > max
w2im
jH(z)j
1
2 max
w2im
jf(w)j max
w2im
1
jw zj
c( )
jwj ; temos para w 2 im ; qualquer, jw zj jzj r; donde
jH(z)j
1
2 max
w2im jf(w)j
1
c( ):
jzj r
Logo fazendo jzj ! +1; obtemos H(z) ! 0; o que completa a demonstração do teorema.
Observemos que este teorema é válido quando o ciclo é constituído por uma única
linha fechada homóloga a um ponto em U. Nestas circunstâncias (ii) exprime um resultado
mais geral que a versão indicada do teorema de Cauchy, o mesmo sucedendo a (i)
relativamente à primeira fórmula integral de Cauchy.
Notando que uma linha de Jordan, ; num aberto U; tal que int U; é homóloga a
um ponto de U, pois CnU ext ; obtemos a seguinte versão do teorema de Cauchy para
linhas de Jordan:
Corolário 4 Se f é uma função holomorfa no aberto U e é uma linha de Jordan em U;
cujo interior se encontra contido em U, então
Z
f = 0:
Para a homologia entre ciclos temos:
Corolário 5 Se f é uma função holomorfa no aberto U e 1 e 2 são dois ciclos homólogos
em U então Z
Z
f(z)dz = f(z)dz:
1
Dem.: Se 1 = f 11; :::; 1ng e 2 = f 21; :::; 2ng ; basta tomar o ciclo
= 11; :::; 1n; 21; :::; 2n ;
o qual é homólogo a um ponto de U, pois I( ; z) = I( 1; z)
z =2 U: Então pelo teorema vem
I( 2; z) = 0; para cada
Z
Z Z
f(z)dz = 0 = f(z)dz f(z)dz:
1
7
2
2